【突破课堂】第六章 平面向量初步--26版高中同步达标检测卷人教B版数学必修2

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第六章　平面向量初步
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.平面向量a=(1,-2),b=(2,m),若a∥b,则|a-b|=(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
2.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为(　　)
A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.任意画一个正三角形,并把每条边三等分,分别以三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉,得到如图所示的六角星,点O是该六角星的中心.若=m+n,则=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-1
4.如图,在重100 N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,则物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为　　(　　)
A.50 N,50 N　　　　B.50 N,100 N
C.50 N,50 N　　　　D.100 N,50 N
5.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的(　　)
A.垂心　　　　B.重心
C.外心　　　　D.内心
6.在△ABC中,点P是AB上一点,点Q满足=2,AQ与CP的交点为M.有下列四个命题:
甲:=+;
乙:=4;
丙:S△AMP∶S△ACP=1∶5;
丁:3=2.
如果只有一个是假命题,那么该命题为(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
7.在平面内,AB1⊥AB2,||=||=1,=+,若||<,则||的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,P是以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点(如图所示).若=λ+μ(λ, μ∈R),则λ-μ的值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列各组向量中,可以作为基底的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)　　　　B.e1=(0,2),e2=
C.=(3,5),e2=(5,3)　　　　D.e1=(1,3),e2=(-2,-6)
10.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得 DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若=λ+μ,则(　　)
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有两个
11.如图,B是AC的中点,=2,P是平行四边形BCDE内一点(含边界),且=x+y(x,y∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.当x=0时,y∈[2,3]
B.当P是线段CE的中点时,x=-,y=
C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
D.x-y的最大值为-1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在△ABC中,=,P是直线BD上一点,若=m+,则实数m的值为　　　　.
13.已知点O(0,0),A(-1,3),B(2,-4),=+m,若点P在y轴上,则实数m的值为　　　　.
14.在四边形ABCD中,已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得=+成立,则+的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知e1,e2为两个不共线的单位向量,a=2e1-e2,b=e1+λe2(λ∈R),且a与b共线.
(1)求λ的值;
(2)在①a=(,0),②b=这两个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上并解答.
问题:若　　　　,分别求e1和e2的坐标.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)如图所示,在△ABC中,=a,=b,D为AB的中点,E为CD上一点,且DC=4EC,AE的延长线与BC交于点F.
(1)请用向量a,b表示;
(2)请用向量a,b表示,并求出和的值.
17.(15分)如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际的前进方向与水流的方向垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
18.(17分)已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.
(1)设a=(1,1),b=(1,0),求f(a)与f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标;
(3)证明:对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.
19.(17分)如图,点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上做匀速运动,当t=0时,点D,E,F分别从点A,B,C出发,以各自的定速度向点B,C,A前进,当t=1时,点D,E,F分别到达点B,C,A.
(1)证明:在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变;
(2)若△ABC的面积为S,求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1]).
答案全解全析
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D
7.D 8.A 9.BC 10.CD 11.BCD
1.C　因为a∥b,所以1×m=-2×2,解得m=-4,所以a-b=(-1,2),所以|a-b|=.
2.A　因为=,所以+=0,所以+--=(-)+(-)=+=0.
3.B　=+=+=+2=-2,==+=-+,则=-2(-+)=3-2,
∵=m+n,∴m=-2,n=3,∴=-.
4.C　设两根绳子的拉力分别为,.
如图,作 OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在 OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,所以∠OAC=90°,所以||=||·cos 30°=50 N,||=||·sin 30°=50 N,所以||=||=50 N,故两根绳子拉力的大小分别为50 N,50 N.
5.B　可设直线l过点A,则=0,则+=0恒成立.如图:
则直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
6.D　若甲为真命题,则点P为AB的中点,
由=2可得,=,因为A,M,Q三点共线,所以可设=t+(1-t),即=t+,t∈R,
由C,M,P三点共线,可设=λ=(+),λ∈R,
所以解得所以=,
所以=4,故S△AMP∶S△ACP=1∶5,故乙,丙为真命题.
由P,M,C三点共线,可设=m+(1-m),即=+(1-m),m∈R,
由A,M,Q三点共线,可设=μ=μ,μ∈R,
所以解得即2=3,故命题丁为假命题.
综上,甲、乙、丙为真命题,丁为假命题.
7.D　以A为原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略).
设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则=(a,0),=(0,b),=(a-x,-y),=(-x,b-y),
则=+=(a,b),即P(a,b),所以=(a-x,b-y).
由||=||=1,得(a-x)2+(-y)2=(-x)2+(b-y)2=1,
所以(a-x)2=1-y2≥0,(b-y)2=1-x2≥0.
由||<,得(a-x)2+(b-y)2<,即0≤1-y2+1-x2<,
所以所以||的取值范围是.
8.A　由题意得||=||=||=2,∠DAP=∠EAP=45°,
所以=+.
易证得四边形BCDE为平行四边形,故=-,=+=+=+=+.
因为=λ+μ,所以+=λ+μ(-)=+,即解得故λ-μ=.
9.BC　对于A,∵0×(-2)=0×1,∴e1与e2共线,∴A不符合题意;
对于B,∵0×0≠2×,∴e1与e2不共线,∴B符合题意;
对于C,∵3×3≠5×5,∴e1与e2不共线,∴C符合题意;
对于D,∵1×(-6)=3×(-2),∴e1与e2共线,∴D不符合题意.
10.CD　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
取AB=1,∵=+=-,∴=λ+μ=(λ-μ)+μ=(λ-μ)·(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2.
对于选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时=(1-1)+=,因此点P不一定是BC的中点,故A错误.对于选项B,当点P与点B重合或点P为AD的中点时,均满足λ+μ=1,故B错误.对于选项C,只有当点P∈BC或P∈CD时,才可能使λ+μ=3.当点P∈BC时,由解得当P∈CD时,由可得∴=(1,1),∴只有当点P与点C重合时,满足λ+μ=3,故C正确.对于选项D,只有当点P∈BC或P∈AD时,才可能使λ+μ=.当点P∈BC时,由解得当P∈AD时,由解得故满足λ+μ=的点P有两个,故D正确.
11.BCD　当x=0时,=y,此时点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误;
当P是线段CE的中点时,=+=3+(+)=3+(-2+)=-+,所以x=-,y=,故B正确;
当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内一点(含边界),故点P的轨迹是线段BC,故C正确;
因为=x+y,所以x≤0,y≥1,当点P与B重合时,x=0,y=1,此时x最大,y最小,所以x-y最大,即(x-y)max=-1,故D正确.
12.答案　-
解析　因为=,所以=,
所以=m+=m+,
因为B,P,D三点共线,所以m+=1,解得m=-.
13.答案　
解析　∵O(0,0),A(-1,3),B(2,-4),∴=(-1,3),=(3,-7),
∵=+m,∴=(-1,3)+m(3,-7)=(-1+3m,3-7m),
∵点P在y轴上,∴-1+3m=0,∴m=.
14.答案　9
解析　如图,连接BD,设AC与BD交于点O,
过点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,
若△ABC的面积是△ACD的面积的2倍,则2DF=BE,
根据相似三角形的性质可知,2=,
∴2(+)=+,∴=+,
设=λ=λ+λ(λ∈R),
∵=+,
∴-4=λ,1-=λ,
即1-=-8,∴+=9.
15.解析　(1)由a与b共线,可设b=μa,μ∈R,又a=2e1-e2,b=e1+λe2,所以e1+λe2=2μe1-μe2,(2分)
所以解得(5分)
(2)选择①.设e1=(m,n),因为a=2e1-e2=(,0),所以e2=(2m-,2n),可得解得或(11分)
当e1=时,e2=(0,1);
当e1=时,e2=(0,-1).(13分)
选择②.设e1=(m,n),因为b=e1-e2=,所以e2=(2m-,2n),可得解得或(11分)
当e1=时,e2=(0,1);
当e1=时,e2=(0,-1).(13分)
16.解析　(1)因为=4,所以-=4(-),
所以=+.(4分)
因为D为AB的中点,所以==a,
所以=a+b.(7分)
(2)因为B,F,C三点共线,
所以可设=t,t∈R,
所以-=t(-),即=(1-t)+t,即=(1-t)a+tb,(10分)
因为A,F,E三点共线,
所以存在实数λ,使得=λ=a+b,
因为a,b不共线,
所以所以
所以=,=,(13分)
所以=a+b,的值为7,的值为6.(15分)
17.解析　设=v0,=v1,=v2,
由题意可知v2=v0+v1,||=1,
易得四边形OACB为平行四边形.(2分)
(1)当此人朝正南方向游去时,四边形OACB为矩形,且||=AC=,如图①所示,
图①
则在Rt△OAC中,|v2|=OC==2,(4分)
所以tan α=tan∠AOC==,又0°<α<90°,所以α=60°.(6分)
故此人实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2 m/s.(7分)
(2)由题意知∠OCB=90°,且|v2|=||=,BC=||=1,如图②所示,(9分)
图②
则在Rt△OCB中,|v1|=OB==2,tan∠BOC==,(13分)
又0°<∠BOC<90°,所以∠BOC=30°,
则β=90°+30°=120°.(14分)
故此人游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2 m/s.(15分)
18.解析　(1)∵a=(1,1),b=(1,0),
∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),(2分)
f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(4分)
(2)设c=(s,t),则f(c)=(t,2t-s)=(p,q),
∴∴(9分)
∴c=(2p-q,p).(10分)
(3)证明:设d=(a1,a2),e=(b1,b2),(11分)
则md+ne=(ma1+nb1,ma2+nb2),
∴f(md+ne)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).(13分)
∵mf(d)=m(a2,2a2-a1),nf(e)=n(b2,2b2-b1),
∴mf(d)+nf(e)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1)=f(md+ne).(16分)
∴对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.(17分)
19.解析　(1)证明:设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),△DEF的重心为O(x0,y0),
由题意可得,在某一时刻t,=,=,=,(3分)
则D(txB+(1-t)xA,tyB+(1-t)yA),E(txC+(1-t)xB,tyC+(1-t)yB),F(txA+(1-t)xC,tyA+(1-t)yC).(5分)
由三角形的重心坐标公式,得x0=,y0=,
把点D,E,F的坐标代入x0,y0中,求得△DEF的重心坐标为,,与t无关,即在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变.(8分)
(2)∵=t,=1-t,
∴S△DFA∶S=(AD·AF)∶(AB·AC)=t(1-t),
即S△DFA=t(1-t)S,(11分)
同理,S△EFC=S△DEB=t(1-t)S,
∴S△DEF=S-(S△DFA+S△DEB+S△EFC)=(3t2-3t+1)S=S,t∈[0,1],(15分)
∴当t=时,△DEF的面积取得最小值,为S.(17分)