【突破课堂】期末综合测试--26版高中同步达标检测卷苏教版数学必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末综合测试
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知集合A={x|x>4},B={x|x<2m},且A RB,则实数m的取值范围是　　(　　)
A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.(-∞,4]
2.“-1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知某种蔬菜的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)近似满足y=ekx+b(k,b为常数,e为自然对数的底数),若该品种蔬菜在5 ℃时的保鲜时间为216小时,在25 ℃时的保鲜时间为24小时,则在15 ℃时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为(　　)
A.120小时 B.96小时 C.72小时 D.64小时
4.函数f(x)=2xlog3|x|-2x+的部分图象大致为(　　)
5.已知函数f(x)=在定义域上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.(1,+∞)
6.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在区间上没有零点,则当ω取最大值时, f=(　　)
A.- B.0 C. D.1
7.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1, f(3x+1)=-f(-3x+1),则f(k)=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　)
A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知实数a,b,c,则下列结论正确的是(　　)
A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,则a2>b2
C.若aab D.若a>b>1,则a->b-
10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长或缩短为原来的(k>0),得到g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.若k=2,则g(x)的最小正周期为π
B.若k=,则为g(x)的图象的一个对称中心
C.若g为偶函数,则k的最小值为1
D.f(x)的单调递增区间为,m∈Z
11.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)为增函数
B. x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1
C.若f(x)<在x∈[n,+∞)上恒成立,则自然数n的最小值为2
D.若关于x的方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,则-8≤m<-4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知tan(5π+α)=2,则的值为　　　　.
13.已知函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
14.用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记M(x)=min{f(x),g(x)}.设函数f(x)=ex-1+x-2,g(x)=-x2+(a-1)x-a.若对于任意的x∈R,都有M(x)≤0,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=x2-ax-a,g(x)=(a+1)x2-(1+2a)x-a+1(a∈R).
(1)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为2,求实数a的值;
(2)当a>0时,求不等式f(x)>g(x)的解集.
16.(15分)若函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)且f(5+x)=f(-x)(x∈R),则称函数f(x)为“M函数”.已知函数g(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<为“M函数”.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)将函数g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,求实数a的最小值;
(3)讨论h(x)=g(x)-在[m,m+3](m∈R)上零点的个数.
17.(15分)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=x-2, x1∈[-4,4], x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)解关于x的不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0;
(3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是 若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),点P在其图象上.
(1)若函数g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)有最小值,求实数m的取值范围;
(2)设函数h(x)=若存在非零实数x0,使得h(-x0)=h(x0),求实数λ的取值范围.
答案全解全析
1.B　易得 RB={x|x≥2m}.因为A RB,所以2m≤4,解得m≤2.
2.A　当a=0时,不等式为-1<0,显然恒成立;
当a≠0时,需满足解得-4综上所述,-4所以“-13.C　由题意得两式相除,得e-20k=9,
所以e15k+b=e25k+b·e-10k=e25k+b·(e-20k=24×3=72,
所以在15 ℃时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为72小时.
4.B　因为f(x)=2xlog3|x|-2x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-2xlog3|x|+2x-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除C,D.又f(1)=-2+1=-1<0,故排除A.
5.D　因为函数y=1-x在(-∞,0]上单调递减,函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以y==(1-x在(-∞,0]上单调递增.
因为f(x)在定义域上是单调函数,所以当x>0时,y=logk(x+k)也单调递增,所以解得k>1.
6.C　∵x∈,ω>0,∴ωx-∈.
∵f(x)在区间上没有零点,∴π≥kπ且-≤(k+1)π,k∈Z,解得4k+1≤ω≤2k+,k∈Z.
∵ω>0,∴取k=0,则1≤ω≤,∴ωmax=,此时f(x)=sin,∴f=sin =.
7.D　令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,故f(x)为偶函数.
因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0.
由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,
所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称, f(2)=-f(0)=-1.
因为f(x+1)+f(-x+1)=0,所以f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数,
所以f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4,
故f(3)=f(-1)=f(1)=0, f(4)=f(0)=1,
故f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1.
8.C　a==(2.
函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3,所以<(2<,即b>a>.
函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d.
函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3,所以log34综上,b>a>>c>d.
9.ACD　对于A,若ac2>bc2,则c2>0,由不等式的基本性质可得a>b,故A正确;
对于B,若a>b,不妨取a=1,b=-1,则a2=b2,故B错误;
对于C,若aab,故C正确;
对于D,因为a>b>1,所以ab>1,a-b>0,
则-=a-b+=a-b-=>0,
所以a->b-,故D正确.
10.BCD　由题图可得A=2.由f(x)的图象过点(0,1),得2sin φ=1,
∴sin φ=.又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.根据函数f(x)的图象关于直线x=对称及“五点作图法”可得ω·+=,解得ω=2,故f(x)=2sin.所以g(x)=2sin.
对于A,当k=2时,g(x)=2sin,则g(x)的最小正周期T==,故A错误.
对于B,当k=时,g(x)=2sin,由g=0,得点是g(x)的图象的一个对称中心,故B正确.
对于C,g=2sin,因为g是偶函数,所以+=+nπ,n∈Z,所以k=1+3n,n∈Z,又k>0,所以k的最小值为1,故C正确.
对于D,令2mπ-≤2x+≤2mπ+,m∈Z,得mπ-≤x≤mπ+,m∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,m∈Z,故D正确.
11.BCD　当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以当x∈[1,2)时, f(x)=;
当x∈[2,3)时,x-1∈[1,2),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以当x∈[2,3)时, f(x)=;
当x∈[3,4)时,x-1∈[2,3),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以当x∈[3,4)时, f(x)=;
由此可知,当x∈[n,n+1)时, f(x)=,
作出函数y=f(x)的部分图象,如图①所示:
图①
由图①可知,函数f(x)不是增函数,故A错误;
易知f(x)∈[0,1),所以 x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1,故B正确;
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图②所示:
图②
由图②可知,当x∈[2,+∞)时, f(x)<恒成立,所以自然数n的最小值为2,故C正确;
令t=f(x),则t∈[0,1),方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)等价于2mt2+(m+2)t+1=0(m∈R),即(mt+1)(2t+1)=0,解得t=-或t=-(舍去),在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,直线y=和直线y=,如图③所示:
图③
由图③可知,当-∈,即-8≤m<-4时,关于x的方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,故D正确.
12.答案　3
解析　　由tan(5π+α)=2,得tan α=2,
所以===3.
13.答案　(1,4)
解析　　设t=4-ax.
因为a>0且a≠1,所以函数t=4-ax在[0,1]上单调递减.
又函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上单调递减,
所以函数y=logat在定义域上单调递增,且对任意的x∈[0,1],t=4-ax>0恒成立,所以a>1,且tmin=4-a>0,所以1故实数a的取值范围是(1,4).
14.答案　(-∞,3+2]
解析　　因为函数y=ex-1,y=x-2在R上均单调递增,所以f(x)=ex-1+x-2在R上单调递增,且f(1)=0,所以当x≤1时, f(x)≤f(1)=0,当x>1时, f(x)>f(1)=0.
又M(x)≤0,所以当x>1时,g(x)≤0恒成立,
即当x>1时,a(x-1)≤x2+x,即a≤恒成立.
因为x>1,所以x-1>0,所以==(x-1)++3≥3+2,当且仅当x-1=,即x=1+时,等号成立,∴a≤3+2,故实数a的取值范围为(-∞,3+2].
15.解析　　(1)函数f(x)=x2-ax-a的图象的对称轴为直线x=,(1分)
当≤1,即a≤2时, f(x)max=f(2)=4-3a=2,解得a=;(3分)
当>1,即a>2时, f(x)max=f(0)=-a=2,解得a=-2,不满足a>2.(5分)
综上,a=.(6分)
(2)由题知,g(x)-f(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0,而a>0,
因此不等式为(x-1)<0,(8分)
当<1,即a>1时,不等式(x-1)<0的解集为;
当=1,即a=1时,不等式(x-1)<0的解集为 ;
当>1,即0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为;
当a=1时,原不等式的解集为 ;
当016.解析　　(1)由f(x+3)=-f(x)得f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数.
由f(5+x)=f(-x)得f(5-x)=f(x),所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴.(2分)
因为函数g(x)为“M函数”,所以ω==,又因为直线x=是g(x)图象的一条对称轴,所以×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,所以g(x)=2sin.(5分)
(2)易得将g(x)的图象变换后得到的图象对应的解析式为y=2sin=2sin.(6分)
因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以πa-=kπ+(k∈Z),解得a=k+(k∈Z).(8分)
因为a>0,所以k=0时,a取得最小值,为.(9分)
(3)结合(1)得h(x)=2sin-.(10分)
令h(x)=0,得sin=,所以x-=2kπ+或x-=2kπ+(k∈Z),解得x=6k+2或x=6k+3(k∈Z).
因为h(x)的最小正周期T==6,所以当x∈[m,m+3]时,h(x)至多有2个零点.(12分)
若(k∈Z),则6k≤m≤6k+2(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为2;
若(k∈Z),则6k+2当6k+3当6k+5≤m<6k+6(k∈Z)时,6k+8≤m+3<6k+9(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为1.(14分)
综上,k∈Z,当6k+317.解析　　(1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=loga=loga=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2分)
(2)当a=2时, f(x)=log2.
因为2x>0,所以=2x+≥2,当且仅当2x=1,即x=0时取等号,
所以f(x)=log2≥log22=1,即函数f(x)的值域为[1,+∞).(5分)
(3)因为 x1∈[-4,4], x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,
所以f(x)min≥g(x)min+2.(7分)
在函数y=g(x)+2=x-2+2(x∈[0,4])中,令t=,则t∈[0,2],原函数等价为h(t)=t2-2t+2,所以y=g(x)+2在[0,4]上的最小值等于h(t)在[0,2]上的最小值.
易知h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
所以h(t)在[0,2]上的最小值为h(1)=1.(9分)
因为f(x)为偶函数,所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4]上的最小值.设v(x)=,则f(x)=logav(x).
任取x1,x2∈[0,4],且x1因为0≤x10,>1,1->0,
所以(-)<0,即v(x1)所以v(x)=在[0,4]上单调递增.(12分)
当0所以f(x)min=f(4)=loga=loga,
所以loga≥1,解得a≥(舍去).
当a>1时,函数f(x)=logav(x)在[0,4]上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=loga2,所以loga2≥1,解得a≤2,
又a>1,所以1综上,实数a的取值范围为(1,2].(15分)
18.解析　　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即=0,解得a=1.(2分)
经检验,满足题意,∴a=1.(3分)
(2)由(1)知, f(x)=.任取x1,x2∈R且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=.
∵x10,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)原不等式可化为f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)∴x2+2x-3<3x-1,∴x2-x-2<0,∴-1∴原不等式的解集为(-1,2).(9分)
(3)假设存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是,则即
∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有两个不相等的实数根,
∴方程-(k+1)2x-k=0有两个不相等的实数根.(13分)
令2x=t,则t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有两个不相等的正根,
故解得-3+2∴存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是,
此时k的取值范围为(-3+2,0).(17分)
19.解析　　(1)由题意可知, f(-2)=a-2=,因为a>0,且a≠1,所以a=2,
所以f(x)=2x,则g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)=22xm+(2m-1)2x.(2分)
令s=2x(s>0),则原函数即为y=ms2+(2m-1)s,
当m=0时,y=-s,在(0,+∞)上无最小值,不符合题意;
当m≠0时,要使得函数y=ms2+(2m-1)s在(0,+∞)上有最小值,
则需所以0故实数m的取值范围是.(5分)
(2)由(1)知f(x)=2x,所以h(x)=
①当0<|x0|≤2时,由h(-x0)=h(x0),得-λ·-4=-λ·-4,所以λ==+,
不妨设t=,0由对勾函数的性质可知,函数y=t+在(1,4]上单调递增,
则λ=t+∈;(9分)
②当2<|x0|<3时,不妨设x0∈(2,3),
由h(-x0)=h(x0),得cos=-λ·-4,
所以λ=-,
令m(x)=,p(x)=2x-,其中x∈(2,3),
任取x1,x2∈(2,3),且x1易知余弦函数y=cos x在上单调递减,
所以cos>cos>0,则cos+4>cos+4>0,
因为>>0,所以>>0,
由不等式的基本性质可得>>0,即m(x1)>m(x2),
所以函数m(x)=在(2,3)上单调递减,
又因为函数y=2x在(2,3)上单调递增,
所以函数p(x)=2x-在(2,3)上单调递增,
又p(2)=4-=,p(3)=8-=,
所以当x∈(2,3)时,p(x)∈,即λ∈;(13分)
③当|x0|≥3时,不妨设x0≥3,由h(x0)=h(-x0),可得-λ·-4=2,则λ=-,令q(x)=2x-,x∈[3,+∞),
因为函数y=2x,y=-在[3,+∞)上单调递增,
所以函数q(x)=2x-在[3,+∞)上单调递增,
则q(x)≥q(3)=8-=,即λ≥.
综上所述,实数λ的取值范围是(2,+∞).(17分)