【突破课堂】第五章 三角函数--26版高中同步达标检测卷人教A版数学必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第五章　三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=-,则y=(　　)
A.1　　B.-1　　C.±1　　D.2
2.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4　　B.2　　C.　　D.
3.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度,所得函数图象关于直线x=对称,则φ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.函数f(x)=·sin πx在区间[-3,3]上的图象大致为(　　)
　　
　　
5.已知sin α-sin=,则cos=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
6.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈,且x1A.　　B.
C.　　D.
7.在锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是(　　)
A.　　B.3　　C.　　D.12
8.已知函数f(x)=4coscos-1(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若β为锐角,则2β为钝角
10.设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的是(　　)
A.m=-　　B.sin α-cos α=
C.tan α=　　D.cos2α-sin2α=-
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.ω=
B.φ=
C.若f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,则D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.
13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为,扇形的弧长为2π,则此弧田的面积为　　　　.
14.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答.
条件①:角α的终边与单位圆的交点为M;
条件②:角α满足3sin2α-2cos2α+1=0.
(1)求tan α的值;
(2)求sin αcos α-sin2α的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数f(x)在上的最值;
(3)若f=,求sin的值.
17.(15分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=,OA=,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=,设∠AOP=θ.
(1)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ);
(2)求△OPQ面积的最小值.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.
①当x∈时,求函数g(x)的值域;
②若方程g(x)-m=0在上有三个不相等的实数根x1,x2,x3(x119.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y+1), f(3)=2,当x>3时, f(x)>2.
(1)求f+f+f+…+ f的值;
(2)证明: f(x)在R上单调递增;
(3)设θ为锐角,求f(12+4cos 4θ)-f的最大值.
答案全解全析
1.B　根据题意可知=-,所以y=-1.
2.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2.
3.D　将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin的图象,
由已知得函数y=sin的图象关于直线x=对称,
所以2×++φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=.
4.B　因为f(x)的定义域为[-3,3],关于原点对称,且f(-x)=·sin(-πx)=-·sin πx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A和C;
当20,sin πx>0,所以f(x)=·sin πx>0,排除D.
5.A　由题意得sin α-=,
得sin α-cos α=,即sin=,
故cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-.
6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,∴f(x)max=, f(x)min=-,若存在x1,x2∈,且x1当00时,<ωx+<+,∴+>,解得ω>.
7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos B·cos C,∴tan B+tan C=3,∴tan Btan C≤=,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立.
易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=·tan Btan C==3+,
∵tan Btan C≤,∴tan Atan Btan C≥.
8.C　f(x)=4cos·cos-1=4sincos+sin-1=2sincos+2sin2-1=sin ωx-cos ωx=2sin.
由x∈,ω>0,得ωx-∈.
因为f(x)在区间上单调递增,
所以-ω-≥-且ω-≤,所以0<ω≤.
当x∈[0,π],ω>0时,ωx-∈.
要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值,
则≤ωπ-<,解得≤ω<.
综上,ω的取值范围为.
9.BC　对于A,因为-=-2π且为第二象限角,
所以-是第二象限角,A错误;
对于B,若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的半径r==3,
因此该扇形的面积S=πr=π×3=,B正确;
对于C,若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α==-,C正确;
对于D,若β为锐角,不妨取β=,则2β=,为直角,D错误.
10.BD　对于A,由题意得sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,
则
由sin α+cos α=得(sin α+cos α)2=,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,则-=-,解得m=,故A错误;
对于B,(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2×=,
因为α∈(0,π),所以sin α>0,又sin αcos α=-<0,所以cos α<0,
则sin α-cos α>0,因此sin α-cos α==,故B正确;
对于C,由解得
则tan α==-,故C错误;
对于D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确.
11.ACD　A选项,设f(x)的最小正周期为T,由题图可知,T=2×(4-1)=6,即ω==,A正确;
B选项,由题图可知A=2,故f(x)=2sin,
将(1,2)代入解析式得2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z,
又φ∈(0,π),所以φ=,B错误;
C选项,由以上分析知f(x)=2sin,
当x∈(0,m)时,x+∈,
因为f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,所以m+∈(3π,4π],解得D选项,由A知f(x)的最小正周期为6,
易知f(1)=2, f(2)=2sin =1, f(3)=2sin=-1,
f(4)=-2, f(5)=2sin=-1, f(6)=2sin=1,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+1-1=2,D正确.
12.答案　
解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=,
所以x=kπ+,k∈Z.①
易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为xx=2kπ+,k∈Z.
13.答案　3π-
解析　设扇形的半径为r,则扇形的弧长为×r=2π,解得r=3,扇形面积为×2π×3=3π,取AB的中点E,连接OE,如图所示:
因为OA=OB=3,所以OE⊥AB,
又因为∠AOB=,所以∠OAE=,
所以OE=OA=,AE=OAcos =3×=,则AB=2AE=3,
所以S△AOB=AB·OE=×3×=,
因此弧田的面积S=3π-.
14.答案　∪
解析　令ωx+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,
由题意可知,×≥2π-π,且ω>0,即0<ω≤1,
若x=-+∈(π,2π),k∈Z,则ω+因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,所以区间内不存在整数,
所以 (0,1)或 (1,2),
即或
解得0<ω≤或≤ω≤,
所以ω的取值范围是∪.
15.解析　(1)选条件①:由角α的终边与单位圆的交点为M,
可得x2+=1,则x=±,(3分)
由三角函数的定义可得tan α=±.(6分)
选条件②:由3sin2α-2cos2α+1=0,
得3sin2α-2cos2α+sin2α+cos2α=0,可得4sin2α=cos2α,(3分)
∴tan2α=,即tan α=±.(6分)
(2)无论选择①还是②均可得到tan α=±,
sin αcos α-sin2α==,(9分)
当tan α=时,==;(11分)
当tan α=-时,==-.(13分)
16.解析　(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+=×2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin,(2分)
所以f(x)的最小正周期T==π,(3分)
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(5分)
(2)易知函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,(7分)
又f=-1, f=sin =, f=sin=-,
所以f(x)在上的最小值为-1,最大值为.(10分)
(3)由f(x)=sin可得f=sin=,(12分)
所以sin=sin=-cos
=-=-=-.(15分)
17.解析　(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=,OM⊥AB.(3分)
因为点P在线段AM上运动,所以θ∈.(4分)
因为∠AOP=θ,所以∠POM=-θ,(5分)
所以PM=OM·tan∠POM=tan,即f(θ)=tan,θ∈.(7分)
(2)因为∠POQ=,所以∠QOM=θ,
所以QM=OM·tan∠QOM=tan θ,(10分)
所以PQ=PM+QM=tan+tan θ,(12分)
易得tan θ∈[0,1],
所以S△OPQ=PQ·OM==
=≥×(2-2)=-1,
当且仅当tan θ=-1时,等号成立,
所以△OPQ面积的最小值为-1.(15分)
18.解析　(1)由题图得则
设f(x)的最小正周期为T,由题图得=-=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ)+1,(3分)
因为f(x)的图象过点,所以=sin+1,
即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin+1.(5分)
(2)①由已知得g(x)=sin+1,(7分)
当x∈时,x+∈,
所以sin∈,所以sin+1∈,
所以函数g(x)的值域为.(9分)
②当x∈时,x+∈,令t=x+,则t∈,
令h(t)=sin t+1,易得h=sin +1=,h=sin +1=,h=sin +1=,画出函数h(t)的图象,如图所示,
由已知得h(t)-m=0有三个不同的实数根,分别设为t1,t2,t3(t1即+2+=4π,所以x1+2x2+x3=,(15分)
所以tan(x1+2x2+x3)=tan =tan=.(17分)
19.解析　(1)由已知得f(1)+f(1)=f(3)=2,则f(1)=1,
所以f(x)+f(-x)=f(x-x+1)=f(1)=1,(2分)
i∈Z,cos +cos =0,
故f+f=1,
所以f+f+f+…+f=1 012×=1 012.(4分)
(2)证明:由已知得f(x+y+1)-f(y)=f(x),
任取x1,x2∈R,且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1-1),(6分)
结合f(3)=2可知f(x2-x1-1)=f(x2-x1-1)+f(3)-f(3)=f(x2-x1+3)-2,
因为x2>x1,所以x2-x1+3>3,所以f(x2-x1+3)>2,即f(x2-x1+3)-2>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增.(8分)
(3)设u(θ)=f(12+4cos 4θ)-2f,由f(x)+f(y)=f(x+y+1)得2f=f,
所以u(θ)=f(12+4cos 4θ)-f
=f,(11分)
设h(θ)=4cos 4θ--+9,
则h(θ)=4cos 4θ--+9=4cos 4θ-+9
=4cos 4θ-+9=4cos 4θ-+10
=4(1-2sin22θ)-+10=14-2,
因为θ为锐角,所以θ∈,所以2θ∈(0,π),所以sin 2θ∈(0,1].
由基本不等式可得4sin22θ+≥2=4,
当且仅当sin 2θ=,即θ=或θ=时取“=”,
所以h(θ)≤14-2×4=6.(14分)
由于f(x)单调递增,所以u(θ)=f(h(θ))≤f(6),故u(θ)的最大值为f(6),
由已知得f(5)=f(1+3+1)=f(1)+f(3)=1+2=3,
所以f(2)+f(2)=f(2+2+1)=f(5)=3,则f(2)=,
所以f(6)=f(2+3+1)=f(2)+f(3)=+2=,
所以u(θ)的最大值为,
所以f(12+4cos 4θ)-f的最大值为.(17分)