【突破课堂】期末综合检测--26版高中同步达标检测卷人教A版数学必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末综合检测
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|-3A.{x|-3C.{x|-32.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且为偶函数,则实数m=(　　)
A.2或-1　　B.-1　　C.4　　D.2
3.为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度　　B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度　　D.向左平移个单位长度
4.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(　　)
A.y=　　B.y=-　　C.y=x3　　D.y=sin x
5.若x>0,则x+≥a恒成立的一个充分条件是(　　)
A.a>80　　B.a<80　　C.a>100　　D.a<100
6.某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造,采用新技术后每个月的产量比上个月增长10%,如果n(n∈N*)个月后,月产量提高到原来的2倍,那么n的最小值为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 11≈1.04)(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
7.定义域为R的函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x), f(4)=0,且 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,则不等式(x-3)f(x)<0的解集为(　　)
A.(-∞,2)∪(4,+∞)　　B.(2,3)∪(4,+∞)
C.(2,3)∪(3,4)　　D.(-∞,2)∪(3,4)
8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　)
A.b>a>d>c　　B.b>c>a>d　　C.b>a>c>d　　D.a>b>d>c
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知实数x,y>0,x+y=1,则(　　)
A.+≥9　　B.+≥2
C.log2x+log2y≤-2　　D.logxy+logyx≥2
10.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.若f(f(0))=0,则a=
B.若f(x)在R上单调递增,则a的值可以为
C.存在a,使得f(x)在(-∞,3]上单调递减
D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为
11.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫做潮汐.一般地,早潮叫做潮,晚潮叫做汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.已知某港口某一天的水深f(t)(单位:m)与时间t(单位:h)的关系可近似地用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b来表示,函数y=f(t)的图象如图所示,则(　　)
A. f(t)=3sin t+5(0≤t≤24)
B.函数f(t)的图象关于点(12,0)对称
C.当t=5时,水深达到6.5 m
D.已知函数g(t)的定义域为[0,6],g(2t)=f(2t)-n有2个零点t1,t2,则tan =
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数f(ex)=2x,则f(x)=　　　　.
13.函数y=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为　　　　　　　　　.
14.给定函数f(x),若曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的坐标满足|y|≤|x|,则称函数f(x)具有“线性控制”性质.给出下列四个函数:①f(x)=x;②f(x)=;③f(x)=(x≥0);④f(x)=lg(-x)(x≤-1).其中具有“线性控制”性质的函数的序号是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知全集U=R,函数f(x)=的定义域为集合A,集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m≤0}.
(1)若m=0,求( UA)∩B;
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
16.(15分)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本500万元,每生产x百台该高级设备需要另投入成本y万元,且y=每百台该高级设备售价为80万元.
(1)求企业所获年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式;
(2)当年产量为多少时,企业所获年利润最大 并求出最大年利润.(假设所生产设备均能售出)
17.(15分)已知函数f(x)=2sin xsin+cos 2x.
(1)求f(x)的单调递增区间和最值;
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0≤φ≤,若当x∈(0,7π)时, f(x)只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,函数取得最大值3,当x=6π时,函数取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,满足不等式f()>f() 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)若将函数f(x)的图象上的所有点保持横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,再将函数g(x)的图象向左平移φ0(φ0>0)个单位长度得到函数h(x)的图象.已知函数F(x)=eg(x)+lg h(x)的最大值为e,求满足条件的φ0的最小值.
19.(17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=-2x2-4x-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=.
①若 x∈R,不等式f(m)≤g(x)+恒成立,求实数m的取值范围;
②已知包含实数0的区间D,若 x1,x2,x3∈D,以f(g(x1)), f(g(x2)), f(g(x3))为长度的三条线段都能构成三角形.将区间[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)记为I,定义‖I‖=b-a,设M={y|y=g(x),x∈D},求‖M‖.
答案全解全析
1.C　A={x|-32.D　由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
因为f(x)为偶函数,所以m2-2m-2为偶数,故m=2.
3.A　y=sin=sin,所以为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象向右平移个单位长度.
4.C　A选项,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故不是奇函数,A错误;
B选项,y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
易知y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,但在定义域上不单调递增,B错误;
C选项,y=x3的定义域为R,且(-x)3=-x3,
所以y=x3在定义域内为奇函数,易知y=x3在R上单调递增,C正确;
D选项,y=sin x在定义域R上不单调,D错误.
5.B　因为x+≥a恒成立,所以≥a,
因为x>0,所以x+≥2=90,当且仅当x=,即x=45时等号成立,所以=90,所以a≤90,因为{a|a<80} {a|a≤90},
所以x+≥a恒成立的一个充分条件为a<80.
6.C　由题意可得(1+10%)n≥2,即1.1n≥2,
两边取对数可得lg 1.1n≥lg 2,即nlg 1.1≥lg 2,
因为lg 1.1>0,所以n≥=≈=7.5,
因为n∈N*,所以nmin=8.
7.D　因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴.
因为 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,3]上单调递减.
由f(4)=0得f(2)=0,
所以当x∈(-∞,2)时,x-3<0, f(x)>0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[2,3]时,x-3≤0, f(x)≤0,不满足(x-3)f(x)<0,
当x∈(3,4)时,x-3>0, f(x)<0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[4,+∞)时,x-3>0, f(x)≥0,不满足(x-3)f(x)<0,
所以不等式(x-3)f(x)<0的解集为(-∞,2)∪(3,4).
8.C　a==(2.
函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3,所以<(2<,即b>a>.
函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d.
函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3,所以log34综上,b>a>>c>d.
9.ACD　对于A,因为x>0,y>0,x+y=1,所以+=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当x=,y=时等号成立,故A正确;
对于B,因为x>0,y>0,x+y=1,所以=x+y+2≤1+x+y=2,故+≤,当且仅当x=y=时等号成立,故B错误;
对于C,因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤=,当且仅当x=y=时等号成立,故log2x+log2y=log2(xy)≤-2,故C正确;
对于D,因为x,y>0,x+y=1,所以00,>0,
logxy+logyx=+≥2=2,当且仅当x=y=时等号成立,故D正确.
10.ABD　由题意得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=9-6a+2a=0,得a=,A正确.
若f(x)在R上单调递增,则得0若f(x)在(-∞,3]上单调递减,则不等式组无解,C错误.
若f(x)的值域为R,则a>0,所以f(x)在(-∞,2)上单调递增.
当0当a>2时, f(x)在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则2a+3≥a2-2a2+2a,得a2+3≥0,显然恒成立,故a>2.
综上,a的取值范围为,D正确.
11.ACD　由题图知∴ω=,A=3,b=5.
由“五点作图法”知,×3+φ=,解得φ=0.
∴f(t)=3sin t+5(0≤t≤24),故A正确.
f(12)=5≠0,∴函数f(t)的图象不关于点(12,0)对称,故B错误.
f(5)=3sin +5=+5=6.5,即当t=5时,水深达到6.5 m,故C正确.
∵g(t)的定义域为[0,6],∴0≤2t≤6,解得0≤t≤3.
令g(2t)=f(2t)-n=0,得n=f(2t)=3sin t+5,
∴=sin t(0≤t≤3).
∵t∈[0,π],t1,t2为g(2t)=f(2t)-n的2个零点,
∴t1+t2=×2=π,∴t1+t2=3,∴tan =tan =,故D正确.
12.答案　2ln x(x>0)
解析　令t=ex,则x=ln t,t>0,所以f(t)=2ln t,所以f(x)=2ln x(x>0).
13.答案　y=2cos
解析　由题图知A=2,=-=,所以T=π,即=π,所以ω=2,所以y=2cos(2x+φ).
由2cos=2,且0<φ<,可得φ=.
所以y=2cos.
14.答案　①④
解析　对于①,当y=f(x)=x时,因为|y|-|x|=|x|-|x|=-|x|≤0恒成立,所以f(x)=x具有“线性控制”性质;
对于②,当y=f(x)=时,|y|-|x|=-x=(1-),
当0≤x<1时,1->0,此时|y|-|x|>0,即|y|>|x|,所以f(x)=不具有“线性控制”性质;
对于③,在同一坐标系中作出y=x(x≥0)和y=(x≥0)的图象,如图1,
由图1知y=x(x≥0)与y=(x≥0)的图象相交于一点,设该点的横坐标为x0,易知当0≤x|x|,
所以当0≤x　　　
对于④,在同一坐标系中作出y=-x(x≤-1)和y=lg(-x)(x≤-1)的图象,如图2所示,
由图2知,当x≤-1时,y=lg(-x)的图象恒在射线y=-x的下方,即lg(-x)<-x=|x|,所以f(x)=lg(-x)(x≤-1)具有“线性控制”性质.
15.解析　由题意得则由x2-(2m+1)x+m2+m≤0,得(x-m)[x-(m+1)]≤0,
解得m≤x≤m+1,所以B={x|m≤x≤m+1}.(6分)
(1)当m=0时,B={x|0≤x≤1},
所以( UA)∩B=xx≤或x>1∩{x|0≤x≤1}=x0≤x≤.(9分)
(2)因为A∩B= ,所以m+1≤或m>1,(11分)
解得m≤-或m>1,
所以m的取值范围是mm≤-或m>1.(13分)
16.解析　(1)当0≤x<40,100x∈N时,
P=80x-x2-20x-100-500=-x2+60x-600,(3分)
当40≤x≤100,100x∈N时,
P=80x--500=-x-+650,(6分)
故P=(7分)
(2)当0≤x<40,100x∈N时,P=-(x-30)2+300,
故当x=30时,P取得最大值,最大值为300.(10分)
当40≤x≤100,100x∈N时,
P=-x-+650≤-2+650=350,
当且仅当=,即x=60时,等号成立,(13分)
因为350>300,所以当年产量为60百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为350万元.(15分)
17.解析　(1)f(x)=2sin xsin+cos 2x=2sin x+cos 2x=sin2x+sin 2x+cos 2x=+sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x+=sin+.(4分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(6分)
易得f(x)的最大值为,最小值为-.(8分)
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,
则函数y=f(x),x∈的图象与直线y=a有两个交点.(10分)
由(1)可得,当x∈时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,(13分)
又f(0)=1, f=, f=0,
所以实数a的取值范围为.(15分)
18.解析　(1)根据题意,得f(x)max=f(π)=3, f(x)min=f(6π)=-3,所以A=3,因为当x∈(0,7π)时, f(x)只取到一个最大值和一个最小值,所以最小正周期T==2×(6π-π)=10π,所以ω=.(3分)
由“五点作图法”知×π+φ=,所以φ=,(4分)
所以f(x)=3sin.(5分)
(2)根据题意得解得-1≤m≤2.(7分)
则-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,所以0≤≤2.
同理,0≤≤2.
所以≤+≤+<π,≤+≤+<π,
易知函数f(x)在区间[-4π,π]上单调递增,
所以f()>f()等价于>,解得m>.(10分)
综上,存在m∈,使不等式f()>f()成立.(11分)
(3)根据题意,得g(x)=sin,h(x)=sin.(13分)
因为函数y=ex与函数y=lg x均为增函数,且-1≤g(x)≤1,0所以当g(x)=sin=1与h(x)=sin=1同时成立时,函数F(x)取得最大值e.(15分)
由g(x)=sin=1,得x+=+2kπ,k∈Z,
此时h(x)=sin=sin=1,k∈Z,
所以cos φ0=1,所以φ0=2nπ,n∈Z,所以φ0=10nπ,n∈Z.
又因为φ0>0,所以φ0的最小值为10π.(17分)
19.解析　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,(1分)
当x>0时,-x<0,
∴f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2-4(-x)-3]=2x2-4x+3.(3分)
综上, f(x)=(4分)
(2)①g(x)+=+=,
令t=ex+e-x,则t∈[2,+∞),g(x)+=,
易知y=在[2,+∞)上单调递增,
∴当t=2时,ymin==,
∵不等式f(m)≤g(x)+恒成立,∴f(m)≤,(7分)
当m<0时, f(m)=-2m2-4m-3=-2(m+1)2-1<0≤恒成立;
当m=0时, f(m)=0≤恒成立;
当m>0时, f(m)=2m2-4m+3,令2m2-4m+3≤,则≤m≤.
综上,m的取值范围是(-∞,0]∪.(10分)
②不妨设f(g(x1))≤f(g(x2))≤f(g(x3)).
由已知得f(g(x1))+f(g(x2))>f(g(x3)),
则 x∈D,都有2f(g(x))min>f(g(x))max.(13分)
由①可得g(x)≥1,令k=g(x),则k≥1, f(g(x))=f(k)=2k2-4k+3=2(k-1)2+1≥1,
∴f(g(x))min=1,(15分)
∵2f(g(x))min>f(g(x))max,
∴2>2k2-4k+3,即2k2-4k+1<0,解得1-∴M=,则‖M‖=.(17分)