【突破课堂】期中综合检测--26版高中同步达标检测卷人教B版数学必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末综合检测
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U={x∈N|1≤x≤6},集合A={2,3,5},B={3,4,5},则A∩( UB)=(　　)
A.{1,6}　　　　B.{2,6}　　　　C.{2}　　　　D.{1,2}
2.命题p: x∈R,x2+2x+2≤0,则 p为(　　)
A. x∈R,x2+2x+2>0　　　　B. x∈R,x2+2x+2≥0
C. x∈R,x2+2x+2>0　　　　D. x∈R,x2+2x+2≥0
3.已知函数f(x)=则f(-4)=(　　)
A.9　　　　B.10　　　　
C.11　　　　D.12
4.已知x1,x2是方程2x2+bx+c=0(b>0,c<0)的两根,且+=,|x1-x2|=,则该方程是(　　)
A.2x2+3x-3=0　　　　B.2x2+2x-3=0
C.2x2+2x-4=0　　　　D.2x2+3x-4=0
5.“-3A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x+2)是偶函数, f(x)在(-∞,2]上单调递增,则不等式f(3x+2)A.∪　　　　B.
C.∪　　　　D.
7.已知函数f(x)=若f(x)的最小值为f(2),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,4]　　　　B.[2,4]　　　　
C.(2,4]　　　　D.(2,+∞)
8.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x,若g(x)满足g(x)=且g(f(x))-a=0有8个不同的实数解,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,0)　　　　
C.(0,1)　　　　D.(1,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.空集是任何集合的子集
B.函数f(x)=在定义域上单调递减
C.若f(x)在定义域上为奇函数,则一定有f(0)=0
D.若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称
10.若关于x的不等式x2-5ax+2a2<0(a<0)的解集为{x|x1A.x1x2+x1+x2<0的解集为
B.x1x2-x1-x2的最小值为-
C.+x1+x2的最大值为-
D.+x1+x2的最小值为
11.已知函数y=f(x)的定义域为D,区间I D,若存在非零常数t,使得对任意x∈I,x+t∈D,都有f(x+t)A.函数f(x)=是(-2,-1)上的“1-衰减函数”
B.若函数f(x)=x2是(-2,-1)上的“t-衰减函数”,则t的最大值为1
C.已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时, f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最大值为
D.已知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时, f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最小值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则图中阴影部分表示的集合是　　　　　　　　.
13.对于函数f(x)=(x>0)的定义域中任意x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
① f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);
② f(x1x2)=f(x1)f(x2);
③ >0;
④ f < .
其中正确结论的序号是　　　　　　.
14.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x+1)=f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=,则当x∈(0,1]时,f(x)的最小值为　　　　;若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥成立,则实数m的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,命题q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p与q均为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若a>0,且 p是 q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.(15分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车的载客量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t满足p(t)=其中t∈N.
(1)求p(6),并说明p(6)的实际意义;
(2)若该路无人驾驶公交车每分钟的净收益y(单位:元)满足y=-10,则当发车时间间隔为多少时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大 并求出每分钟的最大净收益.
17.(15分)(1)当3≤x≤4时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a>0时,解关于x的不等式ax2-x+1-a≤0.
18.(17分)已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.
(1)已知f(x)=,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x,y都有f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2,设g(x)=.
(1)证明:函数g(x)为偶函数;
(2)若f(x)满足:当x>1时, f(x)+2x2<0.
(i)求不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集;
(ii)若 m∈(-2,2),使得 s∈[1,+∞),都有f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,求实数t的取值范围.
答案与解析
1.C　易得U={1,2,3,4,5,6},所以 UB={1,2,6},所以A∩( UB)={2}.
2.A　
3.D　由已知得,f(-4)=f(-4+3)=f(-1)=f(-1+3)=f(2)=2×6=12.
4.D　∵x1,x2是方程2x2+bx+c=0(b>0,c<0)的两根,
∴x1+x2=-,x1x2=,
又+=,|x1-x2|=,
∴-2x1x2=,(x1+x2)2-4x1x2=,
即-c=,-2c=,
解得b=3,c=-4,故该方程是2x2+3x-4=0.
5.A　对于不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0,
①当m=1时,不等式为-1<0,恒成立;
②当m≠1时,若不等式对任意的x∈R恒成立,则解得-3综上所述,若不等式对任意的x∈R恒成立,则m的取值范围为{m|-3∵{m|-3∴“-36.C　因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象的对称轴是直线x=2,
因为f(x)在(-∞,2]上单调递增,所以在[2,+∞)上单调递减,
由f(3x+2)|x+1-2|,即8x2+2x-1>0,解得x<-或x>,所以原不等式的解集为∪.
7.B　当x<2时, f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,其图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以f(x)min=f(1)=a-1.
当x≥2时, f(x)=x+-2,
若a≤0,则f(x)=x+-2为增函数,所以f(x)min=f(2)=,要满足f(x)的最小值为f(2),则≤a-1,解得a≥2,与a≤0矛盾,故舍去;
若a>0,由对勾函数的性质知f(x)=x+-2在[,+∞)上单调递增,要满足f(x)的最小值为f(2),则解得2≤a≤4.
综上,实数a的取值范围是[2,4].
8.B　f(x)为R上的奇函数,当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2+2x,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
所以f(x)=则g(x)=
作出函数f(x)的图象如图1,
设t=f(x),作出函数g(t)的图象,如图2,
当a<-1时,g(t)=a没有实数根,不满足题意;
当-1易知函数f(x)的图象与四条直线y=t1,t=t2,y=t3,y=t4共有8个交点,则g(f(x))-a=0有8个不同的解;
当a=-1时,g(t)=a有两个实数根,为-1,1,易知f(x)的图象与直线y=-1,y=1的交点个数分别为2,2,共有4个交点,则g(f(x))-a=0只有4个不同的解,不满足题意;
当a=0时,g(t)=a有三个实数根,为-2,0,2,易知f(x)的图象与直线y=-2,y=0,y=2的交点个数分别为1,3,1,共有5个交点,则g(f(x))-a=0只有5个不同的解,不满足题意;
当a>0时,g(t)=a有两个实数根,设为t5,t6,其中t5∈(-∞,-2),t6∈(2,+∞),易知f(x)的图象与直线y=t5,y=t6各有1个交点,则g(f(x))-a=0只有2个不同的解,不满足题意.
综上,实数a的取值范围为(-1,0).
9.AD　易得A,D正确.函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不单调,故B中说法错误.
f(x)=是奇函数,但x=0时,f(x)没有意义,故C中说法错误.
10.AC　由题意可得x1,x2是方程x2-5ax+2a2=0(a<0)的两个实数根,
则x1+x2=5a,x1x2=2a2.
对于A,x1x2+x1+x2<0即2a2+5a<0,解得-对于B,x1x2-x1-x2=2a2-5a=2-,令f(a)=2-,
a<0,则f(a)在(-∞,0)上单调递减,则f(a)>f(0)=0,所以f(a)∈(0,+∞),没有最小值,故B错误;
对于C,D,+x1+x2=+5a=+5a=-≤-2=-,当且仅当-5a=,即a=-时,等号成立,所以+x1+x2的最大值为-,没有最小值,故C正确,D错误.
11.ACD　选项A, f(x)的定义域是{x|x≠0},当t=1时,由x∈(-2,-1)得x+1∈(-1,0), f(x+1)=,则f(x)-f(x+1)=-=>0,即f(x+1)选项B, f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,由x∈(-2,-1)得x+t∈(-2+t,-1+t),由题意得f(x+t)选项C,如图,作出y=f(x)的大致图象,把它向左平移1个单位得到y=g(x)=f(x+1)的图象,因为f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,所以在区间(-2,-1)上g(x)的图象在f(x)的图象的下方,则平移后点(-1,0)在点(-2a,0)的左侧,则解得0选项D,如图,作出y=f(x)的大致图象,把它向左平移1个单位得到y=m(x)=f(x+1)的图象,因为f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,所以在区间(-2,-1)上m(x)的图象在f(x)的图象的下方,则平移后点(-1,0)不能在点(-2a,0)的左侧,图中A点所对应的f(x)的表达式为y=x+2a,所对应的m(x)的表达式为y=-x-1,
由得则A,
要使在区间(-2,-1)上m(x)的图象在f(x)的图象的下方,则需满足解得a≥,故a的最小值是,D正确.
12.答案　(-2,-1)∪[0,1]
解析　题图中阴影部分表示的集合为 (A∪B)(A∩B),
易得集合A={x|x(x+2)<0}={x|-2所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),
所以 (A∪B)(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1].
13.答案　②④
解析　①令x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=,f(x1)+f(x2)=,f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2),故①错误;
②对于任意x1,x2(x1≠x2),有f(x1x2)==f(x1)f(x2),故②正确;
③ =-<0,故③错误;
④ f -=-=-<0,故④正确.
综上,正确结论的序号是②④.
14.答案　2;
解析　当x∈(0,1]时,f(x)==+2x,
因为x∈(0,1],所以f(x)=+2x≥2=2,当且仅当=2x,即x=时取等号,
所以f(x)的最小值为2.
因为f(x+1)=f(x),
所以f(x)=f(x-1),
易知当x∈(0,1]时,f(x)=∈[2,+∞),
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1),所以f(x)∈;
当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],f(x)=f(x-1)=f(x-2),所以f(x)∈;
当x∈(3,4]时,x-3∈(0,1],f(x)=f(x-1)=f(x-2)= f(x-3),所以f(x)∈.
易得>>,
当x∈(3,4]时,令f(x)=f(x-3)==,解得x=或x=(舍).
若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥恒成立,则m≤,
所以实数m的最大值为.
15.解析　(1)当a=1时,命题p:实数x满足x2-4x+3<0,即1命题q:实数x满足|x-3|<1,即2若p,q同为真命题,则解得2∴实数x的取值范围是(2,3).(6分)
(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-a)(x-3a)<0,
∵a>0,∴a由|x-3|<1得2设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x≥4},(10分)
若 p是 q的充分不必要条件,则A是B的真子集,
∴或解得≤a≤2.
∴实数a的取值范围为.(13分)
16.解析　(1)p(6)=60-16=44,(2分)
p(6)的实际意义:当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车的载客量为44人.(5分)
(2)∵p(t)=t∈N,
∴当5≤t<10时,y=-10=110-≤110-2=38,当且仅当6t=,即t=6时,等号成立,
∴y的最大值为38;(9分)
当10≤t≤20时,y=-10=-10,
易知y=-10在t∈[10,20]上单调递减,
∴当t=10时,y取最大值,为28.4.(13分)
∵38>28.4,∴当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.(15分)
17.解析　(1)不等式ax2-x+1-a≤0可化为a(x2-1)≤x-1,
当3≤x≤4时,8≤x2-1≤15,所以原不等式可化为a≤=,(4分)
则a≤对x∈[3,4]恒成立,
易知y=在[3,4]上单调递减,所以≤≤,所以a≤,
故实数a的取值范围是.(6分)
(2)不等式ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax-1+a)≤0,(8分)
因为a>0,所以不等式对应的方程的根为1和-1,
当-1=1,即a=时,原不等式为(x-1)2≤0,解得x=1;(10分)
当-1>1,即0当-1<1,即a>时,解不等式得-1≤x≤1.(14分)
综上,当a=时,原不等式的解集为{1};
当0当a>时,原不等式的解集为.(15分)
18.解析　(1)f(x)===2x+1+-8,(2分)
设u=2x+1,x∈[0,1],
则1≤u≤3,y=u+-8.(3分)
由题中所给出的性质得,当1≤u≤2,即0≤x≤时, f(x)单调递减,
当2≤u≤3,即≤x≤1时, f(x)单调递增,
所以函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)
因为f(0)=-3, f=-4, f(1)=-,
所以f(x)的值域为[-4,-3].(8分)
(2)由题意得f(x)在[0,1]上的值域是g(x)在[0,1]上的值域的子集.(10分)
易知g(x)=-x-2a为减函数,
故当x∈[0,1]时,g(x)∈[-1-2a,-2a].(12分)
由(1)知当x∈[0,1]时,f(x)∈[-4,-3],(13分)
所以解得a=.(17分)
19.解析　(1)证明:由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2,得g(xy)==++2=g(x)+g(y)+2,(1分)
令x=y=1,得g(1)=2g(1)+2,所以g(1)=-2,
令x=y=-1,得g(1)=2g(-1)+2,所以g(-1)=-2,
令y=-1,得g(-x)=g(x)+g(-1)+2=g(x),(4分)
又g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
所以g(x)为偶函数.(5分)
(2)由(1)知g(xy)=g(x)+g(y)+2,
任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,
g(x2)-g(x1)=g-g(x1)=g+g(x1)+2-g(x1)=g+2,
因为当x>1时, f(x)+2x2<0,所以+2<0,即g(x)+2<0,
由x2>x1>0得>1,所以g+2<0,即g(x2)-g(x1)<0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.(7分)
(i)由x2-1≠0,x+1≠0得x≠±1,不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0,即>,即g(x2-1)>g(x+1),因为g(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
所以|x2-1|<|x+1|,解得0故不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集为(0,1)∪(1,2).(11分)
(ii)由f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,得≤t2-2mt-7,即g(s)≤t2-2mt-7,
由题意得g(s)≤t2-2mt-7对s∈[1,+∞)恒成立,所以g(s)max≤t2-2mt-7.(13分)
由(2)知,g(x)在[1,+∞)上单调递减,又g(1)=-2,所以g(s)max=-2,
所以 m∈(-2,2),使得-2≤t2-2mt-7即t2-2mt-5≥0成立.(15分)
令h(m)=-2tm+t2-5,m∈(-2,2),则或
即或解得t<-1或t>1,故t的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(17分)