【突破课堂】第1章 直线与方程--26版高中同步达标检测卷苏教版数学选必修1

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高中同步达标检测卷
第1章　直线与方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线在x轴上的截距为(　　)
A.-10　　　　B.10　　　　C.　　　　D.-
2.已知直线l过点(1,2),且直线l与直线y=ax-1平行,与直线y=x+a垂直,则直线l的方程为(　　)
A.x+y-2=0　　　　B.2x+y-4=0　　　　C.x-y-2=0　　　　D.2x-y-4=0
3.若直线l:x-my=0(|m|≤1),则l的倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪　　　　B. C.∪　　　　D.
4.若P(2,3)既是A(a1,b1),B(a2,b2)所连线段的中点,又是直线l1:a1x+b1y-13=0与直线l2:a2x+b2y-m=0的交点,则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.3x-2y=0　　　　B.3x-2y-12=0 C.2x-3y-13=0　　　　D.2x-3y+5=0
5.已知点P(-2,-1),则点P到直线l:(1+k)x+y-k-2=0的距离的最大值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
6.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,a≠b,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)
A.1,　　　　B.,　　　　C.,　　　　D.1,
7.已知直线l1:2x+y+6=0与直线l2:ax-y+2=0垂直,点P在直线l2上运动,A(2,4),B(2,1),则|PA-PB|的最大值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.已知在△ABC中,B(1,4),C(6,3),∠BAC的平分线所在的直线方程为x-y+1=0,则△ABC的面积为(　　)
A.5　　　　B.10　　　　C.8　　　　D.2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知直线l1:x+(a+1)y+a-2=0,直线l2:ax+2y+8=0,下列说法正确的是(　　)
A.l1始终过点(3,-1)
B.若l1∥l2,则a=1或a=-2
C.若l1⊥l2,则a=-
D.当a>0时,l2始终不过第一象限
10.下列说法正确的是(　　)
A.直线3x-2y+12=0在x轴上的截距与在y轴上的截距的积为-24
B.方程2x+ty-3=0(t∈R)能表示平行于y轴的直线
C.过点P(2,1)作直线l,使点A(-2,3),B(1,2)到l的距离相等,则l的方程为x+3y-5=0
D.点(2,0)关于直线x-y-1=0的对称点为(1,1)
11.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,则以下结论正确的是(　　)
A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)
C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.若l1与l2交于点M,则MO(O为坐标原点)的最大值是
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知直线m:2x+y-1=0与直线n平行,且两条直线之间的距离为,则直线n的方程为　　　　　　.
13.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则的取值范围是　　　　　　,(x+1)2+y2的取值范围是　　　　　　.
14.定义:点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a,b不全为零)的有向距离为δP=.已知两定点F1(-2,0)与F2(2,0),F1,F2到直线l的有向距离之差的绝对值等于2,且F1,F2在直线l的同侧,则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,平行四边形ABCD的面积为8,A为原点,点B(2,-1),点C,D在第一象限内.
(1)求直线CD的方程;
(2)若BC=,求点D的横坐标.
16.(本小题满分15分)如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)若P为线段AB的中点,求直线l的方程;
(2)若点P在线段AB上,且满足=2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.
17.(本小题满分15分)已知点A(0,1),B(1,1),设过点P(0,-1)的直线l与△AOB(O为坐标原点)的边AB交于点M(异于A,B两点),与边OB交于N(异于O,B两点),设直线l的斜率为k.
(1)试用k表示点M和N的坐标;
(2)求△OMN的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式;
(3)当k为何值时,S取得最大值 并求此最大值.
18.(本小题满分17分)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的点N处.
(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;
(2)若b=8,求反射光线所在直线的斜率的取值范围;
(3)若b≥6,求光从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.
19.(本小题满分17分)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”,是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.下图是抽象的城市路网,其中线段AB是欧式空间中定义的两点之间的最短距离,但在城市路网中,我们只能走有路的地方,不能“穿墙”而过,所以在“曼哈顿几何”中,这两点之间的最短距离用d(A,B)表示,称作“曼哈顿距离”,也叫“折线距离”,即d(A,B)=AC+CB,因此“曼哈顿距离”公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则d(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|.
(1)①点S(3,7),T(2,-1),求d(S,T)的值;
②写出到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程;
(2)已知点N(1,0),直线l:2x-y+2=0,求点N到直线l的“曼哈顿距离”的最小值;
(3)我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫作“曼哈顿椭圆”.
①求“曼哈顿椭圆”的方程;
②根据“曼哈顿椭圆”的方程,研究“曼哈顿椭圆”几何性质中的范围、对称性,并说明理由.
答案全解全析
1.A　由直线的两点式方程得=,即y-4=,令y=0,得x=-10,故该直线在x轴上的截距为-10.
2.B　由题意可得直线y=ax-1与直线y=x+a垂直,所以a·=-1,解得a=-2,所以直线l的斜率为-2,又直线l过点(1,2),所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
3.D　当m=0时,直线l的倾斜角为;当m≠0时,直线l的斜率k=,因为|m|≤1,所以k≥1或k≤-1,则由正切函数的图象可得≤α<或<α≤.
综上,l的倾斜角α的取值范围为.
4.A　由题意得=2,=3,且
则2(a1+a2)+3(b1+b2)-13-m=0,即2×4+3×6-13-m=0,得m=13,
由题意可得点A(a1,b1),B(a2,b2)在直线2x+3y-13=0上,则直线AB的方程为2x+3y-13=0,
所以kAB=-,则与直线AB垂直的直线的斜率为,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-3=(x-2),即3x-2y=0.
5.B　直线l的方程(1+k)x+y-k-2=0可化为k(x-1)+x+y-2=0,
令解得所以直线l过定点(1,1),记为Q,
当PQ与直线l垂直时,点P到直线l的距离最大,为PQ==.
6.C　因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c,
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c.
又0≤c≤,所以≤1-4c≤1,所以≤|a-b|≤1.
易知直线x+y+a=0与直线x+y+b=0(a≠b)平行,所以它们之间的距离d=,所以≤d≤,即所求距离的最大值和最小值分别为,.
7.D　因为l1与l2垂直,所以-2×a=-1,解得a=,所以l2:y=x+2,
设点B(2,1)关于直线l2的对称点为C(m,n),
则解得m=,n=,所以C,
所以|PA-PB|=|PA-PC|≤AC==,当且仅当P,A,C三点共线时等号成立,所以|PA-PB|的最大值为.
8.C　由题意得直线BC的斜率为=-,故其方程为y-4=-(x-1),即x+5y-21=0.
由解得x=,y=,设D,则AD平分∠BAC.
设A(a,a+1),a≠,易知直线AB,AC的斜率均存在,则直线AB的方程为y-4=(x-1),即(a-3)x-(a-1)y+3a-1=0,直线AC的方程为y-3=(x-6),即(a-2)x-(a-6)y-3a-6=0.根据角平分线的性质可知,D到直线AB,AC的距离相等,所以=,即=,
由于a≠,所以上式可化为2·=,两边平方并化简得a2-a=0,解得a=0,所以A(0,1).
所以A(0,1)到直线BC的距离为=,又BC==,所以S△ABC=××=8.
9.ACD　对于A,x+(a+1)y+a-2=0可化为(y+1)a+x+y-2=0,
令解得所以直线l1过定点(3,-1),故A正确;
对于B,若l1∥l2,则a(a+1)=2,解得a=1或a=-2,
当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+8=0,此时l1∥l2,
当a=-2时,l1:x-y-4=0,l2:-2x+2y+8=0,即l2:x-y-4=0,
此时l1与l2重合,故a=-2舍去,所以a=1,故B错误;
对于C,若l1⊥l2,则a+2(a+1)=0,解得a=-,故C正确;
对于D,当a>0时,直线l2:y=-x-4始终过点(0,-4),且斜率-<0,
所以该直线过第二、三、四象限,不过第一象限,故D正确.
10.ABD　对于A,令x=0,得y=6,则直线在y轴上的截距为6,令y=0,得x=-4,则直线在x轴上的截距为-4,所以直线在x轴上的截距与在y轴上的截距的积为-24,故A正确;
对于B,当t=0时,方程为2x-3=0,表示平行于y轴的直线x=,故B正确;
对于C,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,不满足A,B到直线l的距离相等,
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由A,B到直线l的距离相等,可得=,解得k=-或k=-,
当k=-时,直线l的方程为x+3y-5=0,当k=-时,直线l的方程为3x+5y-11=0,
所以直线l的方程为x+3y-5=0或3x+5y-11=0,故C错误;
对于D,设点(2,0)关于直线x-y-1=0的对称点的坐标为(a,b),
则解得a=b=1,则对称点的坐标为(1,1),故D正确.
11.ABD　对于A,a×1+(-1)×a=0,则l1⊥l2,故A正确;
对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化,x=0时,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1),l2:x+ay+1=0,当a变化,y=0时,x=-1恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确;
对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),则该点关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0都成立,故C不正确;
对于D,联立解得即M,
所以MO==≤,故MO的最大值是,故D正确.
12.答案　2x+y+4=0或2x+y-6=0
解析　由题意可设直线n的方程为2x+y+t=0(t≠-1),
则=,解得t=4或t=-6,
所以直线n的方程为2x+y+4=0或2x+y-6=0.
13.答案　∪[1,+∞);
解析　如图.
设C(2,-1),则的几何意义为直线PC的斜率,易得kAC==1,kBC==-,所以∈∪[1,+∞).
设D(-1,0),则(x+1)2+y2的几何意义为点P与D之间距离的平方,
过D作DF⊥AB,交AB于点F.易得直线AB的方程为4x+3y-12=0,则DF==,又DA=4,DB==,所以(x+1)2+y2∈.
14.答案　8
解析　由题意得=,=,
因为|-|=2,所以=2,即=2,化简得a2=b2,所以a=±b.
又a,b不全为零,所以a≠0,且b≠0.
当a=b时,方程ax+by+c=0可化为y=-x-;
当a=-b时,方程ax+by+c=0可化为y=x+.
又F1,F2在直线l的同侧,所以·=·===-2>0,解得<-2或>2,
所以直线y=-x-可表示平面上两平行直线y=-x+2与y=-x-2之间带状区域以外的点(不含直线y=-x±2上的点),直线y=x+可表示平面上两平行直线y=x+2与y=x-2之间带状区域以外的点(不含直线y=x±2上的点),如图,
由图可知,平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形是以F1F2为对角线的正方形,由F1F2=4,可得该正方形的面积S=×4×4=8.
15.解析　(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,则kAB=kCD=-.(3分)
设直线CD的方程为y=-x+m(m>0),即x+2y-2m=0.
易得AB==,因为平行四边形ABCD的面积为8,所以直线AB与直线CD之间的距离为.(6分)
易得直线AB的方程为x+2y=0,于是=,解得m=4(负值舍去),故直线CD的方程为x+2y-8=0.(9分)
(2)设D(a,b),由BC=,得AD=.(11分)
所以解得或故点D的横坐标为或2.(13分)
16.解析　由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
(1)若P为线段AB的中点,则解得(3分)
所以直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.(5分)
(2)易得=(2-a,1),=(-2,b-1),
由=2得解得(8分)
故A(6,0),B,所以S梯形OAPM=×(6+2)×1=4.(9分)
由题可设E(m,1),F(n,0),0≤m≤2,0≤n≤6,
则S梯形OMEF=×(m+n)×1=2,即m+n=4,(11分)
当m≠n时,易得直线EF的方程为=,即x-n-(m-n)y=0,
将m=4-n代入直线EF的方程得x-n-(4-2n)y=0,即(2y-1)n+x-4y=0,令解得所以直线EF必过定点.(13分)
当m=n时,m=n=2,此时直线EF的方程为x=2,过点.
综上,直线EF必过定点.(15分)
17.解析　(1)由题意可知直线l:y=kx-1,
由已知得k>kBP==2,
易得直线AB的方程为y=1,直线OB的方程为y=x,(2分)
联立解得即M,
联立解得即N.(5分)
(2)由(1)得ON==,k>2,(7分)
点M到直线ON的距离即点M到直线OB的距离,为==,所以△OMN的面积S=··=.
故△OMN的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式为S(k)=(k>2).(10分)
(3)由(2)得S=,k>2,设t=k-2,则t>0,k=t+2,
所以S=·=·=·,t>0,(12分)
又t+≥2,当且仅当t=时等号成立,
所以S=·≤·=,当且仅当k=2+时等号成立,故当k=2+时,S取得最大值,为.(15分)
18.解析　(1)设C(1,2)关于x轴的对称点为C',则C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,
由得x=5∈[3,5],此时N(5,2),(2分)
所以光所走过的路程为C'N==4.(4分)
(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],其端点坐标分别为(3,5),(5,3),(6分)
设A(3,5),B(5,3),由(1)知C'(1,-2),则kC'A=,kC'B=,
所以反射光线所在直线的斜率的取值范围是.(8分)
(3)当反射光线所在直线与直线y=-x+b垂直时,光所走过的路程最短,此时反射光线所在直线的方程为y=x-1-2=x-3.
由得x=.因为b≥6,所以x=≥.(11分)
若x=∈,则6≤b≤7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时s===;(14分)
若x=∈(5,+∞),则b>7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为线段C'B'的长,其中B'(5,b-5),
此时s==.(16分)
综上,s=(17分)
19.解析　(1)①根据“曼哈顿距离”的定义得d(S,T)=|2-3|+|-1-7|=9.
②易知到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为|x-1|+|y-1|=2.(3分)
(2)设直线l:2x-y+2=0上任意一点M的坐标为(x1,2x1+2),
则d(M,N)=|1-x1|+|-2x1-2|,(4分)
当x1<-1时,d(M,N)=-3x1-1,此时d(M,N)>2;
当-1≤x1≤1时,d(M,N)=x1+3,此时2≤d(M,N)≤4;(7分)
当x1>1时,d(M,N)=3x1+1,此时d(M,N)>4.
综上所述,点N到直线l的“曼哈顿距离”的最小值为2.(9分)
(3)①设“曼哈顿椭圆”上任意一点为P(x,y),则d(P,F1)+d(P,F2)=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a(a>c>0),即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),
所以“曼哈顿椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).(11分)
②由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,
因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,
所以或或解得-a≤x≤a,(13分)
由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得|x+c|+|x-c|=2a-2|y|,即2a-2|y|=所以2a-2|y|≥2c,所以c-a≤y≤a-c,
所以“曼哈顿椭圆”的范围为-a≤x≤a,c-a≤y≤a-c.
将点(-x,y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|-x+c|+|-x-c|+2|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈顿椭圆”关于y轴对称,(15分)
将点(x,-y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|x+c|+|x-c|+2|-y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈顿椭圆”关于x轴对称,
将点(-x,-y)代入“曼哈顿椭圆”方程得,|-x+c|+|-x-c|+2|-y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不变,所以“曼哈顿椭圆”关于原点中心对称.
综上,“曼哈顿椭圆”关于x轴,y轴对称,并且关于原点中心对称.(17分)