【突破课堂】第3章 圆锥曲线与方程--26版高中同步达标检测卷苏教版数学选必修1
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| 名称 | 【突破课堂】第3章 圆锥曲线与方程--26版高中同步达标检测卷苏教版数学选必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 11:34:34 | ||
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文档简介
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高中同步达标检测卷
第3章 圆锥曲线与方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若抛物线y2=2mx的准线经过双曲线x2-y2=2的右焦点,则m=( )
A.4 B.-2 C.2 D.-4
2.椭圆C:+=1(m>0)的两个焦点分别为F1,F2,长轴长为10,点P在椭圆C上,则△PF1F2的周长为( )
A.16 B.18 C.10+2 D.20
3.椭圆C以双曲线-=1的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,该抛物线C与直线l:y=kx+1相交于M,N两点,则MF+3NF的最小值为( )
A.2+2 B.2+4 C.4+2 D.4+4
5.已知P是双曲线-=1(a>0)上的点,F1,F2是其左、右焦点,且·=0.若△PF1F2的面积为18,则a=( )
A.2 B.2 C. D.3
6.过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l相切,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图,已知双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于A点,△AMF1的内切圆与边MF1相切于点N,若MN=1,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8.设双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,M(0,3b),若直线l与E的右支交于A,B两点,且F为△MAB的重心,则直线l的斜率的取值范围为 ( )
A.∪(,+∞) B.∪(,+∞)
C.(-∞,-)∪ D.(-∞,-)∪
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知方程-=1,则下列说法正确的有( )
A.此方程可表示圆
B.当k>9时,此方程表示焦点在x轴上的椭圆
C.当-16D.当此方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为10
10.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则( )
A.p=4
B.MF≥OF
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
11.已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点,左、右焦点分别为F1,F2,设两曲线在第一象限内的交点为M,MP平分∠F1MF2,MQ⊥MP,点P,Q均在x轴上,设椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,则下列说法正确的是( )
A.·=-
B.以椭圆和双曲线的四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为2a1b1
C.若F1F2=6MF2,则e1e2的取值范围为
D.若∠F1MF2=60°,则+的最小值为1+
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的A、B两点在抛物线上,且满足BF-AF=4,AB=4.若线段AB的中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为 .
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N为椭圆上位于x轴上方的两点,且F1M∥F2N,则F1N+F2M的取值范围为 .
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F2作渐近线y=x的垂线,垂足为P,∠F1PO=.
(1)双曲线的离心率为 ;
(2)过点P作双曲线C的切线,交另一条渐近线于点Q,若S△OPQ=2,则双曲线C的方程为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知顶点在原点O,焦点在坐标轴上的抛物线过点(3,2).
(1)求拋物线的标准方程;
(2)若抛物线的焦点在x轴上,且抛物线与直线y=x+m交于A,B两点(A,B两点异于原点),以AB为直径的圆经过原点,求m的值.
16.(本小题满分15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(2,-3),其中一条渐近线的斜率为,动直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,点M(-1,0),求证:以AB为直径的圆经过点M.
17.(本小题满分15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点(t,0)(t>0)的直线l(斜率不为0)交椭圆C于不同的两点A,B(异于点P),直线PA,PB分别与直线x=-t交于M,N两点,MN的中点为Q,是否存在实数t,使直线PQ的斜率为定值 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分17分)已知双曲线C1的离心率e=,虚轴在y轴上,且虚轴长为2.
(1)求双曲线C1的标准方程;
(2)已知椭圆C2:2x2+=1,若A,B分别是C1,C2上的动点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求+的值及AB的最小值.
19.(本小题满分17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点和上顶点分别为F1,F2,B,定义:△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”,如果两个椭圆的“特征三角形”是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且“特征三角形”的相似比即为“相似椭圆”的相似比,已知点F(,0)是椭圆C1:+=1(a1>b1>0)的一个焦点,且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4.
(1)若椭圆C2与椭圆C1是“相似椭圆”,且C2与C1的相似比为2∶1,求椭圆C2的方程;
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任意一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=y的交点(异于原点),证明:点Q一定在双曲线4x2-4y2=1上;
(3)已知与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABHD(设其面积为S),使得A,H在直线l:y=x+1上,B,D在曲线Cb上 若存在,求出函数S=f(b)的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.D 易知双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2mx的准线方程为x=2,∴-=2,∴m=-4.
2.B 因为椭圆的长轴长为10,所以m==25,所以c==4,故△PF1F2的周长为2a+2c=18.
3.C 易得双曲线的焦点坐标为(±5,0),顶点坐标为(±4,0),
所以椭圆的长轴端点的坐标为(±5,0),焦点坐标为(±4,0),所以椭圆方程为+=1.
4.C 根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F(0,1),
所以+==1,所以MF+3NF=(MF+3NF)=1+3++≥4+2,当且仅当MF=NF=+1时取等号,
所以MF+3NF的最小值为4+2.
5.C 由·=0,得⊥,所以||2+||2=||2=(2)2=100a2,
由双曲线的定义得|||-|||=8a,所以64a2=||2+||2-2||·||=100a2-2||·||,所以||·||=18a2,
则△PF1F2的面积为||·||=9a2=18,因为a>0,所以a=.
6.C 设椭圆C的半焦距为c(c>0),则椭圆C的左焦点为(-c,0),上顶点为(0,b),所以直线l的方程为+=1,即bx-cy+bc=0,
由题意可得以AB为直径的圆的圆心为右焦点(c,0),半径为,
因为以AB为直径的圆与l相切,所以=,即2c=b,
所以离心率e====.
7.D 设△AMF1的内切圆与边AF1,AM的切点分别为E,G,
则AE=AG,EF1=F1N,MN=MG,
由双曲线的定义得MF1-MF2=2a,所以EF1+MN-MF2=2a,
因为AF1=AF2,所以EF1=GF2=MG+MF2=MN+MF2,
所以EF1+MN-MF2=MN+MF2+MN-MF2=2a,化简可得MN=a,所以a=1,
故双曲线C的方程为x2-y2=1,所以双曲线C的离心率为=.
8.C 设D为AB的中点,根据重心的性质可得=2,
则由F(c,0),M(0,3b)得D,
因为l与E的右支交于A,B两点,所以点D在双曲线右支的右侧,
故有->1,解得>.
当l的斜率不存在时,D在x轴上,此时M,F,D三点不共线,不符合题意,舍去;
当l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=3c,y1+y2=-3b,
因为A,B在双曲线上,所以两式相减可得=,
即=,故kAB=-,
因为M,F,A,B不共线,所以kAB=-≠kMF=-,即c2≠3a2,即e≠,
所以E的离心率的取值范围为∪(,+∞).
kAB=-=-=-=-=-=-,
因为e∈∪(,+∞),
所以e2∈∪(3,+∞),
所以-∈∪(6,+∞),
所以kAB=-∈(-∞,-)∪.
9.BCD 对于A,当方程-=1表示圆时,16+k=k-9>0,无解,故A错误;
对于B,方程-=1可化为+=1,当k>9时,16+k>k-9>0,则该方程表示焦点在x轴上的椭圆,故B正确;
对于C,当-160,9-k>0,方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确;
对于D,当方程-=1表示双曲线时,c2=16+k+9-k=25,当方程表示椭圆时,c2=16+k-(k-9)=25,所以焦距均为10,故D正确.
10.ABC 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,故A正确;
设M(x0,y0),因为点M在抛物线C:y2=8x上,所以x0≥0,
所以MF=x0+≥=OF,故B正确;
因为以M为圆心且过F的圆的半径为MF=x0+2,等于M到C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;
当∠OFM=120°时,x0>2,根据对称性不妨设点M在第一象限内,
故=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以-8y0-16=0,
解得y0=4或y0=-(舍),所以S△OFM=OF·|y0|=4,故D错误.
11.BCD 对于A,设F1F2=2c,MF1=m,MF2=n,∠F1MF2=θ,
由椭圆和双曲线的定义得m+n=2a1,m-n=2a2,
所以m2+n2+2mn=(2a1)2,m2+n2-2mn=(2a2)2,
两式相加可得m2+n2=2+2,
在△F1MF2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos θ=(2c)2,
则mncos θ=+-2c2,即mncos θ=-,则·=mncos θ=-,故A错误;
对于B,设M(x0,y0),由椭圆和双曲线的对称性可知,椭圆与双曲线的另外三个交点的坐标分别为(-x0,y0),(x0,-y0),(-x0,-y0),以它们为顶点的四边形为矩形,其面积S=4x0y0,
又点M(x0,y0)在椭圆上,所以满足+=1,则有S=4x0y0=2a1b1×2×≤2a1b1×=2a1b1,当且仅当=时等号成立,故B正确;
对于C,由F1F2=6MF2得2c=6n,所以n=,则m=2a1-n=2a1-,
又2a2=m-n=2a1-<2c,所以a1,
又e1<1,所以e1∈,e2====,则e1e2=,
令t=3-e1,则t∈,e1=3-t,则e1e2==3×=3×,
易知函数y=t+在上单调递减,所以e1e2∈,故C正确;
对于D,由MP平分∠F1MF2,MQ⊥MP,可知MQ平分∠F1MF2的外角,
由角平分线性质定理得=,即====e1,
由外角平分线性质定理得=,即====e2,
求+的最小值即求+的最小值,
由m+n=2a1,m-n=2a2可得m=a1+a2,n=a1-a2,
又∠F1MF2=60°,所以m2+n2-mn=(2c)2,所以4c2=+3,
所以+=4,则+=(+)=≥×(2+4)=1+,当且仅当=时取等号,
所以+的最小值为1+,故D正确.
12.答案 y2=8x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为BF-AF=4,所以-=4,所以x2-x1=4,
又因为AB=×|x1-x2|=4,所以=1,
因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1,
因为线段AB的中点的纵坐标为4,所以y1+y2=8,
所以kAB=====1,
所以2p=8,所以抛物线的方程为y2=8x.
13.答案 (4,7]
解析 易知点F1(-,0),F2(,0),作点N关于原点的对称点E,连接EF2,EF1,
由椭圆的对称性可知点E也在椭圆C上,
易知O为EN的中点,又O为F1F2的中点,所以四边形EF1NF2为平行四边形,
所以EF1∥F2N且EF1=F2N,
又MF1∥F2N,MF1∩EF1=F1,所以M,F1,E三点共线,则MF1+NF2=MF1+EF1=ME,所以F1N+F2M=2a-F2N+2a-F1M=4a-(F1M+F2N)=8-EM.
因为点M,N为椭圆上位于x轴上方的两点,所以直线ME不与x轴重合,设直线ME的方程为x=my-,点M(x1,y1),E(x2,y2),
联立可得(m2+4)y2-2my-1=0,
则Δ=12m2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以ME=·==4-∈[1,4),
所以F1N+F2M=8-EM∈(4,7].
14.答案 (1) (2)-=1
解析 (1)解法一:由已知得F2(c,0),设∠POF2=α,则tan α=,
∵PF2垂直于直线y=x,∴PF2==b,tan α==,∴OP=a,∴sin α=,cos α=,
在△OF1P中,由正弦定理得=,即=2c,
∴2a=b,∴a=b,∴e===.
解法二:依题意知F1(-c,0),F2(c,0),可得直线PF2的方程为y=-(x-c),与y=x联立,可得x=,y=,即P,
∴PF1==,OP==a,
在△OPF1中,O=P+OP2-2PF1·OP·cos∠F1PO,
即c2=3a2+c2+a2-2·a·,化简得3c2=7a2,
∴e===.
(2)设切线PQ与双曲线切于点M(x0,y0),则-=1,
由题意设P,Q,
由(1)中解法一可得sin 2α=2sin αcos α=,
∴S△OPQ=OP·OQsin 2α=···=|x1x2|,
易得切线PQ的方程为-=1,即y=-,将其代入b2x2-a2y2=0中,化简得(a2-b2)x2+2a2b2x0x-a4b2=0,
又b2-a2=a2b2,∴-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0,即x2-2x0x+a2=0,∴x1x2=a2,由(1)可得a=b,∴S△OPQ=|x1x2|=ab=b·b=2,∴b=2,a=,故双曲线C的方程为-=1.
15.解析 (1)当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为y2=2p1x,
因为抛物线过点(3,2),
所以12=6p1,解得p1=2,
故抛物线的标准方程为y2=4x.(2分)
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=2p2y,
因为抛物线过点(3,2),所以9=4p2,解得p2=,
故抛物线的标准方程为x2=y.(5分)
(2)当抛物线的焦点在x轴上时,由(1)得抛物线的方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-4y+4m=0,
则Δ=(-4)2-4×4m>0,解得m<1,(7分)
由根与系数的关系可得y1+y2=4,y1y2=4m,
则x1x2=(y1-m)(y2-m)=y1y2-m(y1+y2)+m2=m2,(10分)
因为以AB为直径的圆经过原点,所以OA⊥OB,
所以·=x1x2+y1y2=m2+4m=0,解得m=0或m=-4.(12分)
当m=0时,直线y=x+m与抛物线的一个交点为原点,不满足题意,故m=-4.(13分)
16.解析 (1)由题意得所以(3分)
所以双曲线C的方程为x2-=1.(4分)
(2)证明:由(1)得c==2,则F2(2,0),
若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,代入方程x2-=1,解得y=±3,由双曲线的对称性不妨令A(2,3),B(2,-3),则F2是AB的中点,由于F2A=F2B=F2M,因此以AB为直径的圆经过点M.(8分)
若直线l的斜率存在,则设其方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,
则k≠±,Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0,
x1+x2=,x1x2=,(11分)
所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2 =(x1+1)·(x2+1)+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2+(1-2k2)(x1+x2)+1+4k2
=++1+4k2=0,
所以⊥,所以以AB为直径的圆经过点M.(14分)
综上,以AB为直径的圆经过点M.(15分)
17.解析 (1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,
所以2a=4,得a=2,(2分)
所以椭圆方程为+=1,因为椭圆过点P(2,1),所以+=1,得b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)由题意可设直线l的方程为x=my+t(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2-8=0,
则Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-8)>0,得2m2-t2+8>0,
且y1+y2=,y1y2=,(6分)
因为kPA=,所以直线AP的方程为y-1=(x-2),
当x=-t时,y=1+(-t-2)=1-,
所以M,同理N,(8分)
因为MN的中点为Q,
所以Q,(9分)
所以kPQ==
=
=
==,(12分)
若kPQ为定值,则kPQ与m无关,所以解得t=4,(14分)
所以当t=4时,直线PQ的斜率为定值.(15分)
18.解析 (1)设双曲线C1的方程为-=1(a>0,b>0),其半焦距为c,由题意得所以
所以双曲线C1的标准方程为-y2=1.(3分)
(2)易知双曲线C1的渐近线方程为y=±x,则直线OA的斜率k∈.
①当k=0时,由双曲线的对称性,不妨取A(,0),因为OA⊥OB,所以点B在y轴上,不妨取B(0,),则OA=OB=,所以+=1,AB=2.(5分)
②当k∈∪时,直线OA:y=kx,联立解得x2==,(8分)
因为OA⊥OB,所以直线OB的方程为y=-x,
联立解得x2==,(10分)
所以+=+=+=+
=+==1.(12分)
AB2=OA2+OB2=+=-=·-,令t=2k2+1,则t∈(1,2),k2=,则==,
因为t∈(1,2),所以t+∈,(15分)
所以∈(1,+∞),所以·-∈(4,+∞),
所以AB2>4,所以AB>2.(16分)
综上,+的值为1,AB的最小值为2.(17分)
19.解析 (1)由题意可得椭圆C1的半焦距c1=,2a1=4,∴a1=2,
∴b1=1,
故椭圆C1:+y2=1.(2分)
设椭圆C2的方程为+=1(a2>b2>0),因为椭圆C2与椭圆C1是“相似椭圆”,且C2与C1的相似比为2∶1,所以a2=4,b2=2,
故椭圆C2的方程为+=1.(3分)
(2)证明:因为点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的一点,所以+n2=1,
设Q(x0,y0),则所以(4分)
故4-4=-===1,
所以点Q一定在双曲线4x2-4y2=1上.(6分)
(3)由题意可得Cb:+=1,(7分)
假设存在正方形ABHD满足题意,则只需Cb上存在两点B,D关于l:y=x+1对称即可,故可设直线BD的方程为y=-x+t,BD的中点为E(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),(9分)
联立消去y得5x2-8tx+4t2-4b2=0,
则Δ=64t2-16×5×(t2-b2)>0,即5b2>t2,x2+x3=,x2x3=,
所以x1==,y1=-x1+t=t,
又E(x1,y1)在直线l:y=x+1上,所以=+1,所以t=-,(12分)
故b2>,所以b>,(13分)
易知正方形的边长为,BD=|x2-x3|==,(15分)
所以S=f(b)=b2-,b∈.(17分)
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高中同步达标检测卷
第3章 圆锥曲线与方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若抛物线y2=2mx的准线经过双曲线x2-y2=2的右焦点,则m=( )
A.4 B.-2 C.2 D.-4
2.椭圆C:+=1(m>0)的两个焦点分别为F1,F2,长轴长为10,点P在椭圆C上,则△PF1F2的周长为( )
A.16 B.18 C.10+2 D.20
3.椭圆C以双曲线-=1的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,该抛物线C与直线l:y=kx+1相交于M,N两点,则MF+3NF的最小值为( )
A.2+2 B.2+4 C.4+2 D.4+4
5.已知P是双曲线-=1(a>0)上的点,F1,F2是其左、右焦点,且·=0.若△PF1F2的面积为18,则a=( )
A.2 B.2 C. D.3
6.过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l相切,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图,已知双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于A点,△AMF1的内切圆与边MF1相切于点N,若MN=1,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8.设双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,M(0,3b),若直线l与E的右支交于A,B两点,且F为△MAB的重心,则直线l的斜率的取值范围为 ( )
A.∪(,+∞) B.∪(,+∞)
C.(-∞,-)∪ D.(-∞,-)∪
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知方程-=1,则下列说法正确的有( )
A.此方程可表示圆
B.当k>9时,此方程表示焦点在x轴上的椭圆
C.当-16
10.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则( )
A.p=4
B.MF≥OF
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
11.已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点,左、右焦点分别为F1,F2,设两曲线在第一象限内的交点为M,MP平分∠F1MF2,MQ⊥MP,点P,Q均在x轴上,设椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,则下列说法正确的是( )
A.·=-
B.以椭圆和双曲线的四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为2a1b1
C.若F1F2=6MF2,则e1e2的取值范围为
D.若∠F1MF2=60°,则+的最小值为1+
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的A、B两点在抛物线上,且满足BF-AF=4,AB=4.若线段AB的中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为 .
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N为椭圆上位于x轴上方的两点,且F1M∥F2N,则F1N+F2M的取值范围为 .
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F2作渐近线y=x的垂线,垂足为P,∠F1PO=.
(1)双曲线的离心率为 ;
(2)过点P作双曲线C的切线,交另一条渐近线于点Q,若S△OPQ=2,则双曲线C的方程为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知顶点在原点O,焦点在坐标轴上的抛物线过点(3,2).
(1)求拋物线的标准方程;
(2)若抛物线的焦点在x轴上,且抛物线与直线y=x+m交于A,B两点(A,B两点异于原点),以AB为直径的圆经过原点,求m的值.
16.(本小题满分15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(2,-3),其中一条渐近线的斜率为,动直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,点M(-1,0),求证:以AB为直径的圆经过点M.
17.(本小题满分15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点(t,0)(t>0)的直线l(斜率不为0)交椭圆C于不同的两点A,B(异于点P),直线PA,PB分别与直线x=-t交于M,N两点,MN的中点为Q,是否存在实数t,使直线PQ的斜率为定值 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分17分)已知双曲线C1的离心率e=,虚轴在y轴上,且虚轴长为2.
(1)求双曲线C1的标准方程;
(2)已知椭圆C2:2x2+=1,若A,B分别是C1,C2上的动点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求+的值及AB的最小值.
19.(本小题满分17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点和上顶点分别为F1,F2,B,定义:△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”,如果两个椭圆的“特征三角形”是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且“特征三角形”的相似比即为“相似椭圆”的相似比,已知点F(,0)是椭圆C1:+=1(a1>b1>0)的一个焦点,且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4.
(1)若椭圆C2与椭圆C1是“相似椭圆”,且C2与C1的相似比为2∶1,求椭圆C2的方程;
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任意一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=y的交点(异于原点),证明:点Q一定在双曲线4x2-4y2=1上;
(3)已知与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABHD(设其面积为S),使得A,H在直线l:y=x+1上,B,D在曲线Cb上 若存在,求出函数S=f(b)的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.D 易知双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2mx的准线方程为x=2,∴-=2,∴m=-4.
2.B 因为椭圆的长轴长为10,所以m==25,所以c==4,故△PF1F2的周长为2a+2c=18.
3.C 易得双曲线的焦点坐标为(±5,0),顶点坐标为(±4,0),
所以椭圆的长轴端点的坐标为(±5,0),焦点坐标为(±4,0),所以椭圆方程为+=1.
4.C 根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F(0,1),
所以+==1,所以MF+3NF=(MF+3NF)=1+3++≥4+2,当且仅当MF=NF=+1时取等号,
所以MF+3NF的最小值为4+2.
5.C 由·=0,得⊥,所以||2+||2=||2=(2)2=100a2,
由双曲线的定义得|||-|||=8a,所以64a2=||2+||2-2||·||=100a2-2||·||,所以||·||=18a2,
则△PF1F2的面积为||·||=9a2=18,因为a>0,所以a=.
6.C 设椭圆C的半焦距为c(c>0),则椭圆C的左焦点为(-c,0),上顶点为(0,b),所以直线l的方程为+=1,即bx-cy+bc=0,
由题意可得以AB为直径的圆的圆心为右焦点(c,0),半径为,
因为以AB为直径的圆与l相切,所以=,即2c=b,
所以离心率e====.
7.D 设△AMF1的内切圆与边AF1,AM的切点分别为E,G,
则AE=AG,EF1=F1N,MN=MG,
由双曲线的定义得MF1-MF2=2a,所以EF1+MN-MF2=2a,
因为AF1=AF2,所以EF1=GF2=MG+MF2=MN+MF2,
所以EF1+MN-MF2=MN+MF2+MN-MF2=2a,化简可得MN=a,所以a=1,
故双曲线C的方程为x2-y2=1,所以双曲线C的离心率为=.
8.C 设D为AB的中点,根据重心的性质可得=2,
则由F(c,0),M(0,3b)得D,
因为l与E的右支交于A,B两点,所以点D在双曲线右支的右侧,
故有->1,解得>.
当l的斜率不存在时,D在x轴上,此时M,F,D三点不共线,不符合题意,舍去;
当l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=3c,y1+y2=-3b,
因为A,B在双曲线上,所以两式相减可得=,
即=,故kAB=-,
因为M,F,A,B不共线,所以kAB=-≠kMF=-,即c2≠3a2,即e≠,
所以E的离心率的取值范围为∪(,+∞).
kAB=-=-=-=-=-=-,
因为e∈∪(,+∞),
所以e2∈∪(3,+∞),
所以-∈∪(6,+∞),
所以kAB=-∈(-∞,-)∪.
9.BCD 对于A,当方程-=1表示圆时,16+k=k-9>0,无解,故A错误;
对于B,方程-=1可化为+=1,当k>9时,16+k>k-9>0,则该方程表示焦点在x轴上的椭圆,故B正确;
对于C,当-16
对于D,当方程-=1表示双曲线时,c2=16+k+9-k=25,当方程表示椭圆时,c2=16+k-(k-9)=25,所以焦距均为10,故D正确.
10.ABC 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,故A正确;
设M(x0,y0),因为点M在抛物线C:y2=8x上,所以x0≥0,
所以MF=x0+≥=OF,故B正确;
因为以M为圆心且过F的圆的半径为MF=x0+2,等于M到C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;
当∠OFM=120°时,x0>2,根据对称性不妨设点M在第一象限内,
故=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以-8y0-16=0,
解得y0=4或y0=-(舍),所以S△OFM=OF·|y0|=4,故D错误.
11.BCD 对于A,设F1F2=2c,MF1=m,MF2=n,∠F1MF2=θ,
由椭圆和双曲线的定义得m+n=2a1,m-n=2a2,
所以m2+n2+2mn=(2a1)2,m2+n2-2mn=(2a2)2,
两式相加可得m2+n2=2+2,
在△F1MF2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos θ=(2c)2,
则mncos θ=+-2c2,即mncos θ=-,则·=mncos θ=-,故A错误;
对于B,设M(x0,y0),由椭圆和双曲线的对称性可知,椭圆与双曲线的另外三个交点的坐标分别为(-x0,y0),(x0,-y0),(-x0,-y0),以它们为顶点的四边形为矩形,其面积S=4x0y0,
又点M(x0,y0)在椭圆上,所以满足+=1,则有S=4x0y0=2a1b1×2×≤2a1b1×=2a1b1,当且仅当=时等号成立,故B正确;
对于C,由F1F2=6MF2得2c=6n,所以n=,则m=2a1-n=2a1-,
又2a2=m-n=2a1-<2c,所以a1
又e1<1,所以e1∈,e2====,则e1e2=,
令t=3-e1,则t∈,e1=3-t,则e1e2==3×=3×,
易知函数y=t+在上单调递减,所以e1e2∈,故C正确;
对于D,由MP平分∠F1MF2,MQ⊥MP,可知MQ平分∠F1MF2的外角,
由角平分线性质定理得=,即====e1,
由外角平分线性质定理得=,即====e2,
求+的最小值即求+的最小值,
由m+n=2a1,m-n=2a2可得m=a1+a2,n=a1-a2,
又∠F1MF2=60°,所以m2+n2-mn=(2c)2,所以4c2=+3,
所以+=4,则+=(+)=≥×(2+4)=1+,当且仅当=时取等号,
所以+的最小值为1+,故D正确.
12.答案 y2=8x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为BF-AF=4,所以-=4,所以x2-x1=4,
又因为AB=×|x1-x2|=4,所以=1,
因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1,
因为线段AB的中点的纵坐标为4,所以y1+y2=8,
所以kAB=====1,
所以2p=8,所以抛物线的方程为y2=8x.
13.答案 (4,7]
解析 易知点F1(-,0),F2(,0),作点N关于原点的对称点E,连接EF2,EF1,
由椭圆的对称性可知点E也在椭圆C上,
易知O为EN的中点,又O为F1F2的中点,所以四边形EF1NF2为平行四边形,
所以EF1∥F2N且EF1=F2N,
又MF1∥F2N,MF1∩EF1=F1,所以M,F1,E三点共线,则MF1+NF2=MF1+EF1=ME,所以F1N+F2M=2a-F2N+2a-F1M=4a-(F1M+F2N)=8-EM.
因为点M,N为椭圆上位于x轴上方的两点,所以直线ME不与x轴重合,设直线ME的方程为x=my-,点M(x1,y1),E(x2,y2),
联立可得(m2+4)y2-2my-1=0,
则Δ=12m2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以ME=·==4-∈[1,4),
所以F1N+F2M=8-EM∈(4,7].
14.答案 (1) (2)-=1
解析 (1)解法一:由已知得F2(c,0),设∠POF2=α,则tan α=,
∵PF2垂直于直线y=x,∴PF2==b,tan α==,∴OP=a,∴sin α=,cos α=,
在△OF1P中,由正弦定理得=,即=2c,
∴2a=b,∴a=b,∴e===.
解法二:依题意知F1(-c,0),F2(c,0),可得直线PF2的方程为y=-(x-c),与y=x联立,可得x=,y=,即P,
∴PF1==,OP==a,
在△OPF1中,O=P+OP2-2PF1·OP·cos∠F1PO,
即c2=3a2+c2+a2-2·a·,化简得3c2=7a2,
∴e===.
(2)设切线PQ与双曲线切于点M(x0,y0),则-=1,
由题意设P,Q,
由(1)中解法一可得sin 2α=2sin αcos α=,
∴S△OPQ=OP·OQsin 2α=···=|x1x2|,
易得切线PQ的方程为-=1,即y=-,将其代入b2x2-a2y2=0中,化简得(a2-b2)x2+2a2b2x0x-a4b2=0,
又b2-a2=a2b2,∴-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0,即x2-2x0x+a2=0,∴x1x2=a2,由(1)可得a=b,∴S△OPQ=|x1x2|=ab=b·b=2,∴b=2,a=,故双曲线C的方程为-=1.
15.解析 (1)当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为y2=2p1x,
因为抛物线过点(3,2),
所以12=6p1,解得p1=2,
故抛物线的标准方程为y2=4x.(2分)
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=2p2y,
因为抛物线过点(3,2),所以9=4p2,解得p2=,
故抛物线的标准方程为x2=y.(5分)
(2)当抛物线的焦点在x轴上时,由(1)得抛物线的方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-4y+4m=0,
则Δ=(-4)2-4×4m>0,解得m<1,(7分)
由根与系数的关系可得y1+y2=4,y1y2=4m,
则x1x2=(y1-m)(y2-m)=y1y2-m(y1+y2)+m2=m2,(10分)
因为以AB为直径的圆经过原点,所以OA⊥OB,
所以·=x1x2+y1y2=m2+4m=0,解得m=0或m=-4.(12分)
当m=0时,直线y=x+m与抛物线的一个交点为原点,不满足题意,故m=-4.(13分)
16.解析 (1)由题意得所以(3分)
所以双曲线C的方程为x2-=1.(4分)
(2)证明:由(1)得c==2,则F2(2,0),
若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,代入方程x2-=1,解得y=±3,由双曲线的对称性不妨令A(2,3),B(2,-3),则F2是AB的中点,由于F2A=F2B=F2M,因此以AB为直径的圆经过点M.(8分)
若直线l的斜率存在,则设其方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,
则k≠±,Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0,
x1+x2=,x1x2=,(11分)
所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2 =(x1+1)·(x2+1)+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2+(1-2k2)(x1+x2)+1+4k2
=++1+4k2=0,
所以⊥,所以以AB为直径的圆经过点M.(14分)
综上,以AB为直径的圆经过点M.(15分)
17.解析 (1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,
所以2a=4,得a=2,(2分)
所以椭圆方程为+=1,因为椭圆过点P(2,1),所以+=1,得b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)由题意可设直线l的方程为x=my+t(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2-8=0,
则Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-8)>0,得2m2-t2+8>0,
且y1+y2=,y1y2=,(6分)
因为kPA=,所以直线AP的方程为y-1=(x-2),
当x=-t时,y=1+(-t-2)=1-,
所以M,同理N,(8分)
因为MN的中点为Q,
所以Q,(9分)
所以kPQ==
=
=
==,(12分)
若kPQ为定值,则kPQ与m无关,所以解得t=4,(14分)
所以当t=4时,直线PQ的斜率为定值.(15分)
18.解析 (1)设双曲线C1的方程为-=1(a>0,b>0),其半焦距为c,由题意得所以
所以双曲线C1的标准方程为-y2=1.(3分)
(2)易知双曲线C1的渐近线方程为y=±x,则直线OA的斜率k∈.
①当k=0时,由双曲线的对称性,不妨取A(,0),因为OA⊥OB,所以点B在y轴上,不妨取B(0,),则OA=OB=,所以+=1,AB=2.(5分)
②当k∈∪时,直线OA:y=kx,联立解得x2==,(8分)
因为OA⊥OB,所以直线OB的方程为y=-x,
联立解得x2==,(10分)
所以+=+=+=+
=+==1.(12分)
AB2=OA2+OB2=+=-=·-,令t=2k2+1,则t∈(1,2),k2=,则==,
因为t∈(1,2),所以t+∈,(15分)
所以∈(1,+∞),所以·-∈(4,+∞),
所以AB2>4,所以AB>2.(16分)
综上,+的值为1,AB的最小值为2.(17分)
19.解析 (1)由题意可得椭圆C1的半焦距c1=,2a1=4,∴a1=2,
∴b1=1,
故椭圆C1:+y2=1.(2分)
设椭圆C2的方程为+=1(a2>b2>0),因为椭圆C2与椭圆C1是“相似椭圆”,且C2与C1的相似比为2∶1,所以a2=4,b2=2,
故椭圆C2的方程为+=1.(3分)
(2)证明:因为点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的一点,所以+n2=1,
设Q(x0,y0),则所以(4分)
故4-4=-===1,
所以点Q一定在双曲线4x2-4y2=1上.(6分)
(3)由题意可得Cb:+=1,(7分)
假设存在正方形ABHD满足题意,则只需Cb上存在两点B,D关于l:y=x+1对称即可,故可设直线BD的方程为y=-x+t,BD的中点为E(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),(9分)
联立消去y得5x2-8tx+4t2-4b2=0,
则Δ=64t2-16×5×(t2-b2)>0,即5b2>t2,x2+x3=,x2x3=,
所以x1==,y1=-x1+t=t,
又E(x1,y1)在直线l:y=x+1上,所以=+1,所以t=-,(12分)
故b2>,所以b>,(13分)
易知正方形的边长为,BD=|x2-x3|==,(15分)
所以S=f(b)=b2-,b∈.(17分)