【突破课堂】第4章 数列--26版高中同步达标检测卷苏教版数学选必修1

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第4章　数列
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a6=8,则S8=(　　)
A.28　　　　B.30　　　　C.32　　　　D.36
2.已知数列{an}满足a1=3,且an+1an=an-1,则a2 024的值为(　　)
A.3　　　　B.　　　　C.　　　　D.-
3.已知各项均不为零的数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.已知正项等比数列{an}为递增数列,a1+a2+a3=,++=,则该等比数列的公比q=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S2 024>0且S2 025<0”是“a1 012a1 013<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=则S20=(　　)
A.300　　　　B.29　　　　C.210　　　　D.29-1
7.“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”,这首二十四节气歌记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期积累的经验和智慧.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有这样一个问题:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(如图1所示,晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十四节气及晷长变化如图2所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法错误的是(　　)
图1 图2
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.立春和立秋两个节气的晷长相同
C.春分的晷长为七尺五寸
D.立春的晷长比秋分的晷长长
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,将数列{an}与数列{2n-1}的公共项从小到大排列得到数列{bn},Tn为数列{an·bn}的前n项和,则满足Tn<2 023的正整数n的最大值为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}中,a1=1,a4=55.在a1和a2之间插入1个数,a2和a3之间插入2个数,……,an和an+1之间插入n个数,……,使得构成的新数列{bn}是等差数列,则(　　)
A.{bn}的公差为6 B.a2和a3之间插入的2个数是19和25
C.a6=115 D.+++…+<
10.已知数列{an}满足an+1-2an=2n+1,且a1=4,则下列正确的有(　　)
A.a3=32
B.数列的前n项和为2n+1
C.数列的前n项和为log2(n+1)+
D.若数列的前n项和为Tn,则≤Tn<
11.唐代诗人罗隐在《蜂》中写道:“不论平地与山尖,无限风光尽被占.采得百花成蜜后,为谁辛苦为谁甜 ”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家,蜂巢的结构十分的精密,其中的蜂房均为正六棱柱状.下图是蜂房的一部分,若一只蜜蜂从蜂房A出发,想爬到第1,2,3,…,n(n∈N*)号蜂房,只允许自左向右爬行(不允许往回爬行),记该蜜蜂爬到第n号蜂房的路线数为an,则(　　)
A.a10=89　　　　B.2a2 023=a2 024+a2 022 C.ai=a2k+1　　　　D.ai=an+2-2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=　　　　.
13.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),记数列的前n项和为Tn.若 n∈N*,不等式k>Tn恒成立,则实数k的取值范围为　　　　　　.
14.“雪花”是非常美丽的图案,理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图,“雪花曲线”的一种形成过程为:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程.若第1个图形中的三角形的周长为1,则第n个图形的周长为　　　　;若第1个图形中的三角形的面积为1,则第n个图形的面积为　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知数列{an}是首项为2,各项均为正数的等比数列,且a4是6a2和a3的等差中项.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前2 024项和T2 024.
16.(本小题满分15分)某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且每件获利a元的前提下,可卖出b件.若做广告宣传,则当广告费用为n千元时,比广告费用为(n-1)千元时多卖出件,其中n∈N*.
(1)求销售量Sn(单位:件)关于广告费用n(单位:千元)的函数关系式;
(2)当a=10,b=4 000时,要使利润最大,厂家应生产多少件这种产品 广告费用为多少元 (利润=总获利-广告费用,假设厂家生产的产品全部销售完)
17.(本小题满分15分)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求{an}的通项公式;
(3)令bn=,证明:bn18.(本小题满分17分)已知{an}是等差数列,{bn}是公比不为1的等比数列,a2=6,a4+a5=22,3a1=4b1,且2b2是3b1与b3的等差中项.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设dn=求di;
(3)对于数列{an},若在ak和ak+1之间插入bk个2(k∈N*),组成一个新的数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Tn,求T2 025.
19.(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若≤≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”.
(1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前5项依次为1,,,x,,求x的取值范围;
(2)若Sn=(n2+3n),判断{an}是不是“紧密数列”,并说明理由;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
答案全解全析
1.C　由题意可得S8==4(a3+a6)=4×8=32.
2.B　由题意得an+1=1-,所以a2=1-=1-=,a3=1-=1-=-,a4=1-=1-(-2)=3=a1,故数列{an}具有周期性,且周期为3,又2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=.
3.B　∵an+1=,an≠0,∴==+n,∴-=n,∴-=1,-=2,……,-=9,累加可得-=1+2+…+9=45,又a1=1,∴a10=.
4.A　由题意得a1>0,q>1,
由a1+a2+a3=,++==+=,得=,
解得a2=3(a2=-3舍去),所以a1+a3=+3q=-3=,
整理得2q2-5q+2=0,解得q=2,所以q=2.
5.A　因为S2 024>0且S2 025<0,所以等差数列{an}是递减数列,其公差小于0,S2 023=>0,S2 025=<0,
则a1+a2 023=2a1 012>0,a1+a2 025=2a1 013<0,
所以a1 012>0,a1 013<0,所以a1 012a1 013<0.
若a1 012a1 013<0,则或
易知当a1 012>0,a1 013<0时,满足S2 024>0且S2 025<0,
当a1 012<0,a1 013>0时,等差数列{an}是递增数列,不满足S2 024>0且S2 025<0,
因此“S2 024>0且S2 025<0”是“a1 012a1 013<0”的充分不必要条件.
6.A　若n为奇数,则 an+1=an+1①,an+2=an+1+2②,
①+②得an+2=an+3,
所以{an}的奇数项是首项为 a1=1,公差为3的等差数列,
所以S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)
=(a1+a3+a5+…+a19)+(a1+1+a3+1+a5+1+…+a19+1)
=2(a1+a3+a5+…+a19)+10=2×+10=300.
7.B　由题意可得,从冬至到夏至,每个节气的晷长(以寸为单位)依次构成等差数列,设该等差数列为{an},公差为d1,则a1=135,a13=15,
所以d1==-10,所以an=135-10(n-1)=145-10n.
从夏至到冬至,每个节气的晷长(以寸为单位)依次构成等差数列,设该等差数列为{bn},公差为d2,则b1=15,d2=-d1=10,所以bn=15+10(n-1)=5+10n.
对于A,因为d1=-10,d2=10,所以相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺,故A中说法正确.
对于B,立春的晷长对应的是{an}中的a4,所以a4=145-10×4=105,立秋的晷长对应的是{bn}中的b4,所以b4=5+10×4=45,故B中说法错误.
对于C,春分的晷长对应的是{an}中的a7,所以a7=145-10×7=75,故C中说法正确.
对于D,秋分的晷长对应的是{bn}中的b7,所以b7=5+10×7=75,结合B选项可知D中说法正确.
8.B　因为数列{an}的前n项和Sn=n2+n,所以当n=1时,a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,又a1=2满足此式,所以an=2n,
所以数列{an}的各项为2,4,6,8,10,…,
又数列{2n-1}的各项为1,2,4,8,16,…,数列{an}与数列{2n-1}的公共项从小到大排列得到数列{bn},所以bn=2n,
所以an·bn=n·2n+1,所以Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①
2Tn=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2,②
①-②得-Tn=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2=-n·2n+2=2n+2-4-n·2n+2=(1-n)·2n+2-4,则Tn=(n-1)·2n+2+4,
Tn-Tn-1=(n-1)·2n+2+4-(n-2)·2n+1-4=n·2n+1>0,n≥2,
所以{Tn}为递增数列,令Tn=(n-1)·2n+2+4<2 023,
当n=7时,T7=6×29+4=3 076>2 023,当n=6时,T6=5×28+4=1 284<2 023,所以满足Tn<2 023的正整数n的最大值为6.
9.ABD　对于A,设等差数列{bn}的公差为d,由题意得a1=b1=1,a4=b10=55,∴9d=b10-b1=54,∴d=6,故A正确;
对于B,a2与a3之间插入的2个数分别为b4,b5,由A可得bn=1+6(n-1)=6n-5,∴b4=6×4-5=19,b5=6×5-5=25,故B正确;
对于C,a6=b21=6×21-5=121,故C错误;
对于D,a1=b1,a2=b3,a3=b6,a4=b10,……,∴an==6×-5=3n(n+1)-5,∴==,
∴+++…+==<,故D正确.
10.ACD　对于A,由an+1-2an=2n+1,可得-=1,故数列是以=2为首项,1为公差的等差数列,所以=n+1,即an=(n+1)·2n,则a3=32,故A正确;
对于B,由A知=2n,所以数列的前n项和为21+22+…+2n=2n+1-2,故B错误;
对于C,log2=log2=n+log2(n+1)-log2n,所以数列的前n项和为1+log22-log21+2+log23-log22+…+n+log2(n+1)-log2n=1+2+3+…+n+log2(n+1)=log2(n+1)+,故C正确;
对于D,===,
则Tn===-<,
易得Tn随n的增大而增大,所以Tn≥T1=,即≤Tn<,故D正确.
11.ACD　依题意可知,该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1,爬到第2号蜂房的路线数为2,爬到第3号蜂房的路线数为3,爬到第4号蜂房的路线数为5,爬到第5号蜂房的路线数为8,……,爬到第n号蜂房的路线数为an-2+an-1(n≥3,n∈N*),即an=an-2+an-1(n≥3,n∈N*),所以a6=a4+a5=13,a7=a5+a6=21,a8=a6+a7=34,a9=a7+a8=55,a10=a8+a9=89,故A正确;
因为an=an-2+an-1,所以an-1=an-3+an-2(n≥4,n∈N*),
两式相减可得2an-1=an-3+an,所以2a2 023=a2 021+a2 024,故B错误;
ai=a1+a2+a3+a4+…+a2 024=a3+a5+a7+…+a2 025=a2k+1,故C正确;
ai=a1+a2+a3+a4+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-2,故D正确.
12.答案　45
解析　由题意得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,36-9,a7+a8+a9成等差数列,所以2×(36-9)=9+a7+a8+a9,解得a7+a8+a9=45.
13.答案　
解析　由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,则an=2n-1,
所以==-,
则Tn=-+-+…+-=-<,
要使不等式k>Tn恒成立,只需k≥,所以实数k的取值范围为.
14.答案　;-×
解析　记第n个图形为Pn,其三角形边长为an,边数为bn,周长为Ln,面积为Sn.若第1个图形中的三角形的周长为1,则a1=,b1=3,
则P1有b1=3条边,边长为a1=;P2有b2=4b1条边,边长为a2=a1;P3有b3=42b1条边,边长为a3=a1;……,
则an=a1=,bn=b1·4n-1=3×4n-1.
所以Ln=anbn=×3×4n-1=.
由题意可知Pn是在Pn-1的每条边上生成一个小三角形,即Sn=Sn-1+bn-1×,n≥2,
故Sn-Sn-1=××bn-1,Sn-1-Sn-2=××bn-2,……,S2-S1=××b1,累加可得Sn-S1=(·bn-1+·bn-2+…+·b1).
因为数列{an}是以为公比的等比数列,数列{bn}是以4为公比的等比数列,所以{·bn-1}是以为公比的等比数列,
若第1个图形中的三角形的面积为1,则S1=1,即=1,故=,则=,又b1=3,
所以·bn-1+·bn-2+…+·b1==,所以Sn-S1=×, 所以Sn=-×.
15.解析　(1)设数列{an}的公比为q(q>0),则an=2qn-1.因为a4是6a2和a3的等差中项,所以2a4=6a2+a3,即2×2q3=6×2q+2q2,(3分)
解得q=2或q=-(舍去)或q=0(舍去),所以an=2×2n-1=2n.(5分)
(2)由(1)知an=2n,∴bn===-,(8分)
∴Tn=+++…+=1-=,(10分)
∴T2 024=,故{bn}的前2 024项和T2 024=.(13分)
16.解析　(1)由题意得S1=b+,S2=b++,……,(2分)
故Sn=b+++…+=b=b·=b,
所以Sn=b.(7分)
(2)设利润为Tn元,则Tn=a·Sn-1 000n,当a=10,b=4 000时,Tn=10×4 000×-1 000n=40 000×-1 000n,(10分)
若要使Tn最大,则解得(13分)
又n∈N*,所以n=5,此时Sn=7 875,所以要使利润最大,厂家应生产7 875件产品,广告费用为5 000元.(15分)
17.解析　(1)证明:易知an>0,由an+1=得==·+,(2分)
则1-=-·=,(4分)
所以数列是首项为1-=,公比为的等比数列.(5分)
(2)由(1)得1-=×=,(7分)
故an==.(9分)
(3)证明:由(2)得bn==·=
===1-.(12分)
令f(n)=3·-2,n∈[1,+∞),
因为f(n)=3·-2在n∈[1,+∞)上单调递增,
所以f(n)≥f(1)=3×-2=>0,
所以数列
是递减数列,从而数列{bn}是递增数列,且bn<1,故得bn18.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,q≠1,由a2=6,a4+a5=22,得a2+2d+a2+3d=22,故d=2,
所以an=a2+(n-2)d=6+2(n-2)=2n+2,(1分)
则a1=4,又3a1=4b1,所以b1=3,
因为2b2是3b1与b3的等差中项,所以2×2b2=3b1+b3,即12q=9+3q2,
解得q=3或q=1(舍去),故bn=b1qn-1=3·3n-1=3n.(3分)
(2)由题可得dn=
则di=d1+d2+…+d2n-1+d2n=(d1+d3+…+d2n-1)+(d2+d4+…+d2n),
设Pn=d1+d3+…+d2n-1,则Pn=2×(-3)+4×(-3)3+…+2n×(-3)2n-1,
则9Pn=2×(-3)3+4×(-3)5+…+2n×(-3)2n+1,(5分)
两式相减得,-8Pn=2×(-3)+2×(-3)3+…+2×(-3)2n-1-2n×(-3)2n+1=2·-2n×(-3)2n+1,则Pn=,(7分)
设Qn=d2+d4+…+d2n,则Qn=+++…+=-8Mn+36Nn,
其中Mn=++…+=++…+①,
Nn=++…+=++…+,
则Mn=++…+②,(9分)
①-②可得,Mn=++…+-=4++…+-,则8Mn=36-=36Nn-,
所以Qn=,则di=Pn+Qn=+.(12分)
(3)根据题意可得,数列{cn}为a1,2,2,2,a2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,a3,…,ak,…,则k+3+32+…+3k-1≤2 025,
故k+≤2 025,则k+-≤2 025,
故当k=7时,7+-=1 099<2 025,
当k=8时,8+-=3 287>2 025,(15分)
所以数列{cn}的前2 025项为a1,a2,…,a7与2 018个2,
则T2 025=2×2 018+=4 106.(17分)
19.解析　(1)若数列{an}为“紧密数列”,则x≠0,且(2分)
解得≤x≤,故x的取值范围为.(4分)
(2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下:(5分)
当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=n+,
又+=1=a1,所以a1=1满足上式,
因此an=n+(n∈N*),(7分)
所以对任意n∈N*,===1+,
又0<≤,即1<1+≤,所以<=1+<2,
因此数列{an}为“紧密数列”.(9分)
(3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,
所以当q=1时,an=a1,Sn=na1,
所以≤=1≤2,≤==1+≤2,满足题意,(11分)
当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=,
因为{an}为“紧密数列”,所以≤=q≤2,即≤q<1或1当≤q<1时,=>=1,
=<==1+qn<2,
所以≤=≤2,满足{Sn}为“紧密数列”;(15分)
当12,不满足{Sn}为“紧密数列”.(16分)
综上,实数q的取值范围是.(17分)