【突破课堂】期末考试综合检测卷--26版高中同步达标检测卷苏教版数学选必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末考试综合检测卷
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±x
2.已知直线2x+y-3=0与直线4x-my-3=0平行,则它们之间的距离是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.过点P(-1,1)的直线l与圆C:x2+y2+4x-1=0相交于A,B两点,则AB的最小值为(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4
4.已知命题“ x∈[1,2],x2+ln x-a≤0”为假命题,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,0)
C.(-∞,ln 2+2)　　　　D.(-∞,ln 2+4)
5.如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.线性分形又称为自相似分形,其图形的结构在几何变换下具有不变性,通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示,若图1中正六边形的边长为1,周长与面积分别记为a1,S1,图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为a2,S2,……,以此类推,图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为an,Sn,其中图n中每个正六边形的边长是图(n-1)中每个正六边形边长的,则下列说法正确的是(　　)
A.图4中共有294个正六边形　　　　B.a3=
C.Sn=×　　　　D.存在正数m,使得an≤m恒成立
7.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:x-my+4m-2=0与l2:mx+y-4m-2=0交于点P,点Q(x,y)是抛物线y2=-4x上一动点,则PQ-x的最小值为(　　)
A.4-　　　　B.4+　　　　C.5-　　　　D.5+
8.定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f'(x)+=,且f(e)=,若a=f,b=f,c=f(ln ),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.b>c>a　　　　D.c>b>a
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若圆C1:x2+y2-2x-2y=0与圆C2:x2+y2-x-y-1=0的交点为P,Q,则(　　)
A.公共弦PQ所在直线的方程为x+y-1=0
B.线段PQ的垂直平分线的方程为x-y+1=0
C.过点(0,3)作圆C1的切线,其方程为y=x+2
D.若实数x,y满足方程x2+y2-2x-2y=0,则y-x的最大值为2
10.已知数列{an}满足an+1=+2an,a1=2,设bn=log3(1+an),{bn}的前n项和为Sn,的前n项和为Tn,则(　　)
A.{bn}为等比数列　　　　B.{an+1}为等比数列
C.Sn=bn+1-1　　　　D.Tn<2
11.如图,圆F1:(x+2)2+y2=4,圆F2:(x-2)2+y2=36,动圆P与圆F1外切于点M,与圆F2内切于点N,圆心P的轨迹记为曲线C,则(　　)
A.曲线C的方程为+=1
B.∠MPN的最小值为120°
C.·+·≤2
D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6,a8是方程x2-8x+5=0的两根,则S13=　　　　　.
13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆M与C的两条渐近线交于O,A,B三点.记四边形OAFB的面积为S1,圆M的面积为S2,则当取得最大值时,C的离心率为　　　　.
14.若存在x0∈[-1,2],使不等式x0+(e2-1)ln a≥+e2x0-2成立,则a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的零点个数;
(3)若函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,求m的取值范围.
16.(本小题满分15分)已知圆E:x2+(y+1)2=4.
(1)求过点(3,-3)且与圆E相切的直线方程;
(2)求圆心在直线2x-y=0上,且经过圆E与圆Q:(x-2)2+(y-1)2=4的交点的圆的方程;
(3)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点,点P在圆E上运动,求PA2+PB2+PC2的最大值和最小值.
17.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn=(1-an)(n∈N*).若2+bn=3loan,且数列{cn}满足cn=an·bn.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求证:数列{cn}的前n项和Tn<;
(3)若cn≤(t2+t-1)对一切n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.
18.(本小题满分17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴为双曲线-=1的实轴,且椭圆C过点P(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为k1,k2,若k1k2=-,则直线AB是否经过定点 若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ex+axe-x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若a≥2,x≥1,求证:f(x)>3cos x;
(3)当a≥4时,令g(x)=ex,曲线y=g(x)在x=m,x=n(m答案全解全析
1.D　易知抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴双曲线-y2=1的半焦距c=2,
又b=1且a>0,
∴a==,∴双曲线的渐近线方程是y=±x.
2.C　因为直线2x+y-3=0与直线4x-my-3=0平行,
所以-2m=1×4,解得m=-2,
所以直线4x-my-3=0即为4x+2y-3=0,直线2x+y-3=0即为4x+2y-6=0,所以两平行线间的距离d==.
3.B　将x2+y2+4x-1=0化为标准方程,得(x+2)2+y2=5,则圆心C(-2,0),半径为,
因为(-1+2)2+12<5,所以点P(-1,1)在圆C内,
易知当CP⊥AB时,弦AB最短,
因为CP==,
所以弦AB的长的最小值为2=2.
4.A　由题意可知“ x∈[1,2],x2+ln x-a>0”为真命题,即a令f(x)=x2+ln x,x∈[1,2],则f'(x)=2x+,显然f'(x)>0在[1,2]上恒成立,
故f(x)=x2+ln x在[1,2]上单调递增,则f(x)min=f(1)=1,故a<1.
5.D　设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则c==.
∵AF2+AF1=4,AF2-AF1=2a,
∴AF2=2+a,AF1=2-a.
在Rt△F1AF2中,∠F1AF2=90°,∴A+A=F1,即(2-a)2+(2+a)2=(2)2,∴a=,∴e===.
6.C　对于A,易知图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项,7为公比的等比数列,故图4中共有73=343个正六边形,A不正确;
对于B,易知图n中每个正六边形的边长为,所以an=6××7n-1=6×,则a3=,B不正确;
对于C,由图n中每个正六边形的边长为,可得图n中每个正六边形的面积为×,所以Sn=××7n-1=×,C正确;
对于D,易知数列{an}是公比大于1的递增数列,所以不存在正数m,使得an≤m恒成立,D不正确.
7.A　由x-my+4m-2=0得(x-2)-m(y-4)=0,可知直线l1过定点(2,4),设为A;
由mx+y-4m-2=0得m(x-4)+(y-2)=0,可知直线l2过定点(4,2),设为B,因为1×m+(-m)×1=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,故点P在以AB为直径的圆上(不含点(4,4)),其圆心为(3,3)(设为C),半径r=AB=.易知抛物线y2=-4x的焦点为(-1,0)(设为F),准线方程为x=1,
由抛物线的定义可得QF=1-x,即-x=QF-1,
则PQ-x=PQ+QF-1≥QC-r+QF-1=QC+QF-(+1),
当且仅当点P在线段QC上时,等号成立,
又QC+QF≥CF=5,当且仅当点Q在线段FC上时,等号成立,
所以PQ-x≥QC+QF-(+1)≥5-(+1)=4-,
所以PQ-x的最小值为4-.
8.C　由已知可得,x2f'(x)+2xf(x)=ln x,
令g(x)=x2f(x),则g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=ln x,且f(x)=,
则f'(x)==,
令h(x)=xln x-2g(x),则h'(x)=1+ln x-2g'(x)=1-ln x,
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
∴h(x)≤h(e)=e-2g(e)=e-2e2f(e)=e-2e2·=0,
∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立(仅在个别点处取“=”),∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
=,=,ln =,
令φ(x)=,则φ'(x)=,当x∈(0,e)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,∴φ(e)>φ(2)>φ(),∴>ln>,∴f9.AD　易知圆C1:x2+y2-2x-2y=0的圆心为C1(1,1),半径r1=,
圆C2:x2+y2-x-y-1=0的圆心为C2,半径r2=.
对于A,两圆方程相减可得公共弦PQ所在直线的方程,即为x+y-1=0,故A正确;
对于B,由圆的性质可知,线段PQ的垂直平分线即为直线C1C2,其方程为y-1=(x-1),化简可得x-y=0,故B错误;
对于C,由=>可知点(0,3)在圆C1外,当切线斜率不存在时,直线方程为x=0,不合题意,当切线斜率存在时,设直线方程为y=kx+3,则圆心C1(1,1)到直线y=kx+3的距离d==,解得k=2±,所以切线方程为y=(2±)x+3,故C错误;
对于D,令y-x=t,代入圆C1的方程整理可得2x2+2(t-2)x+t2-2t=0,易知该方程有解,故Δ=4(t-2)2-8(t2-2t)≥0,解得-2≤t≤2,即y-x的最大值为2,故D正确.
10.ACD　由an+1=+2an得an+1+1=(an+1)2,
则log3(an+1+1)=2log3(an+1),即bn+1=2bn,又b1=log3(1+a1)=1,
所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,故A正确;
由an+1+1=(an+1)2得=an+1,不是常数,故{an+1}不是等比数列,故B错误;
由A知bn=1×2n-1=2n-1,Sn==2n-1=bn+1-1,故C正确;
易知=<=(n≥2),则Tn<++…+==2-2<2(n≥2),
当n=1时,T1==1<2成立,故Tn<2,故D正确.
11.BCD　圆F1:(x+2)2+y2=4的圆心为F1(-2,0),半径r1=2,圆F2:(x-2)2+y2=36的圆心为F2(2,0),半径r2=6.
对于A,设动圆P的半径为r(0F1F2,且P,M,N不重合,故点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆(去掉P,M,N重合的点),则曲线C的方程为+=1(x≠-4),故A错误;
对于B,由题图可知∠MPN与∠F1PF2互补,设PF1=m,PF2=n,
在△F1PF2中,m+n=2a=8,F1F2=4,
则cos∠F1PF2====-1,
又mn≤=16,当且仅当m=n时取等号,所以cos∠F1PF2=-1≥-1=,
又∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2≤,则∠MPN的最小值为120°,故B正确;
对于C,·+·=-r(r+2)+r(6-r)=2r(2-r)≤2×=2,当且仅当r=1时等号成立,故C正确;
对于D,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
易知椭圆C:+=1在点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,切线斜率为-,
又=,=,所以=-,=,
即(x2-x0,y2-y0)=-(2-x2,-y2),(x1-x0,y1-y0)=(-2-x1,-y1),
则
解得
所以kMN===,
r=PF1-2=-2=-2
=-2=-2,
因为-40,所以r=x0+4-2=x0+2,
所以kMN==,所以-·=-1,
即曲线C在点P处的切线与线段MN垂直,故D正确.
12.答案　52
解析　由题意可知,a6+a8=8,由等差数列的性质可知,a1+a13=a6+a8=8,所以S13==52.
13.答案　
解析　由题意得tan∠AOF=tan∠BOF=.
因为OF是圆M的直径,所以OA⊥AF,
从而tan∠AOF==,且OA2+AF2=OF2=c2,得OA=a,AF=b.
所以四边形OAFB的面积S1=2·ab=ab.
易求得圆M的面积S2=c2,
所以=ab·=·=·=.
由二次函数的性质知当=时,取得最大值,此时离心率e==.
14.答案　
解析　原不等式可变形为(e2-1)ln a-(e2-1)x0≥-2,
即(e2-1)ln a-(e2-1)ln ≥-2,即(e2-1)ln ≥-2,
令=t,则(e2-1)ln t-2t+2≥0,由x0∈[-1,2],a>0得t∈,
令f(t)=(e2-1)ln t-2t+2,则原问题等价于存在t∈,使得f(t)≥0成立,易得f'(t)=-2=,令f'(t)<0,得t>,令f'(t)>0,得0易得f(1)=0, f(e2)=(e2-1)ln e2-2e2+2=0,
又1<所以a的取值范围为.
15.解析　(1)由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2),(1分)
令f'(x)<0,得00,得x<0或x>ln 2,(3分)
所以f(x)的单调减区间为(0,ln 2),单调增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).(4分)
(2)由(1)可知f(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(-∞,0),(ln 2,+∞)上单调递增,
因为f(0)=-1<0, f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0, f(2)=e2-4>0,
所以f(x)在(ln 2,2)上存在唯一零点.
故函数f(x)的零点个数为1.(8分)
(3)若g(x)=f(x)-m在上有两个零点,
则函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有两个交点,
由(1)可得f(x)在(-1,0)上单调递增,在上单调递减,(10分)
因为f(-1)=--1, f(0)=-1, f=-->f(-1),
所以--≤m<-1,故m的取值范围为.(13分)
16.解析　(1)由已知得圆E的圆心为E(0,-1),半径为2.当切线的斜率存在时,设切线方程为y+3=k(x-3),即kx-y-3k-3=0,则=2,解得k=0或k=-.(2分)
则所求切线方程为y+3=0或12x+5y-21=0.(3分)
当切线的斜率不存在时,其方程为x=3,此时直线与圆不相切,不满足题意,故所求切线方程为y+3=0或12x+5y-21=0.(4分)
(2)联立解得或(5分)
∴圆E与圆Q的交点为(0,1),(2,-1),设M(0,1),N(2,-1),
则线段MN的垂直平分线方程为x-y-1=0,设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则解得(8分)
所以圆心为(-1,-2),r==.
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(10分)
(3)设P(x,y),则PA2+PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68,(12分)
因为点P在圆x2+(y+1)2=4上运动,所以3x2+3y2-4y+68=-10y+77,-3≤y≤1,(13分)
当y=-3时,PA2+PB2+PC2取得最大值,为107,
当y=1时,PA2+PB2+PC2取得最小值,为67.(15分)
17.解析　(1)证明:由题意知Sn=-an,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,所以an=an-1,(2分)
当n=1时,S1=-a1=a1,所以a1=,
所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以an=.
因为2+bn=3loan,所以bn=3loan-2=3lo-2=3n-2,
所以b1=1,bn+1-bn=3,
所以数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列.(5分)
(2)证明:由(1)知cn=an·bn=×(3n-2),(6分)
所以Tn=c1+c2+…+cn=×1+×4+…+×(3n-5)+×(3n-2),
所以Tn=×1+×4+…+×(3n-5)+×(3n-2),
两式相减,可得Tn=×1+×3+×3+…+×3-×(3n-2)=+3×-×(3n-2)=--,(9分)
所以Tn=-×,所以Tn<.(10分)
(3)因为cn+1-cn=(3n+1)×-(3n-2)×=≤0,(11分)
所以c1=c2>c3>c4>…,所以数列{cn}的最大项为c1和c2,且c1=c2=.(13分)
所以≤(t2+t-1),即t2+t-2≥0,解得t≥1或t≤-2,
故实数t的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).(15分)
18.解析　(1)由椭圆的长轴为双曲线的实轴得a2=8,(2分)
把点P(2,1)代入C的方程,得+=1,解得b2=2,(4分)
所以椭圆C的标准方程为+=1.(5分)
(2)①当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2+8ktx+4t2-8=0,
则Δ=64k2t2-4(4k2+1)(4t2-8)=16(8k2-t2+2)>0,x1+x2=,x1x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=,(7分)
因为k1k2=-,所以·==-,
所以2y1y2-2(y1+y2)+2=-x1x2+2(x1+x2)-4,
所以2·-2·+2=-+2·-4,
所以2t2-16k2-4t+8k2+2=-4t2+8-16kt-16k2-4,
化简得4k2+3t2+8kt-2t-1=0,即(2k+t-1)(2k+3t+1)=0,
所以t=1-2k或t=-,(10分)
当t=1-2k时,直线AB的方程为y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线AB过定点(2,1)(舍去);
当t=-时,直线AB的方程为y=kx-=k-,此时直线AB过定点.(13分)
②当直线AB的斜率不存在时,设其方程为x=m(m≠2),
由得y2=2-,所以y=±,
所以k1k2===-,解得m=2(舍去)或m=,此时直线AB的方程为x=,也过点.(16分)
综上,直线AB恒过定点.(17分)
19.解析　(1)当a=1时, f(x)=ex+xe-x,
∴f(0)=1, f'(x)=ex+e-x-xe-x,(2分)
∴f'(0)=2,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=2x+1.(4分)
(2)证明:当a≥2,x≥1时, f(x)=ex+axe-x≥ex+2xe-x,(5分)
令h(x)=ex+2xe-x,则h'(x)=ex+(2-2x)e-x=,
令φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1,
当x≥1时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
∴φ(x)≥φ(1)=e-2>0,即ex>x+1,(8分)
所以(ex)2>(x+1)2,即(ex)2-2x>x2+1≥2,∴(ex)2+(2-2x)>4,即h'(x)>0,∴h(x)=ex+2xe-x在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)≥h(x)≥h(1)=e+>3≥3cos x.(10分)
(3)g(x)=ex=-+ex-,
则g'(x)=-e2x+ex-=-(ex-1),又a≥4,∴ln >0,
当x∈(-∞,0)∪时,g'(x)<0,当x∈时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)和上单调递减,在上单调递增,(13分)
由g'(m)=g'(n)(m∴g(m)+g(n)=+em+n-(m+n),
易得em+en=+1≥2,当且仅当m=n时等号成立,因为m记t=em+n,则t∈,令F(t)=+t-ln t,则F'(t)=1-,0当t∈时,F'(t)<0,F(t)单调递减;当t∈时,F'(t)>0,F(t)单调递增,
∴当t=时,F(t)有极小值,也是最小值,为F=+-ln,故G(a)=+-ln,则G'(a)=,∵a≥4,∴G'(a)>0,
∴G(a)单调递增,则G(a)min=G(4)=-2ln 2.(17分)