【突破课堂】第二章 平面解析几何--26版高中同步达标检测卷人教B版数学选必修1
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| 名称 | 【突破课堂】第二章 平面解析几何--26版高中同步达标检测卷人教B版数学选必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 11:34:34 | ||
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文档简介
(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第二章 平面解析几何
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
2.已知直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为( )
A.2π B.3π C.4π D.5π
3.已知平面上点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),则以下叙述错误的是( )
A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线
B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支
C.若|MA|=k|MB|(k>0,且k≠1),则M的轨迹一定是圆
D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆
4.已知圆C1:x2+y2+4x+3=0,圆C2:x2+y2-8x+12=0,则下列直线中不能与圆C1,C2同时相切的是( )
A.x+3y=0 B.x-3y=0
C.x+y+8=0 D.x-y-8=0
5.已知点O,F,A分别是椭圆+=1(a>b>0)的中心、右焦点和上顶点,直线AF与椭圆交于另一点B,若|OF|∶|BF|=5∶6,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,台风中心30 km内的地区为危险地区,若城市B在A地正东方向40 km处,则城市B处于危险区内的时间为( )
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
7.设A,B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为( )
A. B.
C. D.
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5
C.3+ D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知直线l1:3x+ay+1=0,l2:(a+2)x+y+a=0,则( )
A.当a=时,直线l1的倾斜角为60°
B.当a=-时,l1⊥l2
C.若l1∥l2,则a=-3或a=1
D.直线l2始终过点(-1,2)
10.已知O为坐标原点,M,N是抛物线C:x2=2py(p>0)上两点,焦点为F,抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为,则下列说法正确的是( )
A.p=1
B.若OM⊥ON,则直线MN恒过点(0,1)
C.若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆的半径为
D.若=2,则直线MN的斜率为±
11.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限内的公共点,设C2的方程为+=1(a>b>0),则( )
A.a2+b2=4
B.△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1,0)
C.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率为
D.若AF1⊥AF2,则椭圆方程为+=1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,b-c(b>c>0)为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 .
13.数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证.在大自然中,一些植物的叶子有着明确的数学方程式,如图①,从蔓叶中一点散开的叶脉所形成的曲线满足y2(a-2x)=2x3,该曲线即为蔓叶线,如图②,若圆x2-4x+3+y2=0与该蔓叶线恰有两个交点,则实数a= .
14.造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用,这种造型的曲线被称为双纽线.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为4,若动点M满足|MF1||MF2|=4,则动点M的轨迹Ω是一个双纽线.下列说法正确的是 .(填序号)
①轨迹Ω仅经过一个整点(横、纵坐标都是整数的点);
②若点M在椭圆C上,且∠F1MF2=,则C的离心率为;
③点M与原点O之间的距离不超过2;
④若直线y=kx与曲线Ω有且仅有一个公共点,则k≥1或k≤-1.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
16.(15分)某公园有一圆柱形景观建筑物,底面直径为4米,在其南面有一条东西走向的观景直道,在其东、西两侧有与观景直道平行的两段辅道,且观景直道与辅道的距离为6米.已知在建筑物底面中心O的东北方向且距离为10米的点A处有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.
(1)若在西辅道上与建筑物底面中心O距离为5米的点B处有一游客,则该游客是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
17.(15分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ的面积的最小值.
18.(17分)在平面直角坐标系中,定义d(A,B)=max{|xA-xB|,|yA-yB|}是两点A(xA,yA),B(xB,yB)的“切比雪夫距离”,又设点P及直线l上任一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”,记作d(P,l).
(1)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0,求d(P,l);
(2)求证:对任意三点A,B,C,都有d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B);
(3)定点C(x0,y0),动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r>0),求点P所在曲线所围成图形的面积.
19.(17分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
答案与解析
1.B 解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d==,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,所以|k+1|≤·,所以d=≤,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的距离的最大值在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,所求距离的最大值为PQ=.
2.A 易得l1∥l2,所以l1与l2间的距离为=2,所以圆心C到直线l1的距离为1.因为直线l1被圆C截得的弦长为2,所以圆C的半径r==,所以圆C的面积为πr2=2π.
3.B 对于A,根据题意可得(x+2)2+y2-[(x-2)2+y2]=3,整理可得x=,故M的轨迹是一条直线,A中叙述正确;对于B,因为|MA|-|MB|=4=|AB|,所以M的轨迹是一条射线,不是双曲线,故B中叙述错误;对于C,由|MA|=k|MB|(k>0,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得+y2=,其表示圆心为,半径为的圆,故C中叙述正确;对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.
4.D 由题意知C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=4,所以圆C1的圆心为(-2,0),半径为1;圆C2的圆心为(4,0),半径为2.
对于A,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x+3y=0是两圆的一条公切线.
对于B,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x-3y=0是两圆的一条公切线.
对于C,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x+y+8=0是两圆的一条公切线.
对于D,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=,与半径不相等,故直线x-y-8=0不可能是两圆的公切线.
5.A 设|OF|=c,椭圆的左焦点为F',连接AF',BF',如图,则|BF|=c,|BF'|=2a-c,
在△AFF'中,|FF'|=2c,|AF'|=|AF|=a,
由余弦定理的推论,得cos∠F'FA===e.
在△BFF'中,由余弦定理的推论,得cos∠F'FB=
==.
因为∠F'FA+∠F'FB=π,所以cos∠F'FA+cos∠F'FB=0,故e+=0,整理,得6e3+5e2+6e-5=0,即(2e-1)(3e2+4e+5)=0,解得e=.
6.B 以A为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则B(40,0).
以B为圆心,30为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302.
易知台风中心的运动轨迹方程为y=x,所以圆心B到直线y=x的距离为=20,则直线y=x被圆(x-40)2+y2=302 截得的弦长为2×=20,所以城市B处于危险区内的时间为=1(h).
7.A 双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),
又P,∴直线PA的方程为x=-1,直线PB的方程为x=-+1.由可得y2-=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-1,得x=,∴M.
由可得y2-y=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-+1,得x=,∴N.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,∴=,
将M,N的坐标代入,化简可得=,
解得s=2,即Q(2,0).
设过Q的直线方程为x=my+2,S(x1,y1),T(x2,y2),
由得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立.
∵=2,∴y1=-2y2,∴解得m2=.
∴S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=
=·=3×=.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
易知圆O的圆心为O(0,0),半径为1,圆O1的圆心为O1(1,4),半径为6.
设|O1M|=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而|MA|2=|AO1|2-|O1M|2=36-x2,|PM|2=|NO1|2=|OO1|2-|NO|2=17-(x+1)2,∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP(图略),则OP⊥AB,
设|O1M'|=x',则0≤x'<-1,|BM'|=,|M'P|=,∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈(0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,-10≤t<-11,
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.
9.BD 对于A,当a=时,直线l1:3x+y+1=0,其斜率为-,所以直线l1的倾斜角为120°,故A错误.
对于B,当l1⊥l2时,3(a+2)+a=0,解得a=-,故B正确.
对于C,若l1∥l2,则3=a(a+2),且3a≠a+2,解得a=-3,故C错误.
对于D,对(a+2)x+y+a=0变形,得(x+1)a+2x+y=0.令x+1=0,且2x+y=0,得x=-1,y=2,所以直线l2恒过点(-1,2),故D正确.
10.AD 对于A,根据抛物线的定义知1+=,解得p=1,故A正确.
对于B,设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率一定存在,设直线MN的方程为y=kx+b,代入x2=2y中,得x2-2kx-2b=0,则Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,所以kOMkON===x1x2=-=-1,解得b=2,所以直线MN恒过点(0,2),故B错误.
对于C,易得F,O(0,0),因为△MOF外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点,所以△MOF外接圆圆心的纵坐标为=,又其与抛物线的准线相切,所以外接圆半径为+=,故C错误.
对于D,因为=2,所以直线MN过焦点F,且|MF|=2|FN|,设直线MN的倾斜角为θ,由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值,如图,过M,N分别向准线作垂线MA,NB,过N向MA作垂线NC,设|FN|=m(m>0),则|MN|=3m,|NB|=m,|MA|=2m,|MC|=m,所以|NC|=2m,则tan θ==,即直线MN的斜率为±,故D正确.
11.BCD 由双曲线C1:x2-=1可得c==2,∴a2-b2=c2=4,故A错误;
设△AF1F2的内切圆的圆心为I,圆I与边AF1,F1F2,F2A相切于点N,M,K,连接NI,MI,KI,如图所示,则|AN|=|AK|,|F1M|=|F1N|,|F2M|=|F2K|,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2,即(|AN|+|F1N|)-(|AK|+|F2K|)=|F1N|-|F2K|=|F1M|-|F2M|=2①,又|F1M|+|F2M|=4②,∴由①②解得|F2M|=1,|F1M|=3,∴M(1,0),∴圆I与x轴相切于点(1,0),故B正确;
在椭圆C2中,|F1A|+|F2A|=2a,又|F1A|-|F2A|=2,∴|F1A|=a+1,|F2A|=a-1,由|F1F2|=|F1A|,得4=a+1,解得a=3,则C2的离心率为=,故C正确;
若AF1⊥AF2,则+=,即(a+1)2+(a-1)2=4c2=16,解得a=,则b===,∴椭圆的方程为+=1,故D正确.
12.答案
解析 ∵|PT|=,∴当|PF2|取得最小值时,|PT|取得最小值.
当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为a-c,
∴≥(a-c),∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),
∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),即5c2+2ac-3a2≥0,∴5e2+2e-3≥0,
解得e≥或e≤-1(舍去).又e∈(0,1),∴≤e<1.①
∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<,∴0由①②得≤e<.故椭圆的离心率e的取值范围为.
13.答案 6+3
解析 方程x2-4x+3+y2=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1.
因为圆x2-4x+3+y2=0与蔓叶线恰有两个交点,
所以根据蔓叶线和圆的对称性知,当y>0时,圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点,此时两曲线相切,故=(1当a=6-3时,x<1,不符合题意;当a=6+3时,x=,符合题意.故实数a=6+3.
14.答案 ①③④
解析 对于①,由题意得F1(-2,0),F2(2,0).
设M(x,y),则|MF1||MF2|=·=4,化简,得(x2+y2)2=8(x2-y2),所以轨迹Ω的方程为(x2+y2)2=8(x2-y2).
令t=x2,则(t+y2)2=8(t-y2),整理,得t2+(2y2-8)t+y4+8y2=0.
令Δ=(2y2-8)2-4(y4+8y2)≥0,解得-1≤y≤1.
当y=0时,x=0或x=2或x=-2;
当y2=1时,x=或x=-.
所以轨迹Ω经过整点(0,0),所以轨迹Ω仅经过一个整点,故①正确.
对于②,若点M在椭圆C上,则|MF1|+|MF2|=2a,
所以(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=|MF1|2+|MF2|2+8=4a2,所以|MF1|2+|MF2|2=4a2-8.
因为∠F1MF2=,所以|MF1|2+|MF2|2=4a2-8=|F1F2|2=16,所以a=,所以C的离心率为=,故②错误.
对于③,当点M与点O重合时,点M与点O之间的距离为0;
当点M与点O不重合时,点M与点O之间的距离为=≤=2.
所以点M与点O之间的距离不超过2,故③正确.
对于④,因为直线y=kx与曲线Ω有且仅有一个公共点,且直线y=kx和曲线Ω都经过原点,所以除原点外,直线y=kx与曲线Ω无公共点.
由得(1+k2)2x4=8(1-k2)x2,
易知当x≠0时,方程x2=无解,所以≤0,解得k≥1或k≤-1,故④正确.
15.解析 (1)因为圆心C在直线l:y=2x-4上,且在直线y=x-1上,所以圆心C为两直线的交点,
联立解得所以C(3,2).(2分)
易知切线的斜率存在,设其方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,
根据圆心到直线kx-y+3=0的距离等于半径1,可得=1,解得k=0或k=-,(4分)
故切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(6分)
(2)根据题意可得圆心C(a,2a-4),且圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.(7分)
设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴=2,化简可得x2+(y+1)2=4,
故点M在以(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,记D(0,-1).(9分)
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,(11分)
整理得5a2-12a+8≥0且5a2-12a≤0,解得0≤a≤.(13分)
16.解析 (1)以O为坐标原点,正东、正北方向分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则O(0,0),A(10,10),B(-5,0),(2分)
所以直线AB的方程为=,即2x-3y+10=0,(4分)
所以点O到直线AB的距离d==<2,(6分)
所以直线AB与圆O相交,所以该游客不在该摄像头的监控范围内.(8分)
(2)易知观景直道所在直线的方程为y=-6,且过点A的直线l与圆O相切或相离时,摄像头监控不会被景观建筑物挡住.(10分)
当直线l与x轴垂直时,直线l不会与圆相切.(11分)
当直线l与x轴不垂直时,设直线l:y-10=k(x-10),即kx-y+10-10k=0,
所以圆心O到直线l的距离为=2,解得k=或k=2,
所以直线l:y-10=(x-10)或y-10=2(x-10),
即x-2y+10=0或2x-y-10=0.(13分)
设两条直线与y=-6的交点分别为D,E,
由解得x=-22,由解得x=2,
所以|DE|=2-(-22)=24(米),
所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为24米.(15分)
17.解析 (1)方程x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4.(1分)
易知AM∥NC,又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|,所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2.(3分)
所以点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(5分)
(2)易知k≠0,设P(x1,y1).由消去y,得(3+4k2)x2=12,(7分)
所以所以|OP|===
(O为坐标原点).(10分)
因为△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,
所以RO⊥PQ,所以kRO·kPQ=-1,则kRO=-.
同理,|OR|==.(12分)
所以S△RPQ=×|PQ|×|OR|=×2××
=≥==,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,所以(S△RPQ)min=.(15分)
18.解析 (1)取直线l:2x-y-1=0上一点Q(x',2x'-1),
则d(P,Q)=max{|x'-3|,|2x'-2|}.(2分)
令|x'-3|≥|2x'-2|,解得-1≤x'≤,此时d(P,Q)=|x'-3|,
当x'=时,d(P,Q)取得最小值,为;(4分)
令|x'-3|<|2x'-2|,解得x'>或x'<-1,此时d(P,Q)=|2x'-2|,
故d(P,Q)的取值范围是,无最值.(5分)
综上所述,d(P,Q)的最小值为,所以d(P,l)=.(6分)
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则d(A,C)+d(C,B)=max{|x1-x3|,|y1-y3|}+max{|x3-x2|,|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|,(7分)
同理可得,d(A,C)+d(C,B)≥|y1-y2|,(9分)
所以d(A,C)+d(C,B)≥max{|x1-x2|,|y1-y2|}=d(A,B).(12分)
(3)由题得d(C,P)=max{|x-x0|,|y-y0|}=r,(13分)
等价于或(15分)
所以点P的轨迹是以C(x0,y0)为中心,边长为2r的正方形,
故点P所在曲线所围成图形的面积为4r2.(17分)
19.解析 (1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|==,
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,所以|FM|=+1,(3分)
由|PM|=|FM|,得=+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(7分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(10分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理B(2k2,),所以kAB==,(12分)
所以直线AB的方程为y-=(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.所以|AB|=|2k1-2k2|=·=·,P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d==,(14分)
整理得-4y0=3,联立得(x0-1)(++19x0-13)=0,所以x0=1或++19x0-13=0,
设f(x0)=++19x0-13,≤x0≤,
显然f<0,f(1)>0,f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=++19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第二章 平面解析几何
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
2.已知直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为( )
A.2π B.3π C.4π D.5π
3.已知平面上点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),则以下叙述错误的是( )
A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线
B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支
C.若|MA|=k|MB|(k>0,且k≠1),则M的轨迹一定是圆
D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆
4.已知圆C1:x2+y2+4x+3=0,圆C2:x2+y2-8x+12=0,则下列直线中不能与圆C1,C2同时相切的是( )
A.x+3y=0 B.x-3y=0
C.x+y+8=0 D.x-y-8=0
5.已知点O,F,A分别是椭圆+=1(a>b>0)的中心、右焦点和上顶点,直线AF与椭圆交于另一点B,若|OF|∶|BF|=5∶6,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,台风中心30 km内的地区为危险地区,若城市B在A地正东方向40 km处,则城市B处于危险区内的时间为( )
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
7.设A,B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为( )
A. B.
C. D.
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5
C.3+ D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知直线l1:3x+ay+1=0,l2:(a+2)x+y+a=0,则( )
A.当a=时,直线l1的倾斜角为60°
B.当a=-时,l1⊥l2
C.若l1∥l2,则a=-3或a=1
D.直线l2始终过点(-1,2)
10.已知O为坐标原点,M,N是抛物线C:x2=2py(p>0)上两点,焦点为F,抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为,则下列说法正确的是( )
A.p=1
B.若OM⊥ON,则直线MN恒过点(0,1)
C.若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆的半径为
D.若=2,则直线MN的斜率为±
11.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限内的公共点,设C2的方程为+=1(a>b>0),则( )
A.a2+b2=4
B.△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1,0)
C.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率为
D.若AF1⊥AF2,则椭圆方程为+=1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,b-c(b>c>0)为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 .
13.数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证.在大自然中,一些植物的叶子有着明确的数学方程式,如图①,从蔓叶中一点散开的叶脉所形成的曲线满足y2(a-2x)=2x3,该曲线即为蔓叶线,如图②,若圆x2-4x+3+y2=0与该蔓叶线恰有两个交点,则实数a= .
14.造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用,这种造型的曲线被称为双纽线.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为4,若动点M满足|MF1||MF2|=4,则动点M的轨迹Ω是一个双纽线.下列说法正确的是 .(填序号)
①轨迹Ω仅经过一个整点(横、纵坐标都是整数的点);
②若点M在椭圆C上,且∠F1MF2=,则C的离心率为;
③点M与原点O之间的距离不超过2;
④若直线y=kx与曲线Ω有且仅有一个公共点,则k≥1或k≤-1.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
16.(15分)某公园有一圆柱形景观建筑物,底面直径为4米,在其南面有一条东西走向的观景直道,在其东、西两侧有与观景直道平行的两段辅道,且观景直道与辅道的距离为6米.已知在建筑物底面中心O的东北方向且距离为10米的点A处有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.
(1)若在西辅道上与建筑物底面中心O距离为5米的点B处有一游客,则该游客是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
17.(15分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ的面积的最小值.
18.(17分)在平面直角坐标系中,定义d(A,B)=max{|xA-xB|,|yA-yB|}是两点A(xA,yA),B(xB,yB)的“切比雪夫距离”,又设点P及直线l上任一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”,记作d(P,l).
(1)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0,求d(P,l);
(2)求证:对任意三点A,B,C,都有d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B);
(3)定点C(x0,y0),动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r>0),求点P所在曲线所围成图形的面积.
19.(17分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
答案与解析
1.B 解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d==,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,所以|k+1|≤·,所以d=≤,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的距离的最大值在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,所求距离的最大值为PQ=.
2.A 易得l1∥l2,所以l1与l2间的距离为=2,所以圆心C到直线l1的距离为1.因为直线l1被圆C截得的弦长为2,所以圆C的半径r==,所以圆C的面积为πr2=2π.
3.B 对于A,根据题意可得(x+2)2+y2-[(x-2)2+y2]=3,整理可得x=,故M的轨迹是一条直线,A中叙述正确;对于B,因为|MA|-|MB|=4=|AB|,所以M的轨迹是一条射线,不是双曲线,故B中叙述错误;对于C,由|MA|=k|MB|(k>0,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得+y2=,其表示圆心为,半径为的圆,故C中叙述正确;对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.
4.D 由题意知C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=4,所以圆C1的圆心为(-2,0),半径为1;圆C2的圆心为(4,0),半径为2.
对于A,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x+3y=0是两圆的一条公切线.
对于B,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x-3y=0是两圆的一条公切线.
对于C,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=1,与半径相等;圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为=2,与半径相等,故直线x+y+8=0是两圆的一条公切线.
对于D,圆C1的圆心(-2,0)到直线的距离为=,与半径不相等,故直线x-y-8=0不可能是两圆的公切线.
5.A 设|OF|=c,椭圆的左焦点为F',连接AF',BF',如图,则|BF|=c,|BF'|=2a-c,
在△AFF'中,|FF'|=2c,|AF'|=|AF|=a,
由余弦定理的推论,得cos∠F'FA===e.
在△BFF'中,由余弦定理的推论,得cos∠F'FB=
==.
因为∠F'FA+∠F'FB=π,所以cos∠F'FA+cos∠F'FB=0,故e+=0,整理,得6e3+5e2+6e-5=0,即(2e-1)(3e2+4e+5)=0,解得e=.
6.B 以A为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则B(40,0).
以B为圆心,30为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302.
易知台风中心的运动轨迹方程为y=x,所以圆心B到直线y=x的距离为=20,则直线y=x被圆(x-40)2+y2=302 截得的弦长为2×=20,所以城市B处于危险区内的时间为=1(h).
7.A 双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),
又P,∴直线PA的方程为x=-1,直线PB的方程为x=-+1.由可得y2-=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-1,得x=,∴M.
由可得y2-y=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-+1,得x=,∴N.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,∴=,
将M,N的坐标代入,化简可得=,
解得s=2,即Q(2,0).
设过Q的直线方程为x=my+2,S(x1,y1),T(x2,y2),
由得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立.
∵=2,∴y1=-2y2,∴解得m2=.
∴S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=
=·=3×=.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
易知圆O的圆心为O(0,0),半径为1,圆O1的圆心为O1(1,4),半径为6.
设|O1M|=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而|MA|2=|AO1|2-|O1M|2=36-x2,|PM|2=|NO1|2=|OO1|2-|NO|2=17-(x+1)2,∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP(图略),则OP⊥AB,
设|O1M'|=x',则0≤x'<-1,|BM'|=,|M'P|=,∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈(0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,-10≤t<-11,
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.
9.BD 对于A,当a=时,直线l1:3x+y+1=0,其斜率为-,所以直线l1的倾斜角为120°,故A错误.
对于B,当l1⊥l2时,3(a+2)+a=0,解得a=-,故B正确.
对于C,若l1∥l2,则3=a(a+2),且3a≠a+2,解得a=-3,故C错误.
对于D,对(a+2)x+y+a=0变形,得(x+1)a+2x+y=0.令x+1=0,且2x+y=0,得x=-1,y=2,所以直线l2恒过点(-1,2),故D正确.
10.AD 对于A,根据抛物线的定义知1+=,解得p=1,故A正确.
对于B,设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率一定存在,设直线MN的方程为y=kx+b,代入x2=2y中,得x2-2kx-2b=0,则Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,所以kOMkON===x1x2=-=-1,解得b=2,所以直线MN恒过点(0,2),故B错误.
对于C,易得F,O(0,0),因为△MOF外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点,所以△MOF外接圆圆心的纵坐标为=,又其与抛物线的准线相切,所以外接圆半径为+=,故C错误.
对于D,因为=2,所以直线MN过焦点F,且|MF|=2|FN|,设直线MN的倾斜角为θ,由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值,如图,过M,N分别向准线作垂线MA,NB,过N向MA作垂线NC,设|FN|=m(m>0),则|MN|=3m,|NB|=m,|MA|=2m,|MC|=m,所以|NC|=2m,则tan θ==,即直线MN的斜率为±,故D正确.
11.BCD 由双曲线C1:x2-=1可得c==2,∴a2-b2=c2=4,故A错误;
设△AF1F2的内切圆的圆心为I,圆I与边AF1,F1F2,F2A相切于点N,M,K,连接NI,MI,KI,如图所示,则|AN|=|AK|,|F1M|=|F1N|,|F2M|=|F2K|,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2,即(|AN|+|F1N|)-(|AK|+|F2K|)=|F1N|-|F2K|=|F1M|-|F2M|=2①,又|F1M|+|F2M|=4②,∴由①②解得|F2M|=1,|F1M|=3,∴M(1,0),∴圆I与x轴相切于点(1,0),故B正确;
在椭圆C2中,|F1A|+|F2A|=2a,又|F1A|-|F2A|=2,∴|F1A|=a+1,|F2A|=a-1,由|F1F2|=|F1A|,得4=a+1,解得a=3,则C2的离心率为=,故C正确;
若AF1⊥AF2,则+=,即(a+1)2+(a-1)2=4c2=16,解得a=,则b===,∴椭圆的方程为+=1,故D正确.
12.答案
解析 ∵|PT|=,∴当|PF2|取得最小值时,|PT|取得最小值.
当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为a-c,
∴≥(a-c),∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),
∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),即5c2+2ac-3a2≥0,∴5e2+2e-3≥0,
解得e≥或e≤-1(舍去).又e∈(0,1),∴≤e<1.①
∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<,∴0
13.答案 6+3
解析 方程x2-4x+3+y2=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1.
因为圆x2-4x+3+y2=0与蔓叶线恰有两个交点,
所以根据蔓叶线和圆的对称性知,当y>0时,圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点,此时两曲线相切,故=(1
14.答案 ①③④
解析 对于①,由题意得F1(-2,0),F2(2,0).
设M(x,y),则|MF1||MF2|=·=4,化简,得(x2+y2)2=8(x2-y2),所以轨迹Ω的方程为(x2+y2)2=8(x2-y2).
令t=x2,则(t+y2)2=8(t-y2),整理,得t2+(2y2-8)t+y4+8y2=0.
令Δ=(2y2-8)2-4(y4+8y2)≥0,解得-1≤y≤1.
当y=0时,x=0或x=2或x=-2;
当y2=1时,x=或x=-.
所以轨迹Ω经过整点(0,0),所以轨迹Ω仅经过一个整点,故①正确.
对于②,若点M在椭圆C上,则|MF1|+|MF2|=2a,
所以(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=|MF1|2+|MF2|2+8=4a2,所以|MF1|2+|MF2|2=4a2-8.
因为∠F1MF2=,所以|MF1|2+|MF2|2=4a2-8=|F1F2|2=16,所以a=,所以C的离心率为=,故②错误.
对于③,当点M与点O重合时,点M与点O之间的距离为0;
当点M与点O不重合时,点M与点O之间的距离为=≤=2.
所以点M与点O之间的距离不超过2,故③正确.
对于④,因为直线y=kx与曲线Ω有且仅有一个公共点,且直线y=kx和曲线Ω都经过原点,所以除原点外,直线y=kx与曲线Ω无公共点.
由得(1+k2)2x4=8(1-k2)x2,
易知当x≠0时,方程x2=无解,所以≤0,解得k≥1或k≤-1,故④正确.
15.解析 (1)因为圆心C在直线l:y=2x-4上,且在直线y=x-1上,所以圆心C为两直线的交点,
联立解得所以C(3,2).(2分)
易知切线的斜率存在,设其方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,
根据圆心到直线kx-y+3=0的距离等于半径1,可得=1,解得k=0或k=-,(4分)
故切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(6分)
(2)根据题意可得圆心C(a,2a-4),且圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.(7分)
设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴=2,化简可得x2+(y+1)2=4,
故点M在以(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,记D(0,-1).(9分)
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,(11分)
整理得5a2-12a+8≥0且5a2-12a≤0,解得0≤a≤.(13分)
16.解析 (1)以O为坐标原点,正东、正北方向分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则O(0,0),A(10,10),B(-5,0),(2分)
所以直线AB的方程为=,即2x-3y+10=0,(4分)
所以点O到直线AB的距离d==<2,(6分)
所以直线AB与圆O相交,所以该游客不在该摄像头的监控范围内.(8分)
(2)易知观景直道所在直线的方程为y=-6,且过点A的直线l与圆O相切或相离时,摄像头监控不会被景观建筑物挡住.(10分)
当直线l与x轴垂直时,直线l不会与圆相切.(11分)
当直线l与x轴不垂直时,设直线l:y-10=k(x-10),即kx-y+10-10k=0,
所以圆心O到直线l的距离为=2,解得k=或k=2,
所以直线l:y-10=(x-10)或y-10=2(x-10),
即x-2y+10=0或2x-y-10=0.(13分)
设两条直线与y=-6的交点分别为D,E,
由解得x=-22,由解得x=2,
所以|DE|=2-(-22)=24(米),
所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为24米.(15分)
17.解析 (1)方程x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4.(1分)
易知AM∥NC,又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|,所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2.(3分)
所以点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(5分)
(2)易知k≠0,设P(x1,y1).由消去y,得(3+4k2)x2=12,(7分)
所以所以|OP|===
(O为坐标原点).(10分)
因为△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,
所以RO⊥PQ,所以kRO·kPQ=-1,则kRO=-.
同理,|OR|==.(12分)
所以S△RPQ=×|PQ|×|OR|=×2××
=≥==,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,所以(S△RPQ)min=.(15分)
18.解析 (1)取直线l:2x-y-1=0上一点Q(x',2x'-1),
则d(P,Q)=max{|x'-3|,|2x'-2|}.(2分)
令|x'-3|≥|2x'-2|,解得-1≤x'≤,此时d(P,Q)=|x'-3|,
当x'=时,d(P,Q)取得最小值,为;(4分)
令|x'-3|<|2x'-2|,解得x'>或x'<-1,此时d(P,Q)=|2x'-2|,
故d(P,Q)的取值范围是,无最值.(5分)
综上所述,d(P,Q)的最小值为,所以d(P,l)=.(6分)
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则d(A,C)+d(C,B)=max{|x1-x3|,|y1-y3|}+max{|x3-x2|,|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|,(7分)
同理可得,d(A,C)+d(C,B)≥|y1-y2|,(9分)
所以d(A,C)+d(C,B)≥max{|x1-x2|,|y1-y2|}=d(A,B).(12分)
(3)由题得d(C,P)=max{|x-x0|,|y-y0|}=r,(13分)
等价于或(15分)
所以点P的轨迹是以C(x0,y0)为中心,边长为2r的正方形,
故点P所在曲线所围成图形的面积为4r2.(17分)
19.解析 (1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|==,
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,所以|FM|=+1,(3分)
由|PM|=|FM|,得=+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(7分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(10分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理B(2k2,),所以kAB==,(12分)
所以直线AB的方程为y-=(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.所以|AB|=|2k1-2k2|=·=·,P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d==,(14分)
整理得-4y0=3,联立得(x0-1)(++19x0-13)=0,所以x0=1或++19x0-13=0,
设f(x0)=++19x0-13,≤x0≤,
显然f<0,f(1)>0,f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=++19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)