【突破课堂】期末考试综合检测卷(二)--26版高中同步达标检测卷人教B版数学选必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末考试综合检测卷(二)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线x+2y-1=0的一个方向向量为v=(1,m),则m的值为(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-,则实数x的值为(　　)
A.-3　　　　B.11　　　　C.3　　　　D.-3或11
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的延长线上一点,=2,则可以表示为(　　)
A.++　　　　B.+-
C.++　　　　D.+-
4.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于(　　)
A.14　　　　B.34　　　　C.14或45　　　　D.34或14
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1的中点为E,则二面角A-BE-B1的余弦值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
6.已知双曲线-=1,F为其右焦点,过F点的直线与双曲线相交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l的条数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线PQ过F1与椭圆交于P,Q两点,若2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|,则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.已知圆O(O为坐标原点)与直线x+y+4=0相切,点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为(　　)
A.(2,0)　　　　B.(0,2)　　　　
C.(1,0)　　　　D.(0,1)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,点D在线段B1C1上,则下面说法中正确的有(　　)
A.EF∥平面AA1B1B
B.若D是B1C1的中点,则BD⊥EF
C.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D.当直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为
10.已知艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案,它可看作由抛物线C:y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°,180°,270°后所得三条曲线与C围成的(图中阴影区域),A,B为C与其中两条曲线的交点,若p=1,则(　　)
A.开口向上的抛物线的方程为y=x2
B.|AB|=2
C.直线x+y=t在第一象限内被围成阴影部分的两段曲线截得的弦的长度的最大值为
D.阴影区域的面积大于4
11.如图,经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD均与圆x2+y2-4x+2y-20=0相交,交点分别为A,C和B,D,弦AB的中点为M,则下列说法正确的是(　　)
A.线段BO的长度的最大值为10-2
B.弦AC的长度的最小值为4
C.点M的轨迹是一个圆
D.连接四边形ABCD各边的中点,所得四边形的面积的最大值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于　　　　.
13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,·=0,O为坐标原点,过点O作F1P的垂线,垂足为点H,若双曲线的离心率e=,存在实数m满足|OH|=m|OF1|,则m=　　　　.
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M(异于原点O)在抛物线上,过M作C的切线l,ON⊥l,垂足为N,直线MF与直线ON交于点A,点B(0,2),则|AB|的最小值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)若直线l与圆C交于A,B两点,|AB|=4,求实数m的值;
(2)求证:无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点;
(3)求直线l被圆C截得的最短弦长以及此时直线l的方程.
16.(15分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形,AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=,AE=2,M为CD的中点.
(1)证明:平面ABCD⊥平面CDEF;
(2)求二面角A-EM-B的正弦值;
(3)设点N是△ADM内一动点,·=0,当线段AN的长最小时,求直线EN与直线BF所成角的余弦值.
17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点M,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上的动点(不与左、右顶点重合),Q是△PF1F2的内心,求|MQ|的最大值.
18.(17分)已知圆C1:(x+2)2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4,若过平面内一点P所作圆C1的切线长与所作圆C2的切线长的比值为定值λ(λ>0,且λ≠1),则称点P为“λ型切圆关联点”.记λ=时,点P的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)过点C1(-2,0)的直线l1交C于A,B两点,过C1且与l1垂直的直线l2交C于D,E两点.
①求四边形ADBE的面积的最大值;
②设M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,证明:直线MN过定点.
19.(17分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=2,过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为C.
(1)求证:直线BC过定点;
(2)若直线BC所过定点为Q,△QAB,△PBC的面积分别为S1,S2,求的取值范围.
答案与解析
1.D　直线x+2y-1=0的斜率为-,所以m=-.
2.A　∵cos===-,
∴=-,∴x=-3.
3.B　连接AE,AD1.因为=2,所以=,所以=-=+-(+)=+-(+)=+-(+)=+-.
4.D　设圆C1,圆C2的半径分别为r1,r2.
圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a,所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=.
由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.
因为|C1C2|==5,
所以5=1+或5=|1-|,
解得a=34或a=14.
5.A　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),∴=(0,2,0),=(2,2,-1),=(2,2,1),
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,得n=(1,0,2),
设平面BB1E的一个法向量为m=(a,b,c),
则取a=1,得m=(1,-1,0),
设二面角A-BE-B1的大小为θ,由图知θ为钝角,
∴cos θ=-=-=-.
6.C　由双曲线-=1得a=2,b=.
当弦AB仅过双曲线右支时,通径最短,长度为=3,
因为|AB|=4>3,所以符合条件的直线有2条.
当弦AB过双曲线的两支时,实轴最短,长度为2a=4,
因为|AB|=4,所以符合条件的直线有1条.
综上,这样的直线l的条数为3.
7.A　设2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0,|F1F2|=2c,则|PF1|=3t,|PF2|=2t,|QF1|=t.
连接QF2(图略),由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF2|=2a-t=4t,所以a=t.
在△PF1F2中,由余弦定理得4t2=9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2.
在△QF1F2中,由余弦定理得16t2=t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2.
因为∠PF1F2+∠QF1F2=π,所以cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,
所以4t2+3×16t2=(9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2)+3(t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2),即52t2=12t2+16c2,所以c=t.
所以椭圆的离心率e===.
8.A　依题意得,圆O的半径r==4,所以圆O的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP(图略).因为PA,PB是圆O的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R.因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过点(2,0).
9.ACD　建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,1,2),
设D(x,2-x,2),x∈[0,2],则=(-2,2,0),=(0,0,2),=(-1,0,2),=(x-2,2-x,2).
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,可得为平面AA1B1B的一个法向量,为平面ABC的一个法向量.
对于A,易知=(0,2,0),因为·=0,所以EF⊥AC,又EF 平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B1B,故A正确;
对于B,若D是B1C1的中点,则=(-1,1,2),所以·=1+4=5,所以EF与BD不垂直,故B不正确;
对于C,易知=(0,0,2),设直线EF与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos<,>|===,故C正确;
对于D,设=λ=(-2λ,2λ,0)(0≤λ≤1),则=+=(-2λ,2λ,2),所以·=2λ+4,所以cos<,>===,所以当=,即λ=时,cos<,>取得最大值,即直线BD与直线EF所成的角最小,此时=,∴BD=||=,故D正确.
10.ACD　因为p=1,所以开口向右的抛物线的焦点为,方程为y2=2x,所以开口向上的抛物线的焦点为,方程为x2=2y,故A正确.
由得x=0或x=2,所以xA=2,所以yA=2,所以A(2,2),所以B(2,-2),所以|AB|=4,故B错误.
如图,设直线x+y=t在第一象限内与围成阴影区域的两段曲线分别交于点M,N(M位于N的左侧).
由得
所以M(t+1-,-1).
由得
所以N(-1,t+1-).
所以|MN|==|t+2-2|.
由图知,直线x+y=t经过点A时,t取得最大值,为4,经过点O时,t取得最小值,为0,所以在第一象限内直线x+y=t与围成阴影部分的两段曲线分别有一个交点(两交点不重合)需满足0设u=,则1所以|MN|==|(u-2)2-1|(1所以当u=2时,|MN|取得最大值,为,故C正确.
对于D,在曲线y=x2(x≥0)上取一点P,使过点P的切线与直线OA平行,则易得P.
因为lOA:x-y=0,所以点P到直线OA的距离d==,所以S△OPA=××=,所以阴影区域的面积大于8×=4,故D正确.
11.BCD　圆x2+y2-4x+2y-20=0即(x-2)2+(y+1)2=25,设其圆心为E,则E(2,-1),半径r=5,
由三角形中两边之和大于第三边可知|EB|+|EO|≥|BO|,又|EB|=5,|EO|==,所以当BO的长度取最大值时,圆心E与B,O共线且在它们之间,此时|BO|=r+=5+,故A错误.
由圆的性质知当EO⊥AC,即圆心E到直线AC的距离最大时,弦AC的长度取最小值,此时圆心E到直线AC的距离为|EO|=,故|AC|=2×=4,故B正确.
设H,G,F分别是BC,CD,AD的中点,连接MF,MH,HG,GF,FH,MG,则MF∥HG∥BD,MH∥FG∥AC,且|MF|=|HG|=,|MH|=|FG|=,又AC⊥BD,所以四边形MHGF为矩形,而|FH|2=|MF|2+|MH|2=,
设圆心E(2,-1)到直线AC,BD的距离分别为d1,d2,则d1,d2∈[0,]且+=5,所以+++=2×25=50,则=45,故|FH|=3,所以点M在以|FH|=3为直径,HF,MG的交点为圆心的圆上,故C正确.
由上述分析知|BD|2+|AC|2=180≥2|BD|·|AC|,则|BD|·|AC|≤90,当且仅当|BD|=|AC|=3时取等号,故四边形MHGF的面积为|MF|·|MH|=≤,其最大值为,故D正确.
12.答案　
解析　由解得把(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)与原点之间的距离d===≥,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于.
13.答案　
解析　∵·=0,∴PF2⊥F1F2,故可设P(c,n),将P(c,n)代入双曲线方程,得n=±.易得△F1OH∽△F1PF2,∴=,又|OH|=m|OF1|,|PF2|=,|PF1|=2a+,∴=,∴2a2m+b2m=b2,整理得=.∵e=,∴e2==1+=1+=,解得m=.
14.答案　-1
解析　易得F(1,0).
因为点M在抛物线y2=4x上,且不与原点重合,所以设M(t2,2t)(t≠0),则过M点的切线方程为2ty=4×,即ty=x+t2.
因为直线ON与直线l垂直,所以直线ON的方程为y=-tx.
当t≠±1时,直线FM的方程为=,即=.
由得A.
由得·x=2,所以(x-1)2+y2=1(x≠1).
当t=1时,直线ON:y=-x,直线FM:x=1,此时A(1,-1);
当t=-1时,直线ON:y=x,直线FM:x=1,此时A(1,1).
点(1,-1),(1,1)都在圆(x-1)2+y2=1上,所以点A的轨迹为圆,其方程为(x-1)2+y2=1.又|BF|==,所以-1≤|AB|≤+1.
故|AB|的最小值为-1.
15.解析　易得圆C的圆心为C(1,2),半径r=5.(1分)
(1)由题意得C(1,2)到直线l的距离为=,解得m=±.(4分)
(2)证明:方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,
∴解得∴直线l恒过点(3,1),记为P.(6分)
∵|PC|==<5,∴点P在圆内,
∴无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点.(8分)
(3)当直线l所过的定点为弦的中点,即l⊥PC时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时最短弦长为2=4.(11分)
∵kPC==-,∴kl=2,∴直线l:y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.(13分)
16.解析　(1)证明:取DM的中点O,连接OA,OE.
由题意得△EMD是边长为2的等边三角形,△ADM是以AD,AM为腰的等腰三角形,且AD=AM=,所以OE⊥DM,OA⊥DM,OA=3,OE=,所以AO2+OE2=AE2,所以OA⊥OE.(3分)
又OE∩DM=O,OE,DM 平面CDEF,所以OA⊥平面CDEF.(4分)
因为OA 平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面CDEF.(5分)
(2)以O为坐标原点,OE,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,3),E(,0,0),M(0,1,0),B(0,2,3),F(,2,0),所以=(,-2,-3),=(,0,-3),=(-,1,0).(7分)
设平面AEM的一个法向量为n=(x,y,z),
则即取z=1,得n=(,3,1).(8分)
设平面BEM的一个法向量为m=(a,b,c),
则取a=,得m=(,3,-1).(9分)
所以cos==,所以sin=,
所以二面角A-EM-B的正弦值为.(11分)
(3)由题意得点N在以DM为直径的圆上,所以当线段AN的长最小时,点N在AO与圆的交点处,此时N(0,0,1).(13分)
易得=(-,0,1),=(,0,-3).
设直线EN与直线BF所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|==,所以直线EN与直线BF所成角的余弦值为.(15分)
17.解析　(1)由题意得所以(3分)
所以椭圆C的标准方程为+=1.(5分)
(2)设P(x0,y0),Q(m,n),
则=|F1F2|·|y0|=×2×|y0|=|y0|.(7分)
又=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·|n|=(2a+2c)·|n|=4|n|,
且易知ny0>0,所以n=,所以Q.(9分)
易得y0∈[-2,0)∪(0,2],x0∈(-3,3),|PF1|====3+,
所以|PF2|=6-|PF1|=6-=3-.(11分)
设圆Q分别切PF1,PF2,F1F2于点E,F,G,连接QF,QE,QG,则QG⊥x轴.
由切线长定理得|PE|=|PF|,|F1E|=|F1G|,|F2G|=|F2F|.
因为|PF1|+|F1F2|-|PF2|=(|PE|+|F1E|)+(|F1G|+|F2G|)-(|PF|+|F2F|)=2|F1G|,
所以|PF1|+|F1F2|-|PF2|=+2-=2+=2|F1G|,
所以|F1G|=1+=m+1,所以m=,所以Q.(13分)
所以|QM|==
===
=≤,当且仅当y0=-2时,等号成立,所以|QM|的最大值为.(15分)
18.解析　(1)易得圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为2;圆C2的圆心为C2(2,0),半径为2.
设P(x,y)(y≠0),则过点P所作圆C1的切线长为,过点P所作圆C2的切线长为,(3分)
所以=·,两边平方并化简,得x2+y2+6x=0,所以C的方程为x2+y2+6x=0(除去点(0,0)).(5分)
(2)①当直线l1的斜率不存在时,直线l2与C只有一个交点,不符合题意.(6分)
当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的斜率为k(k≠0),则直线l2的斜率为-,直线l1的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.
圆心C(-3,0)到直线l1的距离d1=,所以|AB|=2=2=2.(8分)
用-替换k,得|DE|=2=2.(9分)
所以S四边形ADBE=·|AB|·|DE|=×2×2
=2×≤8++9-=17,当且仅当8+=9-,即k=±1时,等号成立,所以四边形ADBE的面积的最大值为17.(11分)
②证明:由得(1+k2)x2+(4k2+6)x+4k2=0,
所以xA+xB=-,xM==-,yM=k(xM+2)=-.
用-替换k,得xN=-=-,yN=-=.(13分)
当k≠±1时,kMN===,
所以直线MN的方程为y-=,即y=x+=,所以直线MN恒过点.(14分)
当k=1时,M,N,此时直线MN恒过点.(15分)
当k=-1时,M,N,此时直线MN恒过点.(16分)
综上,直线MN恒过点.(17分)
19.解析　(1)证明:易得F,所以|PF|==2,整理,得p2+12p-28=0,解得p=2(负值舍去),
所以抛物线的方程为y2=4x.(2分)
易知直线AB的斜率存在,设其方程为y-2=k(x+3).
由得ky2-4y+8+12k=0,
所以k≠0,且Δ=16(-3k2-2k+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=+12,
所以y1y2-12=2(y1+y2).①
易知直线AC的方程为y-y1=x-.
由得y2-4y+4y1-=0,所以Δ1=16-4(4y1-)>0.
设C(x3,y3),则y1+y3=4.②
由①②可得(4-y3)y2-12=2(4-y3+y2),即2(y2+y3)=y2y3+20.③(5分)
若直线BC的斜率不存在,则y2+y3=0,代入③,得=20,
所以x3==5,所以直线BC的方程为x=5.
若直线BC的斜率存在,则kBC==,所以直线BC的方程为y-y2=,即4x-(y2+y3)y+y2y3=0,将③代入,得4x-(y2+y3)y+2(y2+y3)-20=0,即(y2+y3)(2-y)+4(x-5)=0,即直线BC过定点(5,2).
综上,直线BC过定点(5,2).(8分)
(2)由(1)知Q(5,2).易知S1=S△PBQ-S△PAQ=|PQ|·|y2-2|-|PQ|·|y1-2|=|PQ|·|y1-y2|=×8×|y1-y2|=4|y1-y2|,
S2=|PQ|·|y2-y3|=×8×|y2-y3|=4|y2-y3|,
由(1)知,y1+y3=4,所以S2=4|y1+y2-4|.(11分)
由(1)知y1+y2=,y1y2=+12,
所以|y1-y2|==.
由k≠0,且Δ=16(-3k2-2k+1)>0,可得-1所以===.(14分)
令k-1=u,t=,所以===.
因为-1所以∈(0,1),所以的取值范围为(0,1).(17分)