【突破课堂】期末考试综合检测卷(一)--26版高中同步达标检测卷人教B版数学选必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末考试综合检测卷(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:ax+(1-a)y+2=0,设甲:l1⊥l2,乙:a=2,则(　　)
A.甲是乙的充分不必要条件　　　　B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件　　　　D.甲是乙的既不充分也不必要条件
2.与双曲线-=1有共同渐近线,且经过点(2,4)的双曲线的虚轴长为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　
C.2　　　　D.4
3.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SA,BC的中点,点G在线段EF上,且满足=,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c　　　　B.a+b+c
C.a+b+c　　　　D.a-b+c
4.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是2,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是(　　)
A.内切　　　　B.相离　　　　
C.外切　　　　D.相交
5.已知直线x+y+1=0分别与x轴,y轴交于点A,B,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP的面积的取值范围是(　　)
A.　　　　B.[1,5]　　　　
C.　　　　D.
6.已知抛物线C:y2=4x上一点P(x0,y0),点A(3,),则+2|PA|的最小值是(　　)
A.10　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C上存在一点P(不是顶点),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(,+∞)　　　　
C.(1,]　　　　D.(,2)
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面ABCD内一动点Q满足|QA|=2|QB|,当三棱锥Q-DD1A的体积取最大值时,该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A.24π　　　　B.27π　　　　C.54π　　　　D.56π
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知直线l:mx-y+2+m=0和圆C:(x-1)2+(y-2)2=9相交于M,N两点,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过定点(-1,2)
B.|MN|的最小值为3
C.·的最小值为-9
D.若圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,则m=
10.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,则以下说法正确的是(　　)
A.△F1PF2的周长为6
B.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为
C.椭圆C上存在两点,使得∠F1PF2=90°
D.+的最小值为
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=AB=2,AB⊥AC,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且=,则下列说法正确的是(　　)
A.ED∥平面ACC1A1
B.该三棱柱外接球的表面积为68π
C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为
D.二面角A-EC-D的余弦值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若直线l:mx+ny-1=0(m,n>0)始终平分圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的周长,则+的最小值为　　　　.
13.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE=　　　　,点E的轨迹的长度为　　　　.
14.已知直线l1:mx-y-3m+1=0与直线l2:x+my-3m-1=0相交于点E,其轨迹记为曲线C1,曲线C2的方程为(x+1)2+(y+1)2=9,点M,N分别在曲线C1,C2上运动,点P在直线l上,若直线l经过点Q(2,-4),且与两曲线C1,C2的公共弦所在的直线垂直,则|PM|+|PN|的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角E-AC-B的正弦值;
(3)求点D到平面ACE的距离.
16.(15分)以双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆,与C的一条渐近线切于点Q.
(1)求双曲线C的标准方程及其离心率;
(2)已知点M,N分别是双曲线C的左、右顶点,过右焦点F作一条斜率为k(k≠0)的直线l,与双曲线交于点A,B,记直线MA,NB的斜率分别为k1,k2.求的值.
17.(15分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=BD=,AD=2,E为AD的中点,将△ABE沿BE翻折至△PBE,使得平面PBE⊥平面BCDE,M是线段PC(含端点)上的一个动点.
(1)证明:BD⊥平面PCE;
(2)当△BDM的面积最小时,求平面BDM与平面PBE夹角的余弦值.
18.(17分)在平面直角坐标系中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知双曲线H:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,椭圆E以A1,A2为焦点,以F1F2为长轴.
(1)求椭圆E的离心率e1;
(2)设椭圆E交y轴于B1,B2两点,过B1的直线l分别交双曲线H的左、右两支于C,D两点,求△B2CD的面积的最小值;
(3)设点M(m,n)满足m2<4n2.过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线l1,l2分别交H于点P,Q.过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明:为定值,并求出此定值.
答案与解析
1.B　当l1⊥l2时,a(a-1)+2(1-a)=0,解得a=2或a=1,所以甲是乙的必要不充分条件.
2.D　设与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0).∵双曲线-=λ经过点(2,4),∴λ=-=-1,∴所求双曲线的方程为-=1,∴虚轴长2b=4.
3.C　如图,连接SF,则=+=+=+(-)=+-=+×(+)=++,即=a+b+c.
4.D　☉O1的标准方程为+y2=(a>0),则圆心O1,半径r1=,∴圆心O1到直线x-y=0的距离d==,∴a=4,∴O1(2,0),r1=2,又圆O2的圆心为O2(4,2),半径r2=1,∴☉O1与☉O2的圆心距为2,且2-1<2<2+1,即两圆相交.
5.A　易得A(-1,0),B(0,-1),所以|AB|=.
由圆的方程,得圆心为(2,0),半径为.
圆心(2,0)到直线x+y+1=0的距离d==>,
所以点P到直线x+y+1=0的距离的最大值为+=,最小值为-=,所以△ABP的面积的最大值为××=,最小值为××=.所以△ABP的面积的取值范围是.
6.B　由题意得=4x0,所以=x0,所以+2|PA|=2=2(x0+|PA|)=2(x0+1+|PA|)-2.
易得抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0)(记为F),准线方程为x=-1,
连接PF,则|PF|=x0+1,故+2|PA|=2(x0+1+|PA|)-2=2(|PF|+|PA|)-2.
连接AF,易知|PF|+|PA|≥|AF|,当A,P,F三点共线(P在A,F之间)时,|PF|+|PA|取得最小值,为|AF|==5,
所以+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2的最小值为2×5-2=8.
7.D　由题意得点P在双曲线的右支上,设PF1与y轴交于Q,连接QF2.
由对称性可知∠QF1F2=∠QF2F1,又∠PF2F1=3∠PF1F2,所以∠PF2Q=∠PQF2=2∠PF1F2,所以|PQ|=|PF2|.
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.
在Rt△QOF1中,|QF1|>|OF1|,所以2a>c,所以e=<2.
因为∠PF2F1=3∠PF1F2,三角形的内角和为180°,所以∠PF1F2<=45°,所以cos∠PF1F2=>cos 45°,即>,所以e=>.
综上,e∈(,2).
8.C　如图1,以点D为原点建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(3,3,0),
设Q(x,y,0),由|QA|=2|QB|,可知=2,整理得(x-3)2+(y-4)2=4,所以点Q的轨迹是平面ABCD内,以(3,4)为圆心,2为半径的圆,如图2,点Q到平面DD1A1的距离的最大值为6,此时点Q在AB的延长线上,且BQ=3,所以QA⊥平面DD1A1,QA=6,
易得等腰直角三角形D1DA的外接圆的半径r=,
所以三棱锥Q-DD1A的外接球的半径R===,
所以当三棱锥Q-DD1A的体积取最大值时,三棱锥外接球的表面积S=4πR2=54π.
　　
9.AC　对于A,对l:mx-y+2+m=0变形,得m(x+1)-y+2=0.
由得x=-1,y=2,所以直线l过定点(-1,2),故A正确.
对于B,易得圆C的圆心为C(1,2),半径为3,点(-1,2)与圆心(1,2)的距离为2,所以|MN|的最小值为2×=2,故B错误.
对于C,·=||·||·cos<,>=9·cos<,>,所以当<,>=π时,·取得最小值-9,故C正确.
对于D,若圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,则圆心到直线l的距离为,所以==,整理得16m2=9m2+9,即7m2=9,所以m=±,故D错误.
10.ABD　由椭圆C:+=1,得a2=4,b2=3,则c2=1,所以a=2,c=1.
对于A,△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6,故A正确.
对于B,在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,则4=16-3|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=4,所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=,故B正确.
对于C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,∠F1PF2最大,此时|PF1|=|PF2|=2=|F1F2|,所以△F1PF2为等边三角形,故∠F1PF2的最大值为60°,所以椭圆C上不存点P,使得∠F1PF2=90°,故C错误.
对于D,+=(|PF1|+|PF2|)
=≥=,
当且仅当=,即|PF2|=2|PF1|=时取等号,
所以+的最小值为,故D正确.
11.AD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BAA1B1是矩形,所以BB1∥AA1,因为=,所以ED∥BB1∥AA1,又ED 平面ACC1A1,AA1 平面ACC1A1,所以ED∥平面ACC1A1,故A正确;
因为AA1=AC=AB=2,所以AB=3,因为AB⊥AC,所以BC==,易知△B1BC为直角三角形,所以B1C==,易知B1C是三棱柱外接球的直径,所以该三棱柱外接球的表面积为4π×=17π,故B错误;
因为AA1∥BB1,所以异面直线B1C与AA1所成的角为∠BB1C,在Rt△B1BC中,BB1=2,BC=,所以tan∠BB1C==,故C错误;
连接AB1,易知二面角A-EC-D即锐二面角A-B1C-B,
以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),B1(3,0,2),所以=(3,0,2),=(-3,2,0),=(-3,2,-2),
设平面AB1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则即
令x1=2,则y1=0,z1=-3,所以n=(2,0,-3),
设平面BB1C的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则即
令x2=2,则y2=3,z2=0,所以m=(2,3,0),
所以cos==,
故二面角A-EC-D的余弦值为,故D正确.
12.答案　8
解析　由题意得直线l经过圆心(1,2),故m+2n=1,m,n>0,
所以+=(m+2n)=4++≥4+2=8,
当且仅当=,即m=,n=时,等号成立.
13.答案　2;
解析　根据题意建立空间直角坐标系,如图所示.
设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0),所以=(0,4,-2).
当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则=(-m,t-2,0),
又PC⊥DE,所以·=4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).
当E为AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',连接DE',因为PC⊥DE,PC⊥EE',又DE∩EE'=E,DE,EE' 平面DEE',所以PC⊥平面DEE',
所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.
设=λ=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以=(0,4λ-2,2-2λ),由⊥得4(4λ-2)-2(2-2λ)=0,解得λ=,所以=,所以|EE'|==.
14.答案　3--3
解析　由题知l1:mx-y-3m+1=0,即m(x-3)=y-1,l2:x+my-3m-1=0,即m(y-3)=-x+1,
易知两直线互相垂直,l1,l2分别过定点(3,1)(记为A),(1,3)(记为B),可得曲线C1为以|AB|为直径,AB的中点为圆心的圆,且x≠3,y≠3,所以C1:(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3且y≠3),又C2:(x+1)2+(y+1)2=9,所以两式相减得公共弦所在直线的方程为6x+6y-13=0,
又直线l与公共弦所在的直线垂直,且直线l过点Q(2,-4),
所以直线l的方程为(x-2)-[y-(-4)]=0,即x-y-6=0,
设点C1(2,2)关于直线l的对称点为R(a,b),所以
解得a=8,b=-4.设圆C1,C2的半径分别为r1,r2,所以|PM|+|PN|≥|PN|+|PC1|-r1=|PN|+|PR|-r1≥|RC2|-r2-r1=-3-=3-3-,当且仅当点P为RC2与直线l的交点时,等号成立,
所以|PM|+|PN|的最小值为3--3.
15.解析　(1)证明:因为BF⊥平面ACE,AE 平面ACE,
所以BF⊥AE.(1分)
因为二面角D-AB-E为直二面角,所以平面ABCD⊥平面ABE.
又CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB 平面ABCD,
所以CB⊥平面ABE,AE 平面ABE,所以CB⊥AE.(3分)
又BF∩CB=B,BF,CB 平面BCE,所以AE⊥平面BCE.(4分)
(2)取AB的中点O,连接OE,以O为原点,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过点O且平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.(5分)
因为AE⊥平面BCE,BE 平面BCE,所以AE⊥BE.
在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.
所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则=(1,1,0),=(0,2,2).
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),
则即解得令x=1,则y=-1,z=1,
所以平面ACE的一个法向量是n=(1,-1,1).(8分)
易得平面ACB的一个法向量=(1,0,0).
cos<,n>===,所以sin<,n>=,
所以二面角E-AC-B的正弦值为.(10分)
(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以=(0,0,2),(11分)
所以点D到平面ACE的距离为==.(13分)
16.解析　(1)易知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为圆F与y=x切于点Q,所以=①.(1分)
设F(c,0),则kFQ×=-1,即×=-1②.(3分)
又c2=a2+b2③,所以由①②③解得c=3,a=2,b=,(4分)
则双曲线C的标准方程为-=1,离心率e==.(6分)
(2)由(1)得M(-2,0),N(2,0),F(3,0),
所以直线l的方程为y=k(x-3).(8分)
由消去y并整理,得(5-4k2)x2+24k2x-36k2-20=0,
所以5-4k2≠0且Δ=+4×(5-4k2)(36k2+20)>0,解得k≠±.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-=,x1x2=,(12分)
所以======-.(15分)
17.解析　(1)证明:由AB=BD=,E为AD的中点,得BE⊥AD,则BE⊥PE,又平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,PE 平面PBE,故PE⊥平面BCDE,又BD 平面BCDE,故PE⊥BD,(3分)
由AB=BD=,AD=2,得BE==,DE=1,BC=AD=2,
由BE⊥AD,得BE⊥BC,则∠DEB=∠EBC,
又=,故△DEB与△EBC相似,故∠ECB=∠DBE,
则∠ECB+∠CBD=∠DBE+∠CBD=∠EBC=90°,故EC⊥BD,(6分)
又PE⊥BD,PE∩EC=E,PE,EC 平面PCE,故BD⊥平面PCE.(7分)
(2)由(1)可得EP,EB,ED两两垂直,故以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则有E(0,0,0),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则=(-,1,0),=(,2,-1),=(,0,-1).(9分)
设=λ=(λ,2λ,-λ),λ∈[0,1],
则=-=(λ-,2λ,1-λ),
点M到直线BD的距离d=
=
=
=,
因为BD=,所以当点M到直线BD的距离d最小时,△BDM的面积最小,此时λ==,则=,(11分)
设平面BDM的一个法向量为m=(x,y,z),
则
取x=,则y=2,z=-1,故m=(,2,-1),(12分)
由y轴⊥平面PBE,得平面PBE的一个法向量为(0,1,0),记为n,(13分)
则|cos|==,
即平面BDM与平面PBE夹角的余弦值为.(15分)
18.解析　(1)原点到直线l的距离为=2,(2分)
故圆O的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,连接OQ,如图①所示,
则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=≥sin∠ONP=,(5分)
∴|ON|≤2.∵点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,
∴+=+(3-x0)2≤8,解得≤x0≤.(8分)
　　
(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.如图②所示:
当直线a的斜率存在时,设直线a:y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
∴x1+x2=-,x1x2=.(10分)
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0.(11分)
又M(4,0),∴+=0,即2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,
∴2k×+(m-4k)-8m=0,化简得m=-k.
∴直线a:y=kx-k过定点S(1,0).(14分)
当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线过S(1,0)时满足∠AMO=∠BMO.(16分)
综上,存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.(17分)
19.解析　(1)不妨设椭圆E的方程为+=1,焦距为2c1,
由题知椭圆E的左、右顶点分别为F1(-,0),F2(,0),左、右焦点分别为A1(-2,0),A2(2,0),所以a1=,c1=2,b1==1,
则椭圆E的离心率e1===.(3分)
(2)不妨设B1在B2的上方,则B1(0,1),B2(0,-1),|B1B2|=2,易知直线CD的斜率存在,
设直线CD的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
因为双曲线-y2=1的渐近线的斜率的绝对值为,过点B1的直线l分别交双曲线H的左、右两支于C,D两点,
所以直线CD的斜率k满足-联立消去y并整理得(1-4k2)x2-8kx-8=0,
此时Δ=(-8k)2+32(1-4k2)=32(1-2k2)>0,
易知|x1-x2|===,(6分)
所以=+=|B1B2|·|x1-x2|=,(7分)
不妨设f(k)=,-不妨令t=1-4k2,则k2=,0综上可得,△B2CD的面积的最小值为4.(9分)
(3)易知双曲线-y2=1的渐近线方程为x±2y=0,
当m=0时,由对称性得P,Q关于y轴对称,S,T关于y轴对称,
所以M为ST的中点,此时=1.(10分)
下面证明当m≠0时,=1,即证M为ST的中点,
因为点M(m,n)满足m2<4n2,
所以m-2n≠0,m+2n≠0,n≠0,不妨设m>0,
当x=m时,代入x-2y=0,可得y=m,易知m所以此时点M(m,n)在直线y=x的左上方,
同理可证得,点M(m,n)在直线y=-x的左下方,故点M(m,n)在两渐近线y=±x所夹区域的上方或下方(不含y轴),
不妨设点M(m,n)在上方区域,P在H的左支上,则kMQ=-,kMP=,(12分)
则直线MP的方程为y-n=(x-m),直线MQ的方程为y-n=-(x-m),设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
联立可得此时点P的坐标满足同理点Q的坐标满足
则kPQ==·=·=,(14分)
则直线ST的方程为y-n=(x-m),不妨设T在渐近线y=x上.
联立消去y并整理得2nx-4n2=mx-m2,
则xT==2n+m,(16分)
同理得xS=m-2n,所以xT+xS=2m,yT+yS=2n,
则点M为ST的中点,故为定值1.
综上,为定值,且该定值为1.(17分)