【突破课堂】第二章 直线和圆的方程--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修1
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| 名称 | 【突破课堂】第二章 直线和圆的方程--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 11:34:34 | ||
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文档简介
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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第二章 直线和圆的方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点A(1,0),B(-1,2),则直线AB的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.若ab<0,bc>0,在同一平面直角坐标系中作出直线ax-by+b=0与直线bx-cy-b=0,则下列各图中符合上述两条直线的是( )
3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞.如图,某园林中的圆弧形门洞高2.5 m,地面入口宽1 m,则该门洞的半径为( )
A.1.2 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.5 m
4.过直线y=2x-1上的点P作圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于直线y=2x-1对称时,点P的坐标为( )
A.(1,1) B. C. D.
5.已知点P在直线l:x-y-1=0上运动,点A(0,1),B(3,1),则|PA|-|PB|的最大值为( )
A. B.2 C. D.1
6.已知直线l1:kx-y=0与直线l2:x+ky-k-1=0相交于点P,若点P始终在圆(x-a)2+(y-a)2=2内,则a的取值范围为( )
A. B.(-2,2) C. D.(0,1)
7.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0关于直线ax+by+3=0对称,过点P(a,b)作圆C的切线,切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5 C.3+ D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知圆O1:x2+y2-4y=0和圆O2:x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A,B,点M在圆O1上,点N在圆O2上,则( )
A.直线AB的方程为x=
B.线段AB的中垂线方程为y=2
C.|AB|=
D.点M与点N之间的距离的最大值为8
10.已知平面上一点M(5,0),若某条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
11.已知曲线E:(x2+y2-2)2=4+8xy,点P(x0,y0)为曲线E上任意一点,则( )
A.曲线E由两个圆构成
B.+的最大值为2
C.的取值范围为
D.直线y=x+2与曲线E有且仅有3个交点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若关于x的方程x+-2m=0有解,则m的取值范围是 .
13.已知直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,AB为圆C的直径,若在直线l上存在点P使得·=1,则直线l的斜率k的取值范围是 .
14.如图所示,为保护河上古桥OA,相关部门规划要建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC所在直线相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80 m.经测量,点A位于点O正北方向相距60 m处,点C位于点O正东方向相距170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.当圆形保护区的面积最大时,|OM|= .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知正方形ABCD的中心为点E(0,2),点A在第三象限内,AB边所在直线的方程是x-2y-1=0.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程.
16.(15分)已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
17.(15分)已知直线l:x+y-1=0.
(1)若直线l1:(2m+1)x+(m2-2)y=3m+2与直线l平行,求m的值;
(2)若圆C:x2+y2+4x+4y+5=0关于直线l的对称图形为曲线Γ,直线l2过点P(2,2),求曲线Γ截直线l2所得弦的长的最小值.
18.(17分)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(-1,-1),B(2,-1),以原点O为圆心的圆与线段AB相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l:2x+y+c=0与圆O相交于M,N两点,且OM⊥ON,求c的值;
(3)在直线AO上是否存在异于A点的定点Q,使得对圆O上任意一点P,都有=λ(λ为常数) 若存在,求出点Q的坐标及λ的值;若不存在,请说明理由.
19.(17分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别是|AC|和|BD|(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
答案全解全析
1.C 因为点A(1,0),B(-1,2),所以直线AB的斜率k==-,
设直线AB的倾斜角为α,0°≤α<180°,可得k=tan α=-,所以α=120°.
2.C 由ab<0,得直线ax-by+b=0的斜率<0,B不符合要求;
由bc>0,得直线bx-cy-b=0的斜率>0,且易知其在x轴上的截距为1,A,D不符合要求;
C中图形符合要求.
3.B 设半径为R m,由题可得(2.5-R)2+=R2,解得R=1.3.
4.D 圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的圆心为C(-2,3),半径r=1.
由题意知l1,l2关于直线CP对称.
因为直线l1,l2关于直线y=2x-1对称,所以直线CP与直线y=2x-1垂直,
因此直线CP的方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0,
由解得所以符合题意的点P的坐标为.
5.A 设A点关于直线l的对称点为C(a,b),连接PC,BC,
则解得因此C(2,-1),
从而|PA|-|PB|=|PC|-|PB|≤|BC|==,当且仅当P,B,C三点共线时等号成立,所以|PA|-|PB|的最大值为.
6.D 由题意知直线l1过定点(0,0),直线l2过定点(1,1),且l1⊥l2,记O(0,0),A(1,1),则点P的轨迹是以线段OA为直径的圆,
其方程为+=,
因为点P始终在圆(x-a)2+(y-a)2=2内,所以两圆内含,
所以两圆心间的距离d<-,即<-,解得07.C 圆C:x2+y2+6x-4y+9=0即(x+3)2+(y-2)2=4,可得其圆心为C(-3,2),半径r=2,
由圆C关于直线ax+by+3=0对称,知圆心C(-3,2)在直线ax+by+3=0上,
所以-3a+2b+3=0,即3a-2b=3,所以P(a,b)在直线3x-2y=3上,如图,
可知cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2×=1-,
易知(a+3)2+(b-2)2表示C(-3,2)到直线3x-2y=3上点的距离的平方,当此距离的平方取得最小值时,cos∠APB取得最小值.
当直线PC与直线3x-2y=3垂直时,(a+3)2+(b-2)2取得最小值,为==,
所以cos∠APB的最小值为1-=.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设|O1M|=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而|MA|2=|AO1|2-|O1M|2=36-x2,|PM|2=|NO1|2=|OO1|2-|NO|2=17-(x+1)2,
∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,
且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,
设|O1M'|=x',则|BM'|=,|M'P|=,
∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈[0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.
9.ABD 依题意得圆O1:x2+(y-2)2=4,圆O2:(x-3)2+(y-2)2=9,
因此圆O1的圆心为O1(0,2),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(3,2),r2=3,且|O1O2|=3.
对于A,由题知两圆相交,将两圆方程作差,可得x=,即直线AB的方程为x=,因此A正确;
对于B,线段AB的中垂线经过圆心O1和O2,则线段AB的中垂线方程为y=2,因此B正确;
对于C,圆心O1(0,2)到直线x=的距离为,所以|AB|=2=,因此C错误;
对于D,点M与点N之间的距离的最大值为r1+r2+|O1O2|=8,因此D正确.
10.BC 所给直线上的点与定点M的距离能否为4,可通过求各直线上的点与点M的距离的最小值,即点M到直线的距离d来分析.
A中,因为d==3>4,所以直线上不存在与点M的距离等于4的点,故直线y=x+1不是“切割型直线”;
B中,因为d=2<4,所以在直线上可以找到点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=2是“切割型直线”;
C中,因为d==4,所以在直线上存在一点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=x是“切割型直线”;
D中,因为d==>4,故直线上不存在点P与点M的距离等于4,故直线y=2x+1不是“切割型直线”.
11.AC 对于A,由(x2+y2-2)2=4+8xy,得(x2+y2)2-4(x2+y2)+4=4+8xy,
即(x2+y2)2-4(x+y)2=0,即(x2+y2+2x+2y)(x2+y2-2x-2y)=0,
所以x2+y2+2x+2y=0或x2+y2-2x-2y=0,
即(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2,
所以曲线E由圆心分别为(-1,-1),(1,1),半径均为的两个圆构成,所以A正确;
对于B,+表示点P(x0,y0)到原点(0,0)的距离的平方,其中P(x0,y0)在曲线E上,
不妨记M(-1,-1),N(1,1),则+的最大值为(|NO|+)2=(2)2=8,所以B错误;
对于C,如图所示,设A(-4,-2),易知过点A(-4,-2)且与圆N相切的直线的斜率存在,设其方程为y=k(x+4)-2,
则点N到切线的距离d1==,解得k=1或k=,
设两条切线与圆N分别切于点C,D,如图,不妨令直线AC的斜率为1,则直线AC的方程为y=x+2,
易知过点A且与圆M相切的直线的斜率存在,设其方程为y=k'(x+4)-2,则点M到切线的距离d2==,解得k'=1或k'=-,
又表示的是点P(x0,y0)与点(-4,-2)连线的斜率,其中P(x0,y0)在曲线E上,
所以的取值范围为,所以C正确;
对于D,由C中分析可知直线y=x+2与圆M,N均相切,
因此直线y=x+2与曲线E有且仅有2个交点,所以D错误.
12.答案 [-1,]
解析 由4-x2≥0,可得-2≤x≤2.将方程x+-2m=0整理得=-x+2m,
关于x的方程x+-2m=0有解,即直线y=-x+2m与曲线y=有交点,
由y=得x2+y2=4(y≥0),因此曲线y=是以原点为圆心,2为半径且位于x轴上方的半圆(包含与x轴的两个交点),如图所示:
当直线y=-x+2m过点(-2,0),即m=-1时,直线y=-x+2m与半圆有一个交点;
当直线过点(2,0),即m=1时,直线y=-x+2m与半圆有两个交点;
当直线y=-x+2m与半圆相切时,
圆心(0,0)到直线y=-x+2m的距离d==2,解得m=(m=-舍去),
结合图形,可知m的取值范围是[-1,].
13.答案 (-,-1]∪[1,)
解析 易得圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1.
由直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,可得>1,解得-设P(m,n),由题意可得+=2,两边同时平方,可得++2·=4,即2[m2+(n-1)2+1]+2=4[m2+(n-1)2],化简得m2+(n-1)2=2,故P在直线l上且在圆x2+(y-1)2=2上,则直线l与圆x2+(y-1)2=2有交点,则≤,解得k≥1或k≤-1.
综上可得,k∈(-,-1]∪[1,).
14.答案 10
解析 如图所示,设新桥BC所在直线与☉M切于点Q,连接QM并延长,交CO的延长线于点P,
∵∠POM=∠PQC=90°,∴∠PMO=∠BCO.
由tan∠BCO=,
知tan∠PMO=,sin∠BCO=,
设|OM|=x,则|OP|=x,|PM|=x,
∴|PC|=|PO|+|OC|=x+170,|PQ|=|PC|·sin∠QCP=x+136,
设☉M的半径为R m,则R=|MQ|=x+136-x=136-x.
∵A,O到☉M上任一点的距离均不小于80 m,则R-|AM|≥80,R-|OM|≥80,即136-x-(60-x)≥80,136-x-x≥80,解得10≤x≤35.
∴当且仅当x=10时,R取到最大值,即圆形保护区的面积最大.
∴当圆形保护区的面积最大时,|OM|=10.
15.解析 (1)正方形ABCD中,AB⊥AD,因为AB边所在直线的方程为x-2y-1=0,所以可设AD边所在直线的方程为2x+y+c=0,(2分)
因为正方形ABCD的中心为点E(0,2),所以点E到直线AB和直线AD的距离相等,
所以=,解得c=3或c=-7,(5分)
经验证c=-7时,点A不在第三象限内,(6分)
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0.(7分)
(2)联立解得即A(-1,-1),(9分)
又E(0,2),故kAE==3,即kAC=3,(11分)
所以对角线AC所在直线的方程为y=3x+2.(13分)
16.解析 (1)因为圆心C在直线l:y=2x-4上,且在直线y=x-1上,所以圆心C为两直线的交点,
联立解得所以C(3,2).(3分)
易知切线的斜率存在,设其方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,
根据圆心到直线kx-y+3=0的距离等于半径1,可得=1,解得k=0或k=-,(6分)
故切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(7分)
(2)根据题意可得圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.(8分)
设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴=2,化简可得x2+(y+1)2=4,
故点M在以(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,记D(0,-1).(11分)
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,(13分)
整理得5a2-12a+8≥0且5a2-12a≤0,解得0≤a≤.(15分)
17.解析 (1)因为直线l1:(2m+1)x+(m2-2)y=3m+2与直线l平行,
所以2m+1=m2-2,即m2-2m-3=0,(3分)
解得m=-1或m=3,(4分)
当m=-1时,l1:x+y-1=0,与l重合,故舍去;(5分)
当m=3时,l1:7x+7y=11,与l平行,满足题意,
所以m=3.(7分)
(2)圆C:x2+y2+4x+4y+5=0即(x+2)2+(y+2)2=3,其圆心为C(-2,-2),半径r=.(9分)
设点C关于直线l:x+y-1=0的对称点为T(a,b),
则解得a=b=3,即T(3,3),(12分)
易知圆C关于直线l的对称图形是圆T,其半径r'=r=,
则圆T:(x-3)2+(y-3)2=3,(13分)
易知点P(2,2)在圆T内,
所以当TP⊥l2时,圆T截直线l2所得弦的长最小,
又|TP|=,故弦长的最小值为2=2=2.(15分)
18.解析 (1)由A(-1,-1),B(2,-1),可知线段AB与x轴平行,(2分)
又线段AB与圆O相切,
所以圆O的半径为1,因此圆O的方程为x2+y2=1.(4分)
(2)由于OM⊥ON,所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=2,即|MN|=,(6分)
易知三角形OMN是等腰直角三角形,所以O到直线MN的距离为,(8分)
所以=,解得c=±.(10分)
(3)易得直线AO的方程为x-y=0,假设存在符合题意的点Q(a,a),设P(x0,y0),
则λ2==①,(12分)
由于P具有任意性,所以不妨取P(1,0)和P(0,-1),将点P的坐标代入①得,
=λ2=,解得a=-或a=-1(舍去),(14分)
所以λ2==2,解得λ=(负根舍去),
将a=-,λ=代入①得=2,
整理得+=1,则P在圆O上.(16分)
所以存在这样的Q点,其坐标为,此时λ=.(17分)
19.解析 解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,|DE|=|BE|=|AC|=6,|AE|=|CD|=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以|PB|===15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知|AD|==10,
从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,
此时|P1D|=|P1B|sin∠P1BD=|P1B|cos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,|CQ|===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C的右侧,且|CQ|=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)
解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为|BD|=12,|AC|=6,所以|OH|=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,|AB|=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),|PB|==15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|EO|=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,因为|OM|=<=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,设Q(a,9),由|AQ|==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=4+3-(-13)=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)
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高中同步达标检测卷
第二章 直线和圆的方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点A(1,0),B(-1,2),则直线AB的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.若ab<0,bc>0,在同一平面直角坐标系中作出直线ax-by+b=0与直线bx-cy-b=0,则下列各图中符合上述两条直线的是( )
3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞.如图,某园林中的圆弧形门洞高2.5 m,地面入口宽1 m,则该门洞的半径为( )
A.1.2 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.5 m
4.过直线y=2x-1上的点P作圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于直线y=2x-1对称时,点P的坐标为( )
A.(1,1) B. C. D.
5.已知点P在直线l:x-y-1=0上运动,点A(0,1),B(3,1),则|PA|-|PB|的最大值为( )
A. B.2 C. D.1
6.已知直线l1:kx-y=0与直线l2:x+ky-k-1=0相交于点P,若点P始终在圆(x-a)2+(y-a)2=2内,则a的取值范围为( )
A. B.(-2,2) C. D.(0,1)
7.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0关于直线ax+by+3=0对称,过点P(a,b)作圆C的切线,切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5 C.3+ D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知圆O1:x2+y2-4y=0和圆O2:x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A,B,点M在圆O1上,点N在圆O2上,则( )
A.直线AB的方程为x=
B.线段AB的中垂线方程为y=2
C.|AB|=
D.点M与点N之间的距离的最大值为8
10.已知平面上一点M(5,0),若某条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
11.已知曲线E:(x2+y2-2)2=4+8xy,点P(x0,y0)为曲线E上任意一点,则( )
A.曲线E由两个圆构成
B.+的最大值为2
C.的取值范围为
D.直线y=x+2与曲线E有且仅有3个交点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若关于x的方程x+-2m=0有解,则m的取值范围是 .
13.已知直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,AB为圆C的直径,若在直线l上存在点P使得·=1,则直线l的斜率k的取值范围是 .
14.如图所示,为保护河上古桥OA,相关部门规划要建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC所在直线相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80 m.经测量,点A位于点O正北方向相距60 m处,点C位于点O正东方向相距170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.当圆形保护区的面积最大时,|OM|= .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知正方形ABCD的中心为点E(0,2),点A在第三象限内,AB边所在直线的方程是x-2y-1=0.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程.
16.(15分)已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
17.(15分)已知直线l:x+y-1=0.
(1)若直线l1:(2m+1)x+(m2-2)y=3m+2与直线l平行,求m的值;
(2)若圆C:x2+y2+4x+4y+5=0关于直线l的对称图形为曲线Γ,直线l2过点P(2,2),求曲线Γ截直线l2所得弦的长的最小值.
18.(17分)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(-1,-1),B(2,-1),以原点O为圆心的圆与线段AB相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l:2x+y+c=0与圆O相交于M,N两点,且OM⊥ON,求c的值;
(3)在直线AO上是否存在异于A点的定点Q,使得对圆O上任意一点P,都有=λ(λ为常数) 若存在,求出点Q的坐标及λ的值;若不存在,请说明理由.
19.(17分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别是|AC|和|BD|(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
答案全解全析
1.C 因为点A(1,0),B(-1,2),所以直线AB的斜率k==-,
设直线AB的倾斜角为α,0°≤α<180°,可得k=tan α=-,所以α=120°.
2.C 由ab<0,得直线ax-by+b=0的斜率<0,B不符合要求;
由bc>0,得直线bx-cy-b=0的斜率>0,且易知其在x轴上的截距为1,A,D不符合要求;
C中图形符合要求.
3.B 设半径为R m,由题可得(2.5-R)2+=R2,解得R=1.3.
4.D 圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的圆心为C(-2,3),半径r=1.
由题意知l1,l2关于直线CP对称.
因为直线l1,l2关于直线y=2x-1对称,所以直线CP与直线y=2x-1垂直,
因此直线CP的方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0,
由解得所以符合题意的点P的坐标为.
5.A 设A点关于直线l的对称点为C(a,b),连接PC,BC,
则解得因此C(2,-1),
从而|PA|-|PB|=|PC|-|PB|≤|BC|==,当且仅当P,B,C三点共线时等号成立,所以|PA|-|PB|的最大值为.
6.D 由题意知直线l1过定点(0,0),直线l2过定点(1,1),且l1⊥l2,记O(0,0),A(1,1),则点P的轨迹是以线段OA为直径的圆,
其方程为+=,
因为点P始终在圆(x-a)2+(y-a)2=2内,所以两圆内含,
所以两圆心间的距离d<-,即<-,解得0
由圆C关于直线ax+by+3=0对称,知圆心C(-3,2)在直线ax+by+3=0上,
所以-3a+2b+3=0,即3a-2b=3,所以P(a,b)在直线3x-2y=3上,如图,
可知cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2×=1-,
易知(a+3)2+(b-2)2表示C(-3,2)到直线3x-2y=3上点的距离的平方,当此距离的平方取得最小值时,cos∠APB取得最小值.
当直线PC与直线3x-2y=3垂直时,(a+3)2+(b-2)2取得最小值,为==,
所以cos∠APB的最小值为1-=.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设|O1M|=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而|MA|2=|AO1|2-|O1M|2=36-x2,|PM|2=|NO1|2=|OO1|2-|NO|2=17-(x+1)2,
∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,
且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,
设|O1M'|=x',则|BM'|=,|M'P|=,
∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈[0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.
9.ABD 依题意得圆O1:x2+(y-2)2=4,圆O2:(x-3)2+(y-2)2=9,
因此圆O1的圆心为O1(0,2),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(3,2),r2=3,且|O1O2|=3.
对于A,由题知两圆相交,将两圆方程作差,可得x=,即直线AB的方程为x=,因此A正确;
对于B,线段AB的中垂线经过圆心O1和O2,则线段AB的中垂线方程为y=2,因此B正确;
对于C,圆心O1(0,2)到直线x=的距离为,所以|AB|=2=,因此C错误;
对于D,点M与点N之间的距离的最大值为r1+r2+|O1O2|=8,因此D正确.
10.BC 所给直线上的点与定点M的距离能否为4,可通过求各直线上的点与点M的距离的最小值,即点M到直线的距离d来分析.
A中,因为d==3>4,所以直线上不存在与点M的距离等于4的点,故直线y=x+1不是“切割型直线”;
B中,因为d=2<4,所以在直线上可以找到点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=2是“切割型直线”;
C中,因为d==4,所以在直线上存在一点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=x是“切割型直线”;
D中,因为d==>4,故直线上不存在点P与点M的距离等于4,故直线y=2x+1不是“切割型直线”.
11.AC 对于A,由(x2+y2-2)2=4+8xy,得(x2+y2)2-4(x2+y2)+4=4+8xy,
即(x2+y2)2-4(x+y)2=0,即(x2+y2+2x+2y)(x2+y2-2x-2y)=0,
所以x2+y2+2x+2y=0或x2+y2-2x-2y=0,
即(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2,
所以曲线E由圆心分别为(-1,-1),(1,1),半径均为的两个圆构成,所以A正确;
对于B,+表示点P(x0,y0)到原点(0,0)的距离的平方,其中P(x0,y0)在曲线E上,
不妨记M(-1,-1),N(1,1),则+的最大值为(|NO|+)2=(2)2=8,所以B错误;
对于C,如图所示,设A(-4,-2),易知过点A(-4,-2)且与圆N相切的直线的斜率存在,设其方程为y=k(x+4)-2,
则点N到切线的距离d1==,解得k=1或k=,
设两条切线与圆N分别切于点C,D,如图,不妨令直线AC的斜率为1,则直线AC的方程为y=x+2,
易知过点A且与圆M相切的直线的斜率存在,设其方程为y=k'(x+4)-2,则点M到切线的距离d2==,解得k'=1或k'=-,
又表示的是点P(x0,y0)与点(-4,-2)连线的斜率,其中P(x0,y0)在曲线E上,
所以的取值范围为,所以C正确;
对于D,由C中分析可知直线y=x+2与圆M,N均相切,
因此直线y=x+2与曲线E有且仅有2个交点,所以D错误.
12.答案 [-1,]
解析 由4-x2≥0,可得-2≤x≤2.将方程x+-2m=0整理得=-x+2m,
关于x的方程x+-2m=0有解,即直线y=-x+2m与曲线y=有交点,
由y=得x2+y2=4(y≥0),因此曲线y=是以原点为圆心,2为半径且位于x轴上方的半圆(包含与x轴的两个交点),如图所示:
当直线y=-x+2m过点(-2,0),即m=-1时,直线y=-x+2m与半圆有一个交点;
当直线过点(2,0),即m=1时,直线y=-x+2m与半圆有两个交点;
当直线y=-x+2m与半圆相切时,
圆心(0,0)到直线y=-x+2m的距离d==2,解得m=(m=-舍去),
结合图形,可知m的取值范围是[-1,].
13.答案 (-,-1]∪[1,)
解析 易得圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1.
由直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,可得>1,解得-
综上可得,k∈(-,-1]∪[1,).
14.答案 10
解析 如图所示,设新桥BC所在直线与☉M切于点Q,连接QM并延长,交CO的延长线于点P,
∵∠POM=∠PQC=90°,∴∠PMO=∠BCO.
由tan∠BCO=,
知tan∠PMO=,sin∠BCO=,
设|OM|=x,则|OP|=x,|PM|=x,
∴|PC|=|PO|+|OC|=x+170,|PQ|=|PC|·sin∠QCP=x+136,
设☉M的半径为R m,则R=|MQ|=x+136-x=136-x.
∵A,O到☉M上任一点的距离均不小于80 m,则R-|AM|≥80,R-|OM|≥80,即136-x-(60-x)≥80,136-x-x≥80,解得10≤x≤35.
∴当且仅当x=10时,R取到最大值,即圆形保护区的面积最大.
∴当圆形保护区的面积最大时,|OM|=10.
15.解析 (1)正方形ABCD中,AB⊥AD,因为AB边所在直线的方程为x-2y-1=0,所以可设AD边所在直线的方程为2x+y+c=0,(2分)
因为正方形ABCD的中心为点E(0,2),所以点E到直线AB和直线AD的距离相等,
所以=,解得c=3或c=-7,(5分)
经验证c=-7时,点A不在第三象限内,(6分)
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0.(7分)
(2)联立解得即A(-1,-1),(9分)
又E(0,2),故kAE==3,即kAC=3,(11分)
所以对角线AC所在直线的方程为y=3x+2.(13分)
16.解析 (1)因为圆心C在直线l:y=2x-4上,且在直线y=x-1上,所以圆心C为两直线的交点,
联立解得所以C(3,2).(3分)
易知切线的斜率存在,设其方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,
根据圆心到直线kx-y+3=0的距离等于半径1,可得=1,解得k=0或k=-,(6分)
故切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(7分)
(2)根据题意可得圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.(8分)
设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴=2,化简可得x2+(y+1)2=4,
故点M在以(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,记D(0,-1).(11分)
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,(13分)
整理得5a2-12a+8≥0且5a2-12a≤0,解得0≤a≤.(15分)
17.解析 (1)因为直线l1:(2m+1)x+(m2-2)y=3m+2与直线l平行,
所以2m+1=m2-2,即m2-2m-3=0,(3分)
解得m=-1或m=3,(4分)
当m=-1时,l1:x+y-1=0,与l重合,故舍去;(5分)
当m=3时,l1:7x+7y=11,与l平行,满足题意,
所以m=3.(7分)
(2)圆C:x2+y2+4x+4y+5=0即(x+2)2+(y+2)2=3,其圆心为C(-2,-2),半径r=.(9分)
设点C关于直线l:x+y-1=0的对称点为T(a,b),
则解得a=b=3,即T(3,3),(12分)
易知圆C关于直线l的对称图形是圆T,其半径r'=r=,
则圆T:(x-3)2+(y-3)2=3,(13分)
易知点P(2,2)在圆T内,
所以当TP⊥l2时,圆T截直线l2所得弦的长最小,
又|TP|=,故弦长的最小值为2=2=2.(15分)
18.解析 (1)由A(-1,-1),B(2,-1),可知线段AB与x轴平行,(2分)
又线段AB与圆O相切,
所以圆O的半径为1,因此圆O的方程为x2+y2=1.(4分)
(2)由于OM⊥ON,所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=2,即|MN|=,(6分)
易知三角形OMN是等腰直角三角形,所以O到直线MN的距离为,(8分)
所以=,解得c=±.(10分)
(3)易得直线AO的方程为x-y=0,假设存在符合题意的点Q(a,a),设P(x0,y0),
则λ2==①,(12分)
由于P具有任意性,所以不妨取P(1,0)和P(0,-1),将点P的坐标代入①得,
=λ2=,解得a=-或a=-1(舍去),(14分)
所以λ2==2,解得λ=(负根舍去),
将a=-,λ=代入①得=2,
整理得+=1,则P在圆O上.(16分)
所以存在这样的Q点,其坐标为,此时λ=.(17分)
19.解析 解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,|DE|=|BE|=|AC|=6,|AE|=|CD|=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以|PB|===15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知|AD|==10,
从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,
此时|P1D|=|P1B|sin∠P1BD=|P1B|cos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,|CQ|===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C的右侧,且|CQ|=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)
解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为|BD|=12,|AC|=6,所以|OH|=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,|AB|=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),|PB|==15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|EO|=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,因为|OM|=<=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,设Q(a,9),由|AQ|==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=4+3-(-13)=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)