【突破课堂】第三章 圆锥曲线的方程--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修1
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| 名称 | 【突破课堂】第三章 圆锥曲线的方程--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 163.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-03 11:34:34 | ||
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文档简介
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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第三章 圆锥曲线的方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某椭圆的两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,则该椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
2.已知平面上的点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),以下叙述错误的是( )
A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线
B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支
C.若|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),则M的轨迹一定是圆
D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆
3.若椭圆C以双曲线-=1的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,该抛物线与直线l:y=kx+1相交于M,N两点,则|MF|+3|NF|的最小值为( )
A.2+2 B.2+4
C.4+2 D.4+4
5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左支交于A,B两点,且=2,∠ABF2=90°,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
6.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为( )
A.± B.± C.± D.±2
7.2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽(如图)的正视图近似为伯努利双纽线.定义:在平面直角坐标系Oxy中,到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知P(x0,y0)是双纽线C上的一点,下列说法错误的是( )
A.双纽线C关于原点O中心对称
B.-≤y0≤
C.双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个
D.|OP|的最大值为a
8.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线-=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程为( )
A.x-4y+6=0 B.4x-y-6=0
C.4x+y-10=0 D.x+4y-10=0
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知曲线Γ:+=1(m∈R),则( )
A.Γ可能是等轴双曲线
B.若Γ是焦点在y轴上的椭圆,则-1C.Γ不可能是半径为的圆
D.若Γ是焦点在x轴上的双曲线,则m<-3
10.已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(-1,0),F2(1,0),P是它们的一个公共点,且在圆x2+y2=1上,椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,且e2=e1,则下列说法正确的是( )
A.e1=
B.双曲线C2的方程为2x2-2y2=1
C.△PF1F2的面积为
D.△PF1F2的周长为2+2
11.如图,已知椭圆C1:+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交C1于点A,B,连接AB,记△OMN与△OAB的面积分别为S△OMN,S△OAB,直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则下列命题中是真命题的为( )
A.k1k2的大小是定值-
B.S△OAB是定值1
C.线段OA,OB的长度的平方和是定值5
D.设λ=,则λ≥
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为 .
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆M:+=r2(r>0),直线l:x=,圆心M是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,与直线l交于E,G两点,且∠EMG=,若|MA|=2|AF|,则抛物线C的方程为 .
14.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1是其左焦点,过原点O的直线l交椭圆于A,B两点,M,N分别是AF1,BF1的中点,若存在以MN为直径的圆过原点,则椭圆离心率的最小值为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知拋物线C1的顶点为坐标原点,其焦点F与双曲线C2:y2-=1的上焦点重合,A,B为拋物线C1上两点.
(1)求拋物线C1的标准方程及其准线方程;
(2)若|AF|+|BF|=8,求线段AB的中点到x轴的距离.
16.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(2,0),且点(2,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线交椭圆于A,B两点(直线不与坐标轴垂直),已知点A与点P关于x轴对称,证明:直线PB恒过定点,并求出此定点的坐标.
17.(15分)如图,已知曲线Γ的方程是x2-y|y|=1,其中A、B为曲线Γ与x轴的交点,A点在B点的左边,曲线Γ与y轴的交点为D.已知F1(-c,0),F2(c,0),c>0,△DBF1的面积为.
(1)过点B作斜率为k的直线l交曲线Γ于P、Q两点(异于B点),点P在第一象限内,设点P的横坐标为xP,点Q的横坐标为xQ,求证:xP·xQ是定值;
(2)过点F2的直线n与曲线Γ有且仅有一个公共点,求直线n的倾斜角的取值范围;
(3)在(1)的条件下,当·=3+2时,求使||=λ||成立的λ的值.
18.(17分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
19.(17分)阅读材料:极点与极线是由法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues,1591—1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的,它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+By0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点与极线.事实上,在圆锥曲线方程中,用x0x替换x2,替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(x0,y0)对应的极线方程.特别地,对于椭圆+=1(a>0,b>0),与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1;对于双曲线-=1(a>0,b>0),与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1,即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中,极点与极线满足以下基本性质和定理:
①当P在圆锥曲线C上时,P对应的极线l是曲线C在点P处的切线;
②当P在圆锥曲线C外时,P对应的极线l是从点P处所引的曲线C两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);
③当P在圆锥曲线C内时,P对应的极线l是曲线C在其过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题:
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),其右顶点E(1,0)到一条渐近线的距离为,已知点G是直线mx+ny+q=0上的一个动点,点G对应的极线与双曲线交于两点A,B.
(1)若m=3,n=q=-1,证明:极线AB恒过定点;
(2)在(1)的条件下,若该定点为AB的中点,请求出此时的极线方程;
(3)若m=1,n=0,q=-,极线AB交C的右支于A,B两点,点A在x轴上方,P是双曲线C的左顶点,直线AE,直线BP分别交y轴于点M,N,O为坐标原点,求的值.
答案全解全析
1.B 由椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,知2a=8,即a=4,
由F1(-3,0),知c=3,则b2=a2-c2=7,
所以该椭圆的标准方程为+=1.
2.B 对于A,根据题意可得(x+2)2+y2-[(x-2)2+y2]=3,整理可得x=,故M的轨迹是一条直线,A中叙述正确;
对于B,因为|MA|-|MB|=4=|AB|,所以M的轨迹是一条射线,不是双曲线,故B中叙述错误;
对于C,由|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得+y2=,其表示圆心为,半径为的圆,故C中叙述正确;
对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.
3.C 由双曲线方程-=1得其焦点坐标为(±5,0),顶点坐标为(±4,0),所以椭圆长轴的端点坐标为(±5,0),焦点坐标为(±4,0),
设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c(c>0),则a=5,c=4,故b2=a2-c2=9,所以椭圆C的方程为+=1.
4.C 易知直线l过抛物线C的焦点F(0,1),
所以+==1,
所以|MF|+3|NF|=(|MF|+3|NF|)=1+3++≥4+2,当且仅当|MF|=|NF|=+1时取等号,
所以|MF|+3|NF|的最小值为4+2.
5.A 如图所示,设|BF1|=x,则|AF1|=2x,|BF2|=2a+x,|AF2|=2a+2x,
在△ABF2中,∠ABF2=90°,故由勾股定理可得|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,即(3x)2+(2a+x)2=(2a+2x)2,解得x=a(x=0舍去),
同理,在△BF1F2中,由勾股定理可得|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2,即+=4c2,化简得17a2=9c2,即17a2=9a2+9b2,
所以=,因此=,则C的渐近线方程为y=±x.
6.A 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0),不妨设点A在点B上方,如图.
∵直线l过点K且与抛物线交于A,B两点,
∴直线l的斜率存在且不为0,
∴可设直线l的方程为x=ty-1(t≠0),将其代入y2=4x,可得y2-4ty+4=0.由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,
∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.
∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t).
过点M且平行于x轴的直线的方程为y=2t,易知此直线与抛物线的交点为N(t2,2t),∴|MN|=t2-1.
又∵=-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),
∴|y1-y2|=4,∴△NAB的面积为|MN|×|y1-y2|=2()3.
由已知得2()3=2,解得t2=2,满足Δ>0,∴t=±.
∴直线l的方程为x=±y-1,即y=±(x+1),∴直线l的斜率为±.
7.C 对于A,由双纽线的定义可得曲线上的点的坐标(x,y)满足×=a2,用(-x,-y)替换方程中的(x,y),原方程不变,所以双纽线C关于原点O中心对称,所以A中说法正确;
对于B,根据等面积法可知=×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2=×2a×|y0|,即|y0|=sin∠F1PF2≤,所以-≤y0≤,所以B中说法正确;
对于C,若双纽线C上的点P满足|PF1|=|PF2|,则点P在y轴上,即x0=0,所以×=a2,得y0=0(二重根),所以这样的点P只有一个,所以C中说法错误;
对于D,因为=(+),
所以||2=(||2+2||·||cos∠F1PF2+||2),
在△PF1F2中,由余弦定理得||2=4a2=||2-2||·||·cos∠F1PF2+||2,
所以||2=a2+||·||cos∠F1PF2=a2+a2cos∠F1PF2≤2a2,当且仅当∠F1PF2=0°,即P与F1,F2共线时取等号,所以|PO|的最大值为a,所以D中说法正确.
8.A ∵s+t=(s+t)=m+++n≥(m+n+2)=,当且仅当=,即s=t时取等号,
∴m+n+2=8,又m+n=4,m,n为正数,∴m=2,n=2,即M(2,2).
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得-=0,
∵M(2,2)为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴kAB===,
∴弦AB所在直线的方程为y-2=(x-2),即x-4y+6=0.
9.BD 对于A,若Γ是等轴双曲线,则1-m+3+m=0,显然不成立,因此A错误;
对于B,若Γ是焦点在y轴上的椭圆,则3+m>1-m>0,解得-1对于C,若Γ是圆,则3+m=1-m>0,解得m=-1,此时半径为=,因此C错误;
对于D,若Γ是焦点在x轴上的双曲线,则解得m<-3,因此D正确.
10.ABC 设椭圆C1和双曲线C2的焦距为2c,则c=1.
设椭圆C1的长轴长为2a1,短轴长为2b1,双曲线C2的实轴长为2a2,虚轴长为2b2,根据对称性,不妨设P在第一象限内,如图所示,
由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a1,则=4,
由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a2,则=4,
两式相加,并化简得+=2+2,
∵点P在圆x2+y2=1上,且易知F1F2为该圆的一条直径,∴PF1⊥PF2,∴+=|F1F2|2=4c2=4,则+=2c2=2,则+=2.
A选项中,联立解得e1=,e2=(负值均舍去),因此A正确;
B选项中,结合A可知,e2==,解得a2=,则=c2-=1-=,所以双曲线C2的方程为2x2-2y2=1,因此B正确;
C选项中,结合A可知,e1==,解得a1=,由|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,
可得|PF1||PF2|==-=-=1,
所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=,因此C正确;
D选项中,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a1+2c=2×+2=+2,因此D错误.
11.ABC 由题意得F(0,1),直线MN的斜率存在,则可设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y可得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1·x2=-4.
对于A,k1=,k2=,∴k1k2===x1·x2=-,故A正确;
对于B,由选项A中结论知,k1k2=-,
易得直线OA的方程为y=k1x(k1>0),直线OB的方程为y=k2x(k2<0),
联立直线OA与椭圆C1的方程,得解得结合题图可知A,
同理,联立直线OB与椭圆C1的方程,可解得B,
∴|OA|=,点B到直线OA的距离d=,
∴S△OAB=|OA|·d=··==1,故B正确;
对于C,由上述分析得A,B,k1k2=-,
则|OA|2+|OB|2=+++=+=4×=4×=5,即线段OA,OB的长度的平方和是定值5,故C正确;
对于D,由上述分析可得λ=======≥=2,当且仅当=,即k1=时等号成立,故D错误.
12.答案 -=1或-=1
解析 当焦点在x轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=,
∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1;
当焦点在y轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=2,∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1.
综上所述,所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
13.答案 y2=2x
解析 不妨设E在G的上方,根据题意作出大致图形,
如图所示,过点M作MK⊥EG于点K,则∠EMK=∠EMG=,
由图知|MK|=x0-=rcos =r①,
由|MA|=2|AF|可得,r=|MF|=②,
由①②得x0-=×,因此x0=p.
又点M(x0,)在抛物线y2=2px上,所以2px0=10,即px0=5,
因此p=x0=,因此抛物线C的方程为y2=2x.
14.答案
解析 令椭圆的右焦点为F2,半焦距为c,不妨设A在B的上方,连接OM,ON,AF2,BF2,如图,
因为M,N分别是AF1,BF1的中点,O为F1F2的中点,所以OM∥BF1,ON∥AF1.由以MN为直径的圆过原点,得∠MON=90°,
则有∠AF1B=90°,又点A,B关于原点O对称,F1,F2关于原点O对称,所以AB,F1F2互相平分,即四边形AF1BF2为平行四边形,且是矩形,于是∠F1AF2=90°,则在Rt△F1AF2中,有|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a,
所以=|F1F2|2+2|AF1|·|AF2|≤|F1F2|2+,即有4a2≤4c2+2a2,当且仅当|AF1|=|AF2|=a时取等号,
则≥,即e2≥,又0所以椭圆离心率的最小值为.
15.解析 (1)由双曲线C2:y2-=1,知a2=1,b2=3,所以c2=a2+b2=1+3=4,则双曲线的上焦点为(0,2),(3分)
即抛物线的焦点为(0,2),可设抛物线C1的标准方程为x2=2py(p>0),则=2,即p=4,(5分)
所以抛物线C1的标准方程为x2=8y,其准线方程为y=-2.(7分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由|AF|+|BF|=8,结合抛物线的焦半径公式得y1+2+y2+2=8,(10分)
即y1+y2=4,所以y0==2,
即线段AB的中点到x轴的距离为2.(13分)
16.解析 (1)由已知得(3分)
∴∴椭圆C的标准方程为+=1.(6分)
(2)设P(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,-y1),(7分)
由题可设直线PB的方程为y=kx+m,
联立消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,(9分)
则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0,
∴x1+x2=,x1x2=,(10分)
∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m),
∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m),
整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0,(12分)
∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k,(14分)
∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0).(15分)
17.解析 (1)证明:由已知得曲线Γ的方程为故当y≥0时,曲线Γ为双曲线的一部分,当y<0时,曲线Γ为圆的一部分.
对于方程x2-y|y|=1,令y=0,得x=±1,故A(-1,0),B(1,0),则直线l:y=k(x-1),
联立解得x=或x=1(舍去),故xP=,(2分)
联立解得x=或x=1(舍去),故xQ=,(4分)
所以xPxQ=1.(5分)
(2)易得D(0,-1),|BF1|=1+c,由△DBF1的面积为,可得×1×(1+c)=,解得c=,(6分)
当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为y=m(x-),联立消去y,得(1+m2)x2-2m2x+2m2-1=0,
令Δ=8m4-4(1+m2)(2m2-1)=0,解得m=1或m=-1.(8分)
当m=1时,直线n:y=x-,与圆x2+y2=1(y<0)相切,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)无交点,满足题意;
当m=-1时,直线n:y=-x+,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=-x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)只有一个交点,与圆x2+y2=1(y<0)无交点,满足题意.
当直线n的斜率不存在时,n:x=,与曲线Γ只有一个交点,符合题意,
当直线n绕点F2从直线y=x-的位置逆时针旋转到直线y=-x+的位置时,直线n与曲线Γ始终只有一个交点,
所以直线n的倾斜角的取值范围为.(10分)
(3)由(2)知F1(-,0),故=(xP+,k(xP-1)),=(xQ+,k(xQ-1)),
所以·=(xP+)(xQ+)+k2(xP-1)(xQ-1)=(1+k2)xPxQ+(-k2)(xP+xQ)+k2+2,
由(1)知xP+xQ=,xPxQ=1,(12分)
所以·=(3+2k2)+(-k2)·=3+2,所以k2=,
所以xP=3+2,xQ=3-2,||==,||==,
则λ====3+2.(15分)
18.解析 (1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|==,
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,
所以|FM|=+1,(3分)
由|PM|=|FM|,得=+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(7分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,消去y,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(10分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理得B(2k2,),所以kAB==,(12分)
所以直线AB的方程为y-=(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.所以|AB|=|2k1-2k2|=·=·,P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d==,(14分)
整理得-4y0=3,联立得(x0-1)(++19x0-13)=0,
所以x0=1或++19x0-13=0,设f(x0)=++19x0-13,≤x0≤,显然f<0,f(1)>0,f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=++19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)
19.解析 (1)证明:由右顶点为E(1,0),可得a=1,
易知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
由题得点E到一条渐近线的距离d==,即b2=3a2,∴b=,
∴双曲线C的标准方程为x2-=1.(2分)
若m=3,n=q=-1,则点G在直线3x-y-1=0上,∴可设G(x0,3x0-1),
根据题中阅读材料可得极线AB的方程为x0x-=1,
整理得x0(3x-3y)+y-3=0,
令解得∴极线AB恒过定点(3,3).(5分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则定点(3,3)为AB的中点,
则由点差法得(x1+x2)(x1-x2)-=0,
又因为x1+x2=6,y1+y2=6,所以kAB==3,因此直线AB的方程为y-3=3(x-3),即y=3x-6.(8分)
直线AB的方程可化为·x-=1,对应的极点为,其坐标适合直线3x-y-1=0的方程,
故此时的极线方程为y=3x-6.(10分)
(3)若m=1,n=0,q=-,则点G所在的直线方程为x=,(11分)
由题意,可设G,
则极线AB的方程为x-=1,即x=+2,
由得(4t2-3)y2+24ty+27=0.(13分)
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=-,yAyB=,因此tyAyB==×=-(yA+yB),
易得直线AE:y=(x-1),令x=0,得y=,则M,
易得P(-1,0),∴直线BP:y=(x+1),令x=0,得y=,则N,
∴=,(15分)
∵A,B在极线x=+2上,∴xA=+2,xB=+2,
∴======3.(17分)
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第三章 圆锥曲线的方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某椭圆的两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,则该椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
2.已知平面上的点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),以下叙述错误的是( )
A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线
B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支
C.若|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),则M的轨迹一定是圆
D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆
3.若椭圆C以双曲线-=1的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,该抛物线与直线l:y=kx+1相交于M,N两点,则|MF|+3|NF|的最小值为( )
A.2+2 B.2+4
C.4+2 D.4+4
5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左支交于A,B两点,且=2,∠ABF2=90°,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
6.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为( )
A.± B.± C.± D.±2
7.2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽(如图)的正视图近似为伯努利双纽线.定义:在平面直角坐标系Oxy中,到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知P(x0,y0)是双纽线C上的一点,下列说法错误的是( )
A.双纽线C关于原点O中心对称
B.-≤y0≤
C.双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个
D.|OP|的最大值为a
8.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线-=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程为( )
A.x-4y+6=0 B.4x-y-6=0
C.4x+y-10=0 D.x+4y-10=0
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知曲线Γ:+=1(m∈R),则( )
A.Γ可能是等轴双曲线
B.若Γ是焦点在y轴上的椭圆,则-1
D.若Γ是焦点在x轴上的双曲线,则m<-3
10.已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(-1,0),F2(1,0),P是它们的一个公共点,且在圆x2+y2=1上,椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,且e2=e1,则下列说法正确的是( )
A.e1=
B.双曲线C2的方程为2x2-2y2=1
C.△PF1F2的面积为
D.△PF1F2的周长为2+2
11.如图,已知椭圆C1:+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交C1于点A,B,连接AB,记△OMN与△OAB的面积分别为S△OMN,S△OAB,直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则下列命题中是真命题的为( )
A.k1k2的大小是定值-
B.S△OAB是定值1
C.线段OA,OB的长度的平方和是定值5
D.设λ=,则λ≥
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为 .
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆M:+=r2(r>0),直线l:x=,圆心M是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,与直线l交于E,G两点,且∠EMG=,若|MA|=2|AF|,则抛物线C的方程为 .
14.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1是其左焦点,过原点O的直线l交椭圆于A,B两点,M,N分别是AF1,BF1的中点,若存在以MN为直径的圆过原点,则椭圆离心率的最小值为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知拋物线C1的顶点为坐标原点,其焦点F与双曲线C2:y2-=1的上焦点重合,A,B为拋物线C1上两点.
(1)求拋物线C1的标准方程及其准线方程;
(2)若|AF|+|BF|=8,求线段AB的中点到x轴的距离.
16.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(2,0),且点(2,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线交椭圆于A,B两点(直线不与坐标轴垂直),已知点A与点P关于x轴对称,证明:直线PB恒过定点,并求出此定点的坐标.
17.(15分)如图,已知曲线Γ的方程是x2-y|y|=1,其中A、B为曲线Γ与x轴的交点,A点在B点的左边,曲线Γ与y轴的交点为D.已知F1(-c,0),F2(c,0),c>0,△DBF1的面积为.
(1)过点B作斜率为k的直线l交曲线Γ于P、Q两点(异于B点),点P在第一象限内,设点P的横坐标为xP,点Q的横坐标为xQ,求证:xP·xQ是定值;
(2)过点F2的直线n与曲线Γ有且仅有一个公共点,求直线n的倾斜角的取值范围;
(3)在(1)的条件下,当·=3+2时,求使||=λ||成立的λ的值.
18.(17分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
19.(17分)阅读材料:极点与极线是由法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues,1591—1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的,它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+By0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点与极线.事实上,在圆锥曲线方程中,用x0x替换x2,替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(x0,y0)对应的极线方程.特别地,对于椭圆+=1(a>0,b>0),与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1;对于双曲线-=1(a>0,b>0),与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1,即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中,极点与极线满足以下基本性质和定理:
①当P在圆锥曲线C上时,P对应的极线l是曲线C在点P处的切线;
②当P在圆锥曲线C外时,P对应的极线l是从点P处所引的曲线C两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);
③当P在圆锥曲线C内时,P对应的极线l是曲线C在其过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题:
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),其右顶点E(1,0)到一条渐近线的距离为,已知点G是直线mx+ny+q=0上的一个动点,点G对应的极线与双曲线交于两点A,B.
(1)若m=3,n=q=-1,证明:极线AB恒过定点;
(2)在(1)的条件下,若该定点为AB的中点,请求出此时的极线方程;
(3)若m=1,n=0,q=-,极线AB交C的右支于A,B两点,点A在x轴上方,P是双曲线C的左顶点,直线AE,直线BP分别交y轴于点M,N,O为坐标原点,求的值.
答案全解全析
1.B 由椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,知2a=8,即a=4,
由F1(-3,0),知c=3,则b2=a2-c2=7,
所以该椭圆的标准方程为+=1.
2.B 对于A,根据题意可得(x+2)2+y2-[(x-2)2+y2]=3,整理可得x=,故M的轨迹是一条直线,A中叙述正确;
对于B,因为|MA|-|MB|=4=|AB|,所以M的轨迹是一条射线,不是双曲线,故B中叙述错误;
对于C,由|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得+y2=,其表示圆心为,半径为的圆,故C中叙述正确;
对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.
3.C 由双曲线方程-=1得其焦点坐标为(±5,0),顶点坐标为(±4,0),所以椭圆长轴的端点坐标为(±5,0),焦点坐标为(±4,0),
设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c(c>0),则a=5,c=4,故b2=a2-c2=9,所以椭圆C的方程为+=1.
4.C 易知直线l过抛物线C的焦点F(0,1),
所以+==1,
所以|MF|+3|NF|=(|MF|+3|NF|)=1+3++≥4+2,当且仅当|MF|=|NF|=+1时取等号,
所以|MF|+3|NF|的最小值为4+2.
5.A 如图所示,设|BF1|=x,则|AF1|=2x,|BF2|=2a+x,|AF2|=2a+2x,
在△ABF2中,∠ABF2=90°,故由勾股定理可得|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,即(3x)2+(2a+x)2=(2a+2x)2,解得x=a(x=0舍去),
同理,在△BF1F2中,由勾股定理可得|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2,即+=4c2,化简得17a2=9c2,即17a2=9a2+9b2,
所以=,因此=,则C的渐近线方程为y=±x.
6.A 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0),不妨设点A在点B上方,如图.
∵直线l过点K且与抛物线交于A,B两点,
∴直线l的斜率存在且不为0,
∴可设直线l的方程为x=ty-1(t≠0),将其代入y2=4x,可得y2-4ty+4=0.由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,
∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.
∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t).
过点M且平行于x轴的直线的方程为y=2t,易知此直线与抛物线的交点为N(t2,2t),∴|MN|=t2-1.
又∵=-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),
∴|y1-y2|=4,∴△NAB的面积为|MN|×|y1-y2|=2()3.
由已知得2()3=2,解得t2=2,满足Δ>0,∴t=±.
∴直线l的方程为x=±y-1,即y=±(x+1),∴直线l的斜率为±.
7.C 对于A,由双纽线的定义可得曲线上的点的坐标(x,y)满足×=a2,用(-x,-y)替换方程中的(x,y),原方程不变,所以双纽线C关于原点O中心对称,所以A中说法正确;
对于B,根据等面积法可知=×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2=×2a×|y0|,即|y0|=sin∠F1PF2≤,所以-≤y0≤,所以B中说法正确;
对于C,若双纽线C上的点P满足|PF1|=|PF2|,则点P在y轴上,即x0=0,所以×=a2,得y0=0(二重根),所以这样的点P只有一个,所以C中说法错误;
对于D,因为=(+),
所以||2=(||2+2||·||cos∠F1PF2+||2),
在△PF1F2中,由余弦定理得||2=4a2=||2-2||·||·cos∠F1PF2+||2,
所以||2=a2+||·||cos∠F1PF2=a2+a2cos∠F1PF2≤2a2,当且仅当∠F1PF2=0°,即P与F1,F2共线时取等号,所以|PO|的最大值为a,所以D中说法正确.
8.A ∵s+t=(s+t)=m+++n≥(m+n+2)=,当且仅当=,即s=t时取等号,
∴m+n+2=8,又m+n=4,m,n为正数,∴m=2,n=2,即M(2,2).
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得-=0,
∵M(2,2)为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴kAB===,
∴弦AB所在直线的方程为y-2=(x-2),即x-4y+6=0.
9.BD 对于A,若Γ是等轴双曲线,则1-m+3+m=0,显然不成立,因此A错误;
对于B,若Γ是焦点在y轴上的椭圆,则3+m>1-m>0,解得-1
对于D,若Γ是焦点在x轴上的双曲线,则解得m<-3,因此D正确.
10.ABC 设椭圆C1和双曲线C2的焦距为2c,则c=1.
设椭圆C1的长轴长为2a1,短轴长为2b1,双曲线C2的实轴长为2a2,虚轴长为2b2,根据对称性,不妨设P在第一象限内,如图所示,
由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a1,则=4,
由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a2,则=4,
两式相加,并化简得+=2+2,
∵点P在圆x2+y2=1上,且易知F1F2为该圆的一条直径,∴PF1⊥PF2,∴+=|F1F2|2=4c2=4,则+=2c2=2,则+=2.
A选项中,联立解得e1=,e2=(负值均舍去),因此A正确;
B选项中,结合A可知,e2==,解得a2=,则=c2-=1-=,所以双曲线C2的方程为2x2-2y2=1,因此B正确;
C选项中,结合A可知,e1==,解得a1=,由|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,
可得|PF1||PF2|==-=-=1,
所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=,因此C正确;
D选项中,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a1+2c=2×+2=+2,因此D错误.
11.ABC 由题意得F(0,1),直线MN的斜率存在,则可设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y可得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1·x2=-4.
对于A,k1=,k2=,∴k1k2===x1·x2=-,故A正确;
对于B,由选项A中结论知,k1k2=-,
易得直线OA的方程为y=k1x(k1>0),直线OB的方程为y=k2x(k2<0),
联立直线OA与椭圆C1的方程,得解得结合题图可知A,
同理,联立直线OB与椭圆C1的方程,可解得B,
∴|OA|=,点B到直线OA的距离d=,
∴S△OAB=|OA|·d=··==1,故B正确;
对于C,由上述分析得A,B,k1k2=-,
则|OA|2+|OB|2=+++=+=4×=4×=5,即线段OA,OB的长度的平方和是定值5,故C正确;
对于D,由上述分析可得λ=======≥=2,当且仅当=,即k1=时等号成立,故D错误.
12.答案 -=1或-=1
解析 当焦点在x轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=,
∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1;
当焦点在y轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=2,∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1.
综上所述,所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
13.答案 y2=2x
解析 不妨设E在G的上方,根据题意作出大致图形,
如图所示,过点M作MK⊥EG于点K,则∠EMK=∠EMG=,
由图知|MK|=x0-=rcos =r①,
由|MA|=2|AF|可得,r=|MF|=②,
由①②得x0-=×,因此x0=p.
又点M(x0,)在抛物线y2=2px上,所以2px0=10,即px0=5,
因此p=x0=,因此抛物线C的方程为y2=2x.
14.答案
解析 令椭圆的右焦点为F2,半焦距为c,不妨设A在B的上方,连接OM,ON,AF2,BF2,如图,
因为M,N分别是AF1,BF1的中点,O为F1F2的中点,所以OM∥BF1,ON∥AF1.由以MN为直径的圆过原点,得∠MON=90°,
则有∠AF1B=90°,又点A,B关于原点O对称,F1,F2关于原点O对称,所以AB,F1F2互相平分,即四边形AF1BF2为平行四边形,且是矩形,于是∠F1AF2=90°,则在Rt△F1AF2中,有|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a,
所以=|F1F2|2+2|AF1|·|AF2|≤|F1F2|2+,即有4a2≤4c2+2a2,当且仅当|AF1|=|AF2|=a时取等号,
则≥,即e2≥,又0
15.解析 (1)由双曲线C2:y2-=1,知a2=1,b2=3,所以c2=a2+b2=1+3=4,则双曲线的上焦点为(0,2),(3分)
即抛物线的焦点为(0,2),可设抛物线C1的标准方程为x2=2py(p>0),则=2,即p=4,(5分)
所以抛物线C1的标准方程为x2=8y,其准线方程为y=-2.(7分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由|AF|+|BF|=8,结合抛物线的焦半径公式得y1+2+y2+2=8,(10分)
即y1+y2=4,所以y0==2,
即线段AB的中点到x轴的距离为2.(13分)
16.解析 (1)由已知得(3分)
∴∴椭圆C的标准方程为+=1.(6分)
(2)设P(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,-y1),(7分)
由题可设直线PB的方程为y=kx+m,
联立消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,(9分)
则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0,
∴x1+x2=,x1x2=,(10分)
∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m),
∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m),
整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0,(12分)
∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k,(14分)
∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0).(15分)
17.解析 (1)证明:由已知得曲线Γ的方程为故当y≥0时,曲线Γ为双曲线的一部分,当y<0时,曲线Γ为圆的一部分.
对于方程x2-y|y|=1,令y=0,得x=±1,故A(-1,0),B(1,0),则直线l:y=k(x-1),
联立解得x=或x=1(舍去),故xP=,(2分)
联立解得x=或x=1(舍去),故xQ=,(4分)
所以xPxQ=1.(5分)
(2)易得D(0,-1),|BF1|=1+c,由△DBF1的面积为,可得×1×(1+c)=,解得c=,(6分)
当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为y=m(x-),联立消去y,得(1+m2)x2-2m2x+2m2-1=0,
令Δ=8m4-4(1+m2)(2m2-1)=0,解得m=1或m=-1.(8分)
当m=1时,直线n:y=x-,与圆x2+y2=1(y<0)相切,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)无交点,满足题意;
当m=-1时,直线n:y=-x+,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=-x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)只有一个交点,与圆x2+y2=1(y<0)无交点,满足题意.
当直线n的斜率不存在时,n:x=,与曲线Γ只有一个交点,符合题意,
当直线n绕点F2从直线y=x-的位置逆时针旋转到直线y=-x+的位置时,直线n与曲线Γ始终只有一个交点,
所以直线n的倾斜角的取值范围为.(10分)
(3)由(2)知F1(-,0),故=(xP+,k(xP-1)),=(xQ+,k(xQ-1)),
所以·=(xP+)(xQ+)+k2(xP-1)(xQ-1)=(1+k2)xPxQ+(-k2)(xP+xQ)+k2+2,
由(1)知xP+xQ=,xPxQ=1,(12分)
所以·=(3+2k2)+(-k2)·=3+2,所以k2=,
所以xP=3+2,xQ=3-2,||==,||==,
则λ====3+2.(15分)
18.解析 (1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|==,
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,
所以|FM|=+1,(3分)
由|PM|=|FM|,得=+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(7分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,消去y,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(10分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理得B(2k2,),所以kAB==,(12分)
所以直线AB的方程为y-=(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.所以|AB|=|2k1-2k2|=·=·,P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d==,(14分)
整理得-4y0=3,联立得(x0-1)(++19x0-13)=0,
所以x0=1或++19x0-13=0,设f(x0)=++19x0-13,≤x0≤,显然f<0,f(1)>0,f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=++19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)
19.解析 (1)证明:由右顶点为E(1,0),可得a=1,
易知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
由题得点E到一条渐近线的距离d==,即b2=3a2,∴b=,
∴双曲线C的标准方程为x2-=1.(2分)
若m=3,n=q=-1,则点G在直线3x-y-1=0上,∴可设G(x0,3x0-1),
根据题中阅读材料可得极线AB的方程为x0x-=1,
整理得x0(3x-3y)+y-3=0,
令解得∴极线AB恒过定点(3,3).(5分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则定点(3,3)为AB的中点,
则由点差法得(x1+x2)(x1-x2)-=0,
又因为x1+x2=6,y1+y2=6,所以kAB==3,因此直线AB的方程为y-3=3(x-3),即y=3x-6.(8分)
直线AB的方程可化为·x-=1,对应的极点为,其坐标适合直线3x-y-1=0的方程,
故此时的极线方程为y=3x-6.(10分)
(3)若m=1,n=0,q=-,则点G所在的直线方程为x=,(11分)
由题意,可设G,
则极线AB的方程为x-=1,即x=+2,
由得(4t2-3)y2+24ty+27=0.(13分)
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=-,yAyB=,因此tyAyB==×=-(yA+yB),
易得直线AE:y=(x-1),令x=0,得y=,则M,
易得P(-1,0),∴直线BP:y=(x+1),令x=0,得y=,则N,
∴=,(15分)
∵A,B在极线x=+2上,∴xA=+2,xB=+2,
∴======3.(17分)