【突破课堂】期末考试达标检测卷--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修1

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末考试达标检测卷
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线l过点(-3,0),且与直线y=2x-3垂直,则直线l的方程为(　　)
A.y=-(x-3)　　B.y=-(x+3)
C.y=(x-3)　　D.y=(x+3)
2.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(　　)
A.必要不充分条件　　B.充分不必要条件　　
C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件
3.在同一平面直角坐标系中,直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的相对位置不可能为(　　)
　　　　　　
4.已知点M(-3,0)和点N(3,0),若直线上存在点P(x,y),可使|PM|+|PN|=10,则称该直线为“D型直线”.有下列四条直线:①y=x+1;②y=;③y=5;④x=-6,其中,“D型直线”的条数是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1的中点,P是底面ABCD内一动点(包含边界),且A1P,MP与底面ABCD所成的角相等,则动点P的轨迹为(　　)
A.圆的一部分　　B.直线的一部分
C.椭圆的一部分　　D.双曲线的一部分
6.已知直线l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为A,B,若C(-4,0),D(4,0),则|CA|+|AB|+|BD|的最小值为(　　)
A.8+　　B.+2　　C.2+2　　D.8
7.已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|F1F2|=,I为三角形PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为(　　)
A.　　B.2-1　　
C.-1　　D.+1
8.如图所示,四面体ABCD的体积为V,点M为棱BC的靠近点B的三等分点,点F为线段DM的中点,点N为线段AF的中点,过点N的平面α与棱AB,AC,AD分别交于点O,P,Q,设四面体AOPQ的体积为V',则的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知圆O1:x2+y2=2与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0交于M,N两点,则(　　)
A.两圆半径相等　　B.两圆有3条公切线
C.直线MN的方程是4x-2y+5=0　　D.线段MN的长度是
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=m+m+n(m,n∈(0,1]),则　(　　)
A.AQ⊥BD
B.当点Q在平面A1B1C1D1内时,m=1
C.BD1与平面QAC所成角的正切值为
D.当m=时,四棱锥Q-ABB1A1的体积为定值
11.阿基米德是伟大的物理学家,更是伟大的数学家,他曾经对抛物线做过系统而深入的研究,并定义了抛物线阿基米德三角形:抛物线的弦与抛物线在弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C:y=x2上两个不同点A,B的横坐标分别为x1,x2,分别以A,B为切点的抛物线的两条切线交于P点.则下列关于抛物线阿基米德三角形PAB的说法中,正确的有(　　)
A.若弦AB过抛物线的焦点,则P点一定在抛物线的准线上
B.若抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,则其面积为
C.若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则其面积有最小值
D.一般情况下,抛物线阿基米德三角形PAB的面积S=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　　　.
13.已知实数a>0,b<0,则的取值范围是　　　　.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,|PA|=|AB|=2,点E,F分别为CD,CP的中点,点T为△PAB内的一个动点(包括边界),若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知直线l:y=kx-2k+1(k∈R).
(1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围;
(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求当△AOB的面积为时,直线l的方程(O为坐标原点).
16.(15分)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于直线x+y=0的对称圆的圆心为D,直线l过点(1,0).
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆D交于A,B两点,|AB|=,求直线l的方程.
17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点(t,0)(t>0)的直线l(斜率不为0)交椭圆C于不同的两点A,B(异于点P),直线PA,PB分别与直线x=-t交于M,N两点,MN的中点为Q,是否存在实数t,使直线PQ的斜率为定值 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
18.(17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标,设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1-(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1),其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与P相邻的顶点,且平面Q1PQ2,Q2PQ3,…,Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为顶点的面.现给出如图所示的三棱锥P-ABC.
(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和;
(2)若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,|AC|=|BC|=2,三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为.
①求直线PC与AB所成角的余弦值;
②点Q在棱PB上,直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为,求BQ的长度.
19.(17分)已知点A,B在直线l:y=x+2上(B在A的上方),P(2,0),|AB|=,斜率为k1的直线AP交抛物线Γ:y2=4x于点M,N,直线BP交Γ于点R,S(M,R在x轴上方),如图所示.
(1)求k1的取值范围;
(2)若0答案全解全析
1.B　因为直线y=2x-3的斜率为2,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(-3,0),故所求直线的方程为y=-(x+3).
2.B　若a=1,则l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+4=0,显然l1与l2平行,故充分性成立;
若l1∥l2,则a(a+1)-2=0,且4a-(-1)≠0,解得a=1或a=-2,故必要性不成立,
所以“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.
3.C　圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为,直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内定点(0,1),且斜率可正可负可为0,故A,B,D都有可能,C不可能.
4.B　由|PM|+|PN|=10>|MN|=6可知,P点的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,
则2a=10,2c=6,即a=5,c=3,可得b2=a2-c2=16,又焦点在x轴上,因此该椭圆的方程为+=1,
由题意得,当直线与椭圆有公共点时,该直线即为“D型直线”.
对于①,直线y=x+1过点(0,1),由+<1知该点在椭圆内,因此直线y=x+1与椭圆必相交,是“D型直线”;
对于②,由b=4可知,直线y=与椭圆相交,是“D型直线”;
对于③,由b=4可知,直线y=5不与椭圆相交,不是“D型直线”;
对于④,由a=5可知,直线x=-6不与椭圆相交,不是“D型直线”.因此“D型直线”有2条.
5.A　如图,连接PA,PC,
由A1A⊥底面ABCD,C1C⊥底面ABCD,可得∠A1PA,∠MPC分别为直线A1P,MP与底面ABCD所成的角,
由∠A1PA=∠MPC,可得=,
又|A1A|=2|MC|,∴|PA|=2|PC|.
在平面ABCD内,以D为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设正方体的棱长为a(a>0),则A(a,0),C(0,a),
设P(x,y),0≤x≤a,0≤y≤a,
由|PA|=2|PC|,得=2,
整理得+=,故动点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆在正方形ABCD内的部分.
6.C　∵直线l3垂直于l1,l2,∴可设l3的方程为x+y=2m(m∈R),
由得即A(m-1,m+1),由得即B(m+1,m-1),
∵C(-4,0),D(4,0),∴|CA|+|AB|+|BD|=+2+,
易知+表示动点(m,m)到定点(-3,-1)与(3,1)的距离的和,记M(m,m),E(-3,-1),F(3,1),
易知动点M(m,m)在直线y=x上,点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x的两侧,
∴|ME|+|MF|≥|EF|=2,当且仅当M是直线y=x与线段EF的交点,即原点时取“=”,此时m=0,
∴++2≥2+2,即|CA|+|AB|+|BD|的最小值为2+2.
7.C　设△PF1F2的内切圆半径为r,P在第一象限内,如图,
则=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2c·r=cr,
依题意得|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,
因此λ==,
∵|F1F2|=,∴2c==,∴+-1=0,
解得=±-1,又>0,∴λ==-1.
8.A　如图所示,连接AM,
可得==(+)=+(+)=++×=++=++(-)=++.
令x,y,z∈(0,1),则
所以=++,
因为N,O,P,Q四点共面,所以++=1.
设点C到平面BAD的距离为d,则点P到平面BAD的距离为·d=yd,
又因为S△BAD=|AB|·|AD|sin∠BAD,S△AOQ=|AO|·|AQ|sin∠BAD,
所以==·y=xyz.
由1=++≥3,当且仅当x=2y=z时取等号,所以xyz≥,即≥,所以的最小值为.
9.AD　对于A,圆O1:x2+y2=2,其圆心为O1(0,0),半径r1=,
圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0即(x-2)2+(y+1)2=2,则圆心为O2(2,-1),半径r2=,故两圆半径相等,因此A正确;
对于B,由题意知两圆相交,所以它们有两条公切线,因此B错误;
对于C,圆O1:x2+y2=2与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0的方程相减,得4x-2y-5=0,所以直线MN的方程为4x-2y-5=0,因此C错误;
对于D,圆心O1到直线MN的距离d==,
所以线段MN的长度为2=2=,因此D正确.
10.ACD　以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),
可得=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),=(-1,1,0),
因为点Q满足 =m+m+n(m,n∈(0,1]),
所以=(m,m,n),即Q(m,m,n).
对于A,·=m×(-1)+m×1+0=0,则AQ⊥BD,因此A正确;
对于B,因为=m+m+n=m+n,所以Q∈平面ACC1A1,又Q∈平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1,所以Q∈A1C1,
故=m+m+(m∈(0,1]),则n=1,m无法确定,因此B错误;
对于C,易得D1(0,1,1),C(1,1,0),则=(1,1,0),=(-1,1,1),=(1-m,1-m,-n),
设平面QAC的法向量为n=(a,b,c),
则即
令a=1,则b=-1,c=0,因此平面QAC的一个法向量为n=(1,-1,0),
设BD1与平面QAC所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,
又因为0°≤θ≤90°,所以cos θ==,则tan θ=,因此C正确;
对于D,当m=时,=+n(n∈(0,1]),
取AC的中点E,A1C1的中点F,连接EF,则点Q在线段EF上运动(不含点E),
此时Q到平面ABB1A1的距离恒为,又四边形ABB1A1的面积不变,所以四棱锥Q-ABB1A1的体积是定值,因此D正确.
11.ABC　由题意可知,直线AB的斜率一定存在,所以可设直线AB的方程为y=kx+m,
由题意可知,点A(x1,),B(x2,),不妨设x1<0易得切线PA,PB的方程分别为y-=2x1(x-x1),y-=2x2(x-x2),
两方程联立,得
解得所以P点的坐标为.
将直线AB的方程与抛物线方程联立,得消去y,得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m.
对于A,抛物线C:y=x2的焦点坐标为,准线方程为y=-,
因为弦AB过抛物线的焦点,所以m=,则x1x2=-m=-,
显然P点一定在抛物线的准线上,故A中说法正确;
对于B,因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|PB|,即=,
化简得(x2-x1)3(x2+x1)=0,因为x1≠x2,所以x1=-x2,
故A(x1,),B(-x1,),P(0,-),
因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|AB|,
所以=2|x1|,解得x1=-,
因此正三角形PAB的边长为,
所以正三角形PAB的面积为×××sin 60°=×××=,故B中说法正确;
对于C,若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则PA⊥PB,
有kPA·kPB=-1,即·=-1,即x1x2=-,
则m=-x1x2=,即直线AB的方程为y=kx+,
所以P点坐标为,点P到直线AB的距离为
=,
|AB|==
===1+k2,
因此直角三角形PAB的面积为×××(k2+1)=≥,当且仅当k=0时取等号,则其面积有最小值,故C中说法正确;
对于D,因为x1+x2=k,x1x2=-m,所以|AB|===|x1-x2|,
点P到直线AB的距离为==·,
所以抛物线阿基米德三角形PAB的面积S=·|x1-x2|··=,故D中说法不正确.
12.答案　
解析　解法一(代数法):联立消去y,整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,
由题意得1-4k2=0或Δ=+4(36k2+4)(1-4k2)=0,
所以k=±,经检验,符合题意.
解法二(几何法):易知直线y=k(x-3)过定点(3,0),点(3,0)在双曲线右支的内部,因此直线y=k(x-3)与双曲线不可能相切,由直线与双曲线只有一个公共点知,直线y=k(x-3)与双曲线的渐近线平行,
又双曲线的渐近线方程为y=±x,因此k=±.
13.答案　[-2,-1)
解析　根据题意,设直线l:ax+by=0(a,b不同时为0),点A(1,-),
那么点A(1,-)到直线l的距离d=,
因为a>0,b<0,所以d=,且直线l的斜率k=->0,如图所示,
如果直线l的斜率不存在,那么有=1,所以d>1,
易知当OA⊥l时,d取得最大值,且dmax=|OA|==2,
结合图形知1所以-2≤<-1.
14.答案　
解析　由题意知,PA,AB,AD两两互相垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
记AB的中点为G,连接CG,
因为四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,所以AG∥CE,且AG=CE,
所以四边形AGCE为平行四边形,所以CG∥AE,
又CG 平面AEF,AE 平面AEF,所以CG∥平面AEF,
记点T的轨迹与PB交于点H,连接GH,CH,由题知CH∥平面AEF,
因为直线CH,CG是平面CHG内的相交直线,所以平面CHG∥平面AEF,
所以线段GH即为点T的轨迹,
易得A(0,0,0),E(1,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),F(1,1,1),B(2,0,0),
所以=(2,0,-2),=(-2,-2,2),=(1,2,0),=(1,1,1),
设=λ,则=+=+λ=(-2,-2,2)+λ(2,0,-2)=(2λ-2,-2,2-2λ),
设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,
则令y=1,得x=-2,z=1,则n=(-2,1,1),
因为⊥n,所以-2(2λ-2)-2+2-2λ=0,解得λ=,
则=,又==(1,2,0),
所以=+=(1,2,0)+=,
所以||==,即点T的轨迹的长度为.
15.解析　(1)直线l:y=kx-2k+1(k∈R),即y=k(x-2)+1,可知直线l过定点(2,1),(3分)
当直线l过原点时,k=,(4分)
结合直线l不经过第二象限,可知k≥,即k的取值范围是.(6分)
(2)由(1)知直线l过定点(2,1),由题可知k<0,(8分)
易得直线l:y=kx-2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是A,B(0,1-2k),
∴S△AOB=×|1-2k|=×,k<0,(10分)
令S△AOB=,可得4k2+5k+1=0,(12分)
∴k=-1或k=-,可得直线l的方程为y=-x+3或y=-x+.(13分)
16.解析　(1)圆C:x2+y2-4x-4y+7=0即(x-2)2+(y-2)2=1,
因此圆C的圆心为C(2,2),半径r=1,(1分)
当直线l的斜率不存在时,因为直线l过点(1,0),所以直线l的方程为x=1,此时直线与圆相切,符合题意;(3分)
当直线l的斜率存在时,设为k,因为直线l过点(1,0),所以其方程为y=k(x-1),化成一般式为kx-y-k=0,
由直线l与圆C相切,得圆心C(2,2)到直线l的距离d===1,解得k=,
所以直线l的方程为x-y-=0,即3x-4y-3=0.(6分)
综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0.(7分)
(2)由(1)知圆C的圆心为C(2,2),半径r=1,
设D(a,b),因为圆C与圆D关于直线x+y=0对称,
所以解得即圆D的圆心为D(-2,-2),易知圆D的半径r'=1.(9分)
显然直线l的斜率存在,设为k',因为直线l过点(1,0),所以直线l的方程为y=k'(x-1),化成一般式为k'x-y-k'=0,
易得圆心D到直线l的距离d'==,(11分)
又|AB|=,所以根据勾股定理可得d'==,
即d'==,解得k'=1或k'=,(14分)
所以直线l的方程为x-y-1=0或7x-17y-7=0.(15分)
17.解析　(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,
所以2a=4,得a=2,(2分)
所以椭圆方程为+=1,
因为椭圆过点P(2,1),所以+=1,得b2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.(5分)
(2)由题意可设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2-8=0,
则Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-8)>0,得2m2-t2+8>0,
且y1+y2=,y1y2=,(7分)
因为kPA=,所以直线AP的方程为y-1=(x-2),
当x=-t时,y=1+(-t-2)=1-,
所以M,(9分)
同理可得N,
因为MN的中点为Q,
所以Q,(11分)
所以kPQ==
=
=
==,(13分)
若kPQ为定值,则kPQ与m无关,所以解得t=4,(14分)
所以当t=4时,直线PQ的斜率为定值.(15分)
18.解析　(1)根据离散曲率的定义得ΦP=1-(∠APB+∠BPC+∠APC),ΦA=1-(∠PAB+∠BAC+∠PAC),ΦB=1-(∠PBA+∠ABC+∠PBC),ΦC=1-(∠PCA+∠BCA+∠PCB),(4分)
所以ΦP+ΦA+ΦB+ΦC=4-×4π=2.(6分)
(2)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,
又AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC,又PC 平面PAC,故BC⊥PC,(8分)
所以ΦC=1-(∠PCA+∠BCA+∠PCB)=1-=,
所以∠PCA=,所以|PA|=|AC|=|BC|=2,(10分)
如图,将三棱锥P-ABC补形成正方体ADBC-PEFM,并以A为原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0).
①设直线PC与AB所成的角为θ,
∵=(0,2,-2),=(2,2,0),
∴cos θ=|cos<,>|==,
所以直线PC与AB所成角的余弦值为.
另解:连接PF,CF,图略.易知AB∥PF,所以PC与AB所成的角为∠CPF,又△CPF为等边三角形,故cos∠CPF=cos 60°=,即直线PC与AB所成角的余弦值为.(12分)
②设=λ=λ(-2,-2,2)=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
则=+=(2,0,0)+(-2λ,-2λ,2λ)=(2-2λ,-2λ,2λ),(14分)
易得平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记k=(0,0,1),
设直线CQ与平面ABC所成的角为β,
则sin β=|cos<,k>|===,
化简得3λ2+2λ-1=0,解得λ=或λ=-1(舍去),(16分)
当λ=时,=,从而||=||=×2=,故BQ的长度为.(17分)
19.解析　(1)由题意可知直线AP:y=k1(x-2).
因为直线AP与抛物线Γ有两个交点,与直线l有一个交点,
所以k1≠1,且k1≠0.
由得所以A.
因为|AB|=,kl=1,所以B,
即B.(3分)
当直线BP的斜率不存在时,=2,解得k1=-3,满足题意.
当直线BP的斜率存在时,设为k2,则k2==(k1≠-3),
所以所以k1≠-3且k1≠且k1≠1.(6分)
综上,k1∈(-∞,0)∪∪∪(1,+∞).(7分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),R(x3,y3),S(x4,y4),
lAP:x=m1y+2,m1=∈(5,+∞),lBP:x=m2y+2,
由(1)知当0连接NR,MS.
因为==,==,
所以S△MPR=·S△NMR,S△SPN=·S△SMN,
故S△MPR·S△SPN=-·S△SMN·S△NMR.(9分)
记R,S到直线AP的距离分别为d3,d4,
则S△NMR=|MN|·d3,S△SMN=|MN|·d4.
由弦长公式得|MN|=·|y1-y2|,
则S△MPR·S△SPN=-·|MN|2·d3·d4=-·d3·d4.(12分)
由消去x,得y2-4m1y-8=0,所以y1y2=-8.
由消去x,得y2-4m2y-8=0,所以y3+y4=4m2,y3y4=-8.
故S△MPR·S△SPN=2(1+)·
=2=16(m1-m2)2.(14分)
又k2==,k1=,所以m2=,
故S△MPR·S△SPN=16=16≥16×=4 096,当且仅当m1-5=,即m1=9,即k1=时取等号.
故S△MPR·S△SPN的取值范围是[4 096,+∞).(17分)