【突破课堂】期末考试综合检测(一)--26版高中同步达标检测卷人教A版数学选必修2

高中同步达标检测卷
期末考试综合检测(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=f '(1)ln(2x+1)-x,则f '(1)的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.3　　　D.-3
2.已知等差数列{an}的前7项和为30,后7项和为110,前n项和为230,则项数n为(　　)
A.21　　　B.22　　　C.23　　　D.24
3.已知数列{an}满足a1=,且对任意s,t∈N*,都有as+t=asat,记数列的前n项和为Sn,若Sm≥2 023,则m的最小值为(　　)
A.9　　　B.10　　　C.11　　　D.12
4.已知函数f(x)=x3,若不等式f(ax+1)+f>0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°),再沿直线繁殖,……;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线OA11繁殖到A11,然后分叉沿直线A11A21与直线A11A22继续繁殖,其中∠A21A11A22=60°,且直线A11A21与直线A11A22关于直线OA11对称,A11A21=A11A22=OA11,…….若OA11=4 cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为(　　)
A.6　　　B.7　　　
C.8　　　D.9
6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,xf '(x)A.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(0,7)　　　D.(-∞,-3)∪(2,7)
7.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,e)　　　B.(-∞,-e)　　　C.(-∞,-2e)　　　D.(-∞,2e)
8.已知数列{an}满足a1=,an=1+ln an+1(n∈N*),记Tn为数列{an}的前n项积,则(　　)
A.T9∈　　　B.T9∈
C.T9∈　　　D.T9∈
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若函数f(x)=x--aln x在(1,3)上单调递减,则实数a的值可能为(　　)
A.-2　　　B.1　　　C.　　　D.4
10.已知正项数列{an}满足a1=1,an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1)(n∈N*),记Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1,T10=,则(　　)
A.是等差数列　　　B.a2 025=
C.Tn<1　　　D.ai>3
11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)=e2xf(x),且2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,则下列说法正确的是　(　　)
A.函数F(x)=exf(x)为偶函数
B.f(0)=0
C.不等式exf(x)+D.若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2<2a
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,以下命题正确的是　　　　　.(填序号)
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③-1是函数y=f(x)的极小值点;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
⑤曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零.
13.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前20项和S20=　　　　.
14.已知正数a,b满足ln b+≤ln a-a4+ln 2,则a+b=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1.
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)记bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值.
16.(15分)已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若方程f(x)=k有3个不同的实根,求实数k的取值范围.
17.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设是首项为1,公比为3的等比数列.
①求数列{bn}的前n项和Tn;
②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
18.(17分)已知函数f(x)的定义域为I,设xn∈I,曲线f(x)在点(x0, f(x0))处的切线交x轴于点(x1,0),……,曲线f(x)在点(xn, f(xn))处的切线交x轴于点(xn+1,0),称数列{xn}为函数f(x)关于x0的“N数列”,已知f(x)=2x-ln(x+1).
(1)求证:f(x)的图象与x轴有两个交点;
(2)若g(x)=f '(x),{an}是函数y=g(x)关于a0=-的“N数列”,记bn=log2|2an+1|.
①证明数列{bn}(n∈N*)为等比数列,并求其通项公式;
②记cn=(n∈N*),证明:c1+c2+…+cn<2.
19.(17分)已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2.
①求实数a的取值范围;
②求证:+>.
答案与解析
1.D　由f(x)=f '(1)ln(2x+1)-x,得f '(x)=f '(1)·-1,
所以f '(1)=f '(1)×-1,解得f '(1)=-3.
2.C　设等差数列{an}的前n项和为Sn.由题意得
两式相加得7(a1+an)=140,即a1+an=20,
又Sn==230,所以n=23.
3.B　令s=n,t=1,则an+1=ana1,又a1=,∴an+1=an,
∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
∴an=×=,故=2n=2×2n-1,
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴Sn==2n+1-2.
由Sm≥2 023得2m+1-2≥2 023,即2m+1≥2 025,
∵210=1 024,211=2 048,∴m+1≥11,即m≥10,
∴m的最小值为10.
4.A　易知函数f(x)=x3是R上的增函数,且f(x)=-f(-x).
因为f(ax+1)+f>0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(ax+1)>-f(-ln x)=f(ln x)在(0,+∞)上恒成立,
所以ax+1>ln x在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,所以a>.
令g(x)=,则g'(x)=,
令g'(x)>0,得0e2,
所以g(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,
所以g(x)≤g(e2)=,因此a>.
5.C　由题意可知,只要计算出黏菌一直繁殖下去,在直线OA11方向上繁殖的距离的范围,就可确定培养皿的半径的范围.
由黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在直线OA11方向上前进的距离(单位:cm)依次为:4,2×,1,×,,×,…,
若黏菌无限繁殖下去,则它每次繁殖在直线OA11方向上前进的距离(单位:cm)的和为+×≈+×=,
因为7<<8,所以培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8.
6.D　令g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g'(x)=,
∵当x∈(0,+∞)时,xf '(x)∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),
∴g(-x)====g(x),
∴g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增.
由5f(2-x)+(x-2)f(5)<0得5f(2-x)<(2-x)f(5),
当2-x>0,即x<2时,不等式可化为 < ,即g(2-x)由g(x)在(0,+∞)上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故x<-3;
当2-x<0,即x>2时,不等式可化为 >,即g(2-x)>g(5)=g(-5),由g(x)在(-∞,0)上单调递增得2-x>-5,解得x<7,故2综上所述,不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞,-3)∪(2,7).
7.C　设g(x)=f(x)+ex.因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,所以函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,
当x∈(-∞,0)时,g(x)=f(x)+ex=e-x+ex,则g'(x)=-e-x+e,
所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
则g(x)≥g(-1)=0,且当x→0-时,g(x)→1;当x→-∞时,g(x)→+∞.
当x∈(0,+∞)时,g(x)=f(x)+ex=a++ex,
则g'(x)=-+e=,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则g(x)≥g(1)=a+2e,且当x→0+时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.
综上所述,g(x)的大致图象如图所示,
由图可知,当a+2e<0,即a<-2e时,函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,
即方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根.
8.C　因为an=1+ln an+1,所以an+1=.
下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,0当n=1时,a1=,结论成立;
假设n=k(k∈N*)时,结论成立,即0当n=k+1时,ak+1=,
因为0所以当n=k+1时,结论也成立.
综上所述,0记函数f(x)=ln x-(x-1)(0因为00,所以f(x)在(0,1)上单调递增,
所以f(x)记g(x)=ln x-(0则g'(x)=-=>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)即ln x<在(0,1)上恒成立,
所以an-1=ln an+1<,所以<,
所以->1,则->1,->1,……,->1,由累加法得->(n-1)×1(n≥2),
将a1=代入,得>n+3,n≥2,所以an>1-=,n≥2,
所以T9=a1×a2×…×a9>×××…×=×=,即T9>.
记h(x)=ln x-+(0h(1)=0,即ln x>-在(0,1)上恒成立.
所以an-1=ln an+1>-=,所以1-an<,
所以an+1<,
所以T9=a1×a2×…×a9<××…×==2(1-a9)2,
因为an>,n≥2,所以综上所述,9.CD　由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1+-=,
若f(x)在(1,3)上单调递减,则f '(x)≤0在(1,3)上恒成立,即x2-ax+1≤0在(1,3)上恒成立,所以a≥x+在(1,3)上恒成立,易知y=x+在(1,3)上单调递增,所以2结合选项可知,实数a的值可能为,4.
10.ACD　因为an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1),所以-1=1-,即+=2,即+=,所以数列为等差数列,故A正确;
设等差数列的公差为d,又a1=1,所以=1+(n-1)d,则an=,
若d=0,则an=1,所以T10=10=10,不符合题意,所以d≠0,
所以anan+1==,
所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=
=,则T10==,解得d=1,
所以an=,Tn=1-<1,所以a2 025=,故B错误,C正确;
设f(x)=x-ln(x+1),x>0,则f '(x)=1-=>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x-ln(x+1)>f(0)=0,所以当x>0时,x>ln(x+1),
故>ln,x>0,所以ai=>ln=ln,
又ln=ln+ln+ln+…+ln
=ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln 51-ln 50
=ln 51-ln 1=ln 51>ln e3=3,所以ai>3,故D正确.
11.AB　对于A,易知F(x)的定义域为R,因为f(-x)=e2xf(x),所以e-x·f(-x)=exf(x),即F(-x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故A正确;
对于B,由2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,得2e2xf(x)+e2xf'(x)=(2x+1)e2x-1,即[e2xf(x)]'=(2x+1)e2x-1,所以[f(-x)]'=(2x+1)e2x-1,
则-f'(-x)=(2x+1)e2x-1,故-f'(x)=(1-2x)e-2x-1,
所以2f(x)=2x+1-e-2x-f'(x)=2x(1-e-2x),
则f(x)=x(1-e-2x),所以f(0)=0,故B正确;
对于C,exf(x)+=xex(1-e-2x)+=xex-+=xex,
令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,+∞)时,g '(x)>0,函数g(x)单调递增,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=e,即exf(x)+>e,故C错误;
对于D,方程-(x-a)2=0即e-2x=1-(x-a)2,方程有两个不相等的实数根等价于函数y=e-2x与y=1-(x-a)2的图象有两个交点,易知函数y=e-2x单调递减,函数y=1-(x-a)2的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,当x>a时,函数y=1-(x-a)2单调递减,
若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨令x1,所以1-(x1-a)2>1-(x2-a)2,
设x3>a且x1+x3=2a,则有1-(x1-a)2=1-(x3-a)2,
所以1-(x3-a)2>1-(x2-a)2,所以x32a,故D错误.
12.答案　①④⑤
解析　根据题中导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时, f '(x)<0,当x∈(-3,1)时, f '(x)≥0,且仅在x=-1处取“=”,
∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故-3是函数y=f(x)的极值点,故①④正确.
-1既不是函数y=f(x)的极小值点,也不是最小值点,故②③错误.
对于⑤,由题中导函数的图象可得f '(0)>0,故曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零,故⑤正确.
13.答案　110
解析　当n为奇数时,可得
所以an+1+an-1=2n-1,n≥3;
当n为偶数时,可得
所以an+1+an-1=1,n≥2,
所以S20=(a1+a3+a5+a7+…+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+…+a18+a20)
=1×5+(5+13+21+29+37)=110.
14.答案　
解析　由ln b+≤ln a-a4+ln 2,得ln a-a4+ln-+ln 2≥0.
令f(x)=ln x-x4,则f '(x)=-4x3=,易知f '(x)在(0,+∞)上单调递减,且f '=0,
故当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
又f=ln-=-ln 2-,
所以f(x)≤-ln 2-,即f(x)+ln 2+≤0,
故f(a)+ln 2++f+ln 2+=f(a)+f+ln 2≤0,当且仅当a==时,等号成立.
由题可知, f(a)+f+ln 2≥0,故f(a)+f+ln 2=0,
故a==,即a=,b=,故a+b=.
15.解析　(1)证明:由=+1(n≥2,n∈N*)得{}为等差数列,且公差为1,又==1,
所以=1+(n-1)=n,即Sn=n2,(2分)
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=1也符合上式,所以an=2n-1,(5分)
当n≥2时,an-an-1=2n-1-(2n-3)=2,
故{an}是公差为2的等差数列.(6分)
(2)由(1)得bn===,(8分)
所以Tn=
==,(10分)
由Tn≥可得≥,整理得2n2-3n-1≥0,(11分)
由二次函数的性质可知y=2n2-3n-1(n∈N*)随n的增大而增大,当n=1时,y=2-3-1<0,n=2时,y=8-6-1>0,
故使Tn≥成立的n的最小值为2.(13分)
16.解析　(1)由已知得f '(x)=3ax2-b,
由题意得解得(2分)
所以f(x)=x3-4x+4, f '(x)=x2-4,(4分)
令f '(x)=0,解得x=-2或x=2,
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表,
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增
因此当x=2时, f(x)有极小值-,满足题意.
(7分)
易得f(1)=, f '(1)=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即9x+3y-10=0.
(9分)
(2)由(1)可得函数f(x)=x3-4x+4的大致图象如图,
若f(x)=k有3个不同的实根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-17.解析　(1)由已知得即(2分)
整理得又d≠0,所以d=2,a1=3,(4分)
所以数列{an}的通项公式是an=2n+1.(5分)
(2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1,(7分)
所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1,
3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,
则-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n
=3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n,(9分)
所以Tn=n·3n.(10分)
②由(1)得Sn==n2+2n,(11分)
所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立.
令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ,(12分)
易得f(n+1)-f(n)=-=,
当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,
所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-.(15分)
18.解析　(1)证明:由题意得f(x)的定义域为(-1,+∞), f '(x)=2-=,(1分)
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,(3分)
所以f(x)min=f=-1+ln 2<0,
因为f=2×-ln=>0,f(e-1)=2×(e-1)-ln e=2e-3>0,(5分)
所以f(x)在和上各有一个零点,即f(x)的图象与x轴有两个交点.(6分)
(2)①由(1)得g(x)=f '(x)=,则g'(x)=,(7分)
则曲线g(x)在(an,g(an))处的切线斜率为g'(an)=,
所以曲线g(x)在(an,g(an))处的切线方程为y-=(x-an),由已知得该切线过点(an+1,0),则-=(an+1-an),即an+1=an-(2an+1)(an+1)=-2-2an-1,(9分)
所以-(2an+1+1)=(2an+1)2,因此bn+1=log2|2an+1+1|=2log2|2an+1|=2bn,
则b1=2log2|2a0+1|=2log2=-2,
所以{bn}(n∈N*)是首项为-2,公比为2的等比数列,所以bn=-2n.(12分)
②证明:由①得bn=-2n,则cn=<=<=2(-),(15分)
则c1+c2+…+cn<2(-0+-+…+-)=2.(17分)
19.解析　(1)因为f(x)=ax+(a-1)ln x+,
所以f '(x)=a+-==,x>0.(2分)
当a≤0时, f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当a>0时,由f '(x)>0得x>,由f '(x)<0得0所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(5分)
(2)①方程f(x)=xex-ln x+可化为xex=ax+aln x,即ex+ln x=a(x+ln x).
令t=x+ln x,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,
结合题意,可知关于t的方程et=at(*)有两个不相等的实数根t1,t2.
因为t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为=a.(7分)
令g(t)=,t≠0,则g'(t)=.
由g'(t)<0得t<0或00得t>1,
所以函数g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数g(t)的极小值为g(1)=e,
当t<0时,g(t)=<0;当t>0时,g(t)=>0.(9分)
在同一平面直角坐标系内作出函数y=g(t)的图象和直线y=a,如图所示,
由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点,
所以实数a的取值范围是(e,+∞).(11分)
②证明:易知x1>0,x2>0,要证+>,只需证x1+x2>2a,即证a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证at1+at2>2a,即证t1+t2>2.(12分)
结合①,不妨设0因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln.
所以只需证>,即证>.
令p=,则p>1,只需证ln p>.(15分)
令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=-=>0,
所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证.(17分)