(共20张PPT)
第二章 分式与分式方程
1 认识分式
第1课时 分式的概念
知识点1 分式的概念
一般的，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成__的形式，如
果B中含有_____，那么称为__分式，其中A称为分式的_____，
B称为分式的_____．对于任意一个分式，分母都不能为___．
字母
分子
分母
零
知识点2 分式有无意义和分式的值为零的条件
分母B≠0
分母B＝0
知识点3 分式值为正、负的条件
1．分式值为正，分子、分母_____．
2．分式值为负，分子、分母_____．
3．分式值为1，则分子等于_____，且分母_________．
同号
异号
分母
不等于零
思路导析 根据分式的概念进行判断即可．
x≠1且x≠－2
思路导析 由分式的值为零，得分子为0且分母不为0，据此逐一列式求解即可．
解：(1)由题意，得
x＋1＝0，且x≠0，
解得x＝－1；
(2)由题意，得
x2－1＝0，且x＋1≠0，
解得x＝±1且x≠－1，
即x＝1；
(3)由题意，得
|x|－2＝0①，且x2＋5x＋6≠0②，
解①，得x＝±2，
当x＝2时，x2＋5x＋6＝20≠0，
当x＝－2时，x2＋5x＋6＝0，故舍去，
则x＝2.
1
－1
思路导析 (1)分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解；
(2)分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解．
<2
2
x≠2
－2
x＜1且x≠0(共28张PPT)
第2课时 解分式方程
知识点 解分式方程
1．解法：一化，方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为___
_______；二解，解这个_________；三检验，检验是否适合原分
式方程．
2．增根：(1)定义：在方程变形中产生的不适合原方程的根．
(2)产生原因：在方程两边同乘了一个使分母为___的整式．
整
式方程
整式方程
零
思路导析 (1)两边同乘(x－1)(2x＋1)去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可；
(2)两边同乘(x－2)去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可．
－3
解析：去分母，得k＋3＝x－2，
∵分式方程有增根，
∴x－2＝0，
解得x＝2，
把x＝2代入k＋3＝x－2，得k＋3＝2－2，
解得k＝－3.
【方法技巧】
增根问题可按如下步骤求解：①化分式方程为整式方程；②根据最简公分母确定增根；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值或取值范围．
－1
思路导析 先解分式方程，求出分式方程的解(含待定字母)，再根据分式方程解的情况求待定字母的值或取值范围即可．
解析：方程两边同时乘以x－1，得2＝x－1－m，
解得x＝m＋3，
∵分式方程 的解为正数，
∴m＋3>0，
∴m>－3，
又∵x≠1，
即m＋3≠1，
∴m≠－2，
∴m的取值范围为m>－3且m≠－2.
【注意】
分式方程无解的情况有两种：(1)分式方程化成的整式方程无解，则分式方程也无解；(2)化成的整式方程的解都是该分式方程的增根，均被舍掉，则分式方程无解．
x＝－4
解：(1)方程两边都乘(x＋1)(x－1)，
得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以原分式方程的解是x＝－3；
(2)原方程去分母，得x(x＋2)＝8＋x2－4，
去括号，得x2＋2x＝8＋x2－4，
移项、合并同类项，得2x＝4，
系数化成1，得x＝2，
检验：当x＝2时，x2－4＝22－4＝0，
∴x＝2不是原分式方程的解，原分式方程无解.(共16张PPT)
4 分式方程
第1课时 分式方程
知识点 分式方程的定义
分母中含有_______的方程叫做分式方程．
未知数
思路导析 利用分式方程的定义进行判断即可．
【规律总结】
判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程．要注意：识别分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形，更不能用等式性质变形．
5．下面是学习分式方程时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程．
则冰冰同学所列方程中的x表示___________________，庆庆同
学所列方程中的y表示_________________________．
每个小组学生的人数
原计划每名学生做的彩旗数(共25张PPT)
第2课时 异分母分式的加减法
知识点1 通分
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，
这一过程称为分式的通分．异分母分式通分时，通常取最简单
的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母．
知识点2 最简公分母的确定方法
1．系数取各分母系数的___________；
2．字母取_____字母的最___次幂；
3．因式取_____因式的最___次幂．
最小公倍数
所有
所有
高
高
知识点3 异分母的分式加减法
1．法则：异分母的分式相加减，先_____，化为_______的分式，
然后再按_______分式的加减法法则进行计算．
通分
同分母
同分母
24a2b3c
6(a－b)(a＋b)2
思路导析 根据最简公分母的确定方法依次确定即可．
12xy2
2x(x－2)
思路导析 先找出各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可．
思路导析 异分母分式相加减时，先通分，化成同分母分式，然后依照同分母分式加减法法则计算．
0
思路导析 (1)先将分母通分成统一的(a＋b)(a－b)，然后再进行计算即可；
(2)先将分母通分为2(x＋2)(x－2)，然后再进行计算即可．
【规律总结】
分数线具有两个作用：①括号的作用；②除号的作用．因此在分式加减运算中，当分子是多项式时，要用括号括起来，才能保证解题准确．
6x2y(x－y)(共19张PPT)
第2课时 分式的基本性质
不等于零
不变
知识点2 约分
1．定义：
把一个分式的分子和分母的_______约去，这种变形称为分式的
约分．
2．公因式的确定方法：
(1)系数取各项系数的___________；
(2)字母取_____字母的最___次幂．
公因式
最大公约数
相同
低
知识点3 最简分式
分子和分母没有_______的分式叫最简分式，化简分式时，通常
要使结果成为_________或者_____．
公因式
最简分式
整式
x＋1
a-3
思路导析 根据分式的基本性质，(1)中右边分母是把左边分母乘以(x＋1)，据此可得答案；(2)中先把右边分母分解因式，比较发现是在左边分母基础上乘以(a－3)，据此可得答案．
【温馨提示】
约分的关键是找出分子分母的公因式，若分子或分母出现多项式，应先将多项式分解因式，再找公因式，然后根据分式的基本性质将分子分母同时除以公因式，化为最简分式．
2
x＋y＋2(共14张PPT)
3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
知识点1 同分母分式的加减法
同分母的分式相加减，分母_____，把分子相_____．即
_____.
不变
加减
【注意】
结果要化成最简分式或整式．
2
思路导析 本题是同分母的分式的加减运算，“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减”，据此即可计算求解．
【规律总结】
(1)当分母互为相反数时，可通过分子、分母或分式本身合理变号，将其转化为同分母分式加减法．(2)解决此类题目的关键是掌握下列变形：a－b＝－(b－a)；y2－x2＝－(x2－y2)；(m－n)2＝(n－m)2；－x－y＝－(x＋y)；(－x－y)2＝(x＋y)2；(－x－y)3＝－(x＋y)3.
－x－2
2
思路导析 根据分式混合运算的法则，先算括号里面的，再算括号外面的．
－2
1
1(共25张PPT)
第3课时 分式方程的实际应用
知识点1 列分式方程解应用题的步骤
1．审：审清题意，找_________．
2．设：设未知数．
3．列：根据_________列分式方程．
4．解：解分式方程．
5．检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的
解是否符合_________．
6．答：写出答案(不要忘记写上单位)．
等量关系
等量关系
实际意义
知识点2 工程问题
(1)工作总量＝___________________；
(2)工作效率＝__________；
(3)工作时间＝__________．
工作效率×工作时间
知识点3 利润问题
1．(1)利润＝售价－_____；
(2)利润＝进价×_______；
(3)总利润＝单个利润×_________．
进价
利润率
销售数量
知识点4 行程问题
1．基本等量关系：
(1)路程＝速度×_____；
(2)速度＝_____；
(3)时间＝_____．
时间
2．相遇或追及问题：
(1)相遇：s快＋s慢＝s相距；
(2)追及：s快－s慢＝s相距．
3．航行问题：若用v表示轮船的速度，用v顺，v逆，v水分别表示
轮船顺水，逆水和水流的速度，则：
(1)v顺＝v＋___；
(2)v逆＝v－___；
(3)v＝_______；
(4)v水＝ _______．
v水
v水
考点1 工程问题
典例1 某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
思路导析 (1)设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可．
变式 [2024·山东]为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
A．200 B．300
C．400 D．500
考点2 价格问题
典例2 列分式方程解应用题：
某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为销售价，共获利6 000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2 000元．问此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
思路导析 根据题意第二个月的销售量比第一个月增加了100件．
等量关系为：第二个月的销售量－第一个月的销售量＝100，算
出后可得到此商品的进价，根据进价即可算出第二个月的销售量．
考点3 行程问题
典例3 [2023·广东]某学校开展社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度．
思路导析 设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h，根据题意列方程即可得到结论．
变式 [2024·云南]某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．
2．[2024·内蒙古]A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60千克，30千克
B．90千克，120千克
C．60千克，90千克
D．90千克，60千克
3．[2024·大庆]为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)为7：00～23：00，用电低谷时段(简称谷时)为23：00～次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．(共22张PPT)
第2课时 分子、分母为多项式的分式乘除法
知识点1 分式的乘除法
在进行分式相乘时，若分子或分母是多项式，应当先进行_____
_____，然后再约分，结果要化成_________或整式．
因式
分解
最简分式
知识点2 混合运算顺序
(1)先算乘方，再算乘除，有括号先算括号里面的；
(2)同级运算，从左到右，依次运算．
思路导析 根据公因式的定义及确定公因式的方法求解即可．
思路导析 先将分子与分母因式分解，再利用分式除法运算法则进而化简求解即可．
思路导析 根据分式乘除运算法则进行化简即可．
6(共20张PPT)
2 分式的乘除法
第1课时 分子、分母为单项式的分式乘除法
知识点1 分式的乘法
两个分式相乘，把_____相乘的积作为积的分子，把_____相乘的
积作为积的分母，即 ____．
分子
分母
颠倒位置
相乘
分别乘方
【温馨提示】
在进行分式乘除法运算时，结果应当是最简分式或整式．
思路导析 根据分式的乘法法则计算即可．
思路导析 根据分式的乘方法则进行计算即可．
思路导析 根据分式的除法法则计算即可．
思路导析 先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解．
－x5y10(共24张PPT)
第3课时 分式的混合运算
与化简求值
知识点1 分式的混合运算
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
(2)同级运算，从左到右，依次运算．
【注意】
运算结果要化成最简分式或整式．
知识点2 化简求值题目思路
(1)先化简：化简条件、化简式子；
(2)再求值：把数据带入化简的结果，进行计算．
【注意】
分式的计算要注意分母不为0这个隐藏条件．
思路导析 先算括号里的，然后再把除法转化为乘法．
思路导析 根据分式的混合运算法则把原式化简，先算括号里面的加减法，再和括号外的式子相除，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【规律总结】
分式的化简求值题型中，当从给出的范围中选取合适的字母的值时，要注意所选的值不能使原式中的各个分母为零，也不能使除变乘后的分母为零．
