(共21张PPT)
第3课时 提公因式法和公式法的综合运用
知识点1 因式分解的一般思路
因式分解的一般思路为：1提，2用，3分，4查，如若行不通，
展开整理成降幂排列，按以上顺序重新考虑．
1提：首先考虑能否用提公因式法；
2用：其次考虑能否用公式法、十字相乘法(见考点2)；
3分：第三考虑能否用分组分解法(见考点3)；
4查：一检查分解是否正确，二检查分解是否彻底．
知识点2 各方法适用范围
(1)提公因式法是万能法，只要有公因式就能用，并且要首先考虑运用；
(2)平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式；
(3)分组分解法适用于四项以及四项以上的多项式．
知识点3 因式分解的几点要求
(1)首项符号不能为负；
(2)结果不能含有中括号；
(3)能合并要合并；
(4)能缩写要缩写；
(5)分解要彻底．
考点1 提公因式法和公式法的综合
典例1 因式分解：
(1)18x3y－50xy3；
(2)－7(x2＋1)2＋28x2.
思路导析 (1)先提公因式，再运用平方差公式分解即可；(2)先
提公因式，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式逐步分解．
解：(1)18x3y－50xy3
＝2xy(9x2－25y2)
＝2xy(3x＋5y)(3x－5y)；
(2)－7(x2＋1)2＋28x2
＝－7[(x2＋1)2－4x2]
＝－7(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)
＝－7(x＋1)2(x－1)2.
变式 (1)[2024·通辽]因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝_________；
(2)因式分解：－3(x－1)2＋18(x－1)－27＝__________．
3a(x－y)2
－3(x－4)2
典例2 因式分解：
(1)(m＋1)(m－9)＋8m；
(2)(x＋1)(x＋2)＋ .
思路导析 先去括号展开成降幂排列，然后再次考虑“1提2用3
分4查”来分解因式．
变式 (1)[2024·威海]因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝_______；
(2)因式分解：4y(y－x)＋x2＝________．
(x＋3)2
(x－2y)2
考点2 十字相乘法
典例3 因式分解：
(1)x2＋5x＋6；
(2)x2－4x－12.
思路导析 利用多项式的乘法，可以得到(x＋a)(x＋b)＝x2＋
(a＋b)x＋ab，反过来，就可以利用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)
(x＋b)来因式分解．
解：(1)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)；
(2)x2－4x－12＝(x＋2)(x－6).
变式 因式分解：
(1)x2＋2x－15；(2)x2－10x＋21.
解：(1)原式＝(x－3)(x＋5)；
(2)原式＝(x－3)(x－7).
考点3 分组分解法
典例4 因式分解：x2－1－y2＋2y.
思路导析 先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式因式分解．
解：x2－1－y2＋2y
＝x2－(y2－2y＋1)
＝x2－(y－1)2
＝(x－y＋1)(x＋y－1).
变式 (1)因式分解：x2－2xy＋y2＋2x－2y－8＝_______________
_____；
(2)因式分解：9－a2＋4ab－4b2＝_____________________．
(x－y＋4)(x－y
－2)
(3＋a－2b)(3－a＋2b)
1．[2024·云南]分解因式：a3－9a＝( )
A．a(a－3)(a＋3) B．a(a2＋9)
C．(a－3)(a＋3) D．a2(a－9)
2．[2024·绥化]分解因式：2mx2－8my2＝_________________．
3．[2024·广元]分解因式：(a＋1)2－4a＝_______．
4．分解因式：a2－2ab－1＋b2＝___________________．
2m(x＋2y)(x－2y)
(a－1)2
(a－b＋1)(a－b－1)
5．因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；
解：原式＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)(x－1)(x－3)＋1；
解：原式＝x2－4x＋3＋1
＝x2－4x＋4
＝(x－2)2;
(3)x2＋5x－14；
解：原式＝(x＋7)(x－2);
(4)x2－x－2y－4y2.
解：原式＝x2－4y2－x－2y
＝(x＋2y)(x－2y)－(x＋2y)
＝(x＋2y)(x－2y－1).(共21张PPT)
3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
知识点 平方差公式
1．公式：a2－b2＝_____________．
2．特征：(1)左边是二项式，为两数的平方差；
(2)右边是这两数之和乘以这两数之差．
(a＋b)(a－b)
考点1 用平方差公式因式分解
典例1 因式分解：(1)－ x2＋y2；
(2)1－16a4；
(3)a2(x－y)＋4b2(y－x)．
思路导析 (1)直接利用平方差公式因式分解得出答案；(2)先直接利用平方差公式进行因式分解，得(1＋4a2)(1－4a2)，再进一步分解(1－4a2)，分解彻底；(3)先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【注意】
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解．
变式 把下列各式因式分解：
(1)81x4－16y4；
解：(1)81x4－16y4
＝(9x2＋4y2)(9x2－4y2)
＝(9x2＋4y2)(3x＋2y)(3x－2y);
(2)9(m＋n)2－25(m－n)2；
解：9(m＋n)2－25(m－n)2
＝[3(m＋n)＋5(m－n)][3(m＋n)－5(m－n)]
＝(8m－2n)(8n－2m)
＝4(4m－n)(4n－m);
(3)x4(x－2y)＋x2(2y－x)；
解：x4(x－2y)＋x2(2y－x)
＝x4(x－2y)－x2(x－2y)
＝x2(x－2y)(x2－1)
＝x2(x－2y)(x＋1)(x－1);
(4)(a＋b－5)2－(a－b＋5)2.
解：(a＋b－5)2－(a－b＋5)2
＝(a＋b－5＋a－b＋5)(a＋b－5－a＋b－5)
＝2a(2b－10)
＝4a(b－5).
考点2 平方差公式的应用
典例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2－bc＝b2－ac，试判断△ABC的形状．
思路导析 由a，b，c是△ABC的三边，得a，b，c都大于0，原式整理可得a＝b，从而知道三角形一定是等腰三角形．
解：∵a2－bc＝b2－ac，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a＋b)(a－b)＋c(a－b)＝0，
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，
∵a，b，c是三角形的边，
∴a，b，c都大于0，
∴a－b＝0，∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形.
变式 224－1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是( )
A．64，63 B．61，65
C．61，67 D．63，65
1．[2024·徐闻县期末]下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2＋y2
B．－x2－y2
C．x2－y2＋1
D．－x2＋4y2
2．[2024·承德期末]若k为任意整数，则(k＋1)2－(k－1)2的值总能( )
A．被4整除 B．被5整除
C．被6整除 D．被7整除
3．[2024·万州区期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若(a＋b)2＝c2＋80，a＋b－c＝4，则c的长是( )
A．20 B．16
C．8 D．4
20
6．因式分解：
(1)p4－1；
解：原式＝(p2＋1)(p2－1)
＝(p2＋1)(p＋1)(p－1);
(2)(x－2y)2－4x2；
解：原式＝[(x－2y)＋2x][(x－2y)－2x]
＝(3x－2y)(－x－2y)
＝－(3x－2y)(x＋2y);
(3)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
解：原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y);
(4)(4a＋b)2－(a＋b)2.
解：原式＝(4a＋b＋a＋b)(4a＋b－a－b)
＝3a(5a＋2b).(共20张PPT)
2 提公因式法
第1课时 提公因式法(1)
知识点1 公因式
1．定义：多项式各项都含有的_________，叫做这个多项式各
项的公因式．
2．确定公因式的方法：
(1)系数取各项系数的___________；
(2)字母取_____字母的最___次幂．
相同因式
最大公约数
相同
低
知识点2 提公因式法
1．定义：如果一个多项式的各项含有_______，那么就可以把
这个_______提出来，从而将多项式化成两个因式_____的形式，
这种因式分解的方法叫做提公因式法．
2．提公因式法因式分解的依据：逆用乘法_____律，即am＋bm＋
cm＝__(a＋b＋c)，运用这一方法时，要准确提出最大公因式，使
得提出公因式后，多项式的各项不再含有公因式．
公因式
公因式
乘积
分配
m
考点1 确定公因式
典例1 指出下列多项式的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y；
(2)27a2b3－36a3b2＋9a2b.
思路导析 根据公因式的定义及确定公因式的方法求解即可．
解：(1)3a2y－3ay＋6y的公因式是3y；
(2)27a2b3－36a3b2＋9a2b的公因式是9a2b.
变式 [2024·滨海新区期末]把多项式4x2y2z－12xy2z－6xyz2分解因式时，应提取的公因式是( )
A．xyz B．2xy
C．2xyz D．2x2y2z2
考点2 提单项式公因式因式分解
典例2 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3；
(2)8a3b2－12ab3c＋ab.
思路导析 (1)找到公因式x，进而提取公因式进行分解；(2)找到公因式ab，进而提取公因式进行分解．
解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2)；
(2)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋1).
变式 因式分解：
(1)2x3y＋8x2y2；
(2)45a3b2c＋9a2bc－54a2b2c.
解：(1)原式＝2x2y(x＋4y)；
(2)原式＝9a2bc(5ab＋1－6b).
考点3 提公因式法的应用
典例3 利用因式分解进行计算：
(1)32×20.24＋85×20.24－17×20.24；
(2)6 600×0.202 5＋530×2.025－19×20.25.
思路导析 (1)多项式中有公因式20.24，直接提公因式进行计算；(2)可把多项式中的0.202 5，2.025和20.25化成相同的因式，然后再提公因式计算即可．
解：(1)原式＝20.24×(32＋85－17)
＝20.24×100
＝2 024；
(2)原式＝66×20.25＋53×20.25－19×20.25
＝20.25×(66＋53－19)
＝20.25×100
＝2 025.
变式 利用因式分解进行计算：
147×0.18＋14.7×4.3＋1.47×39.
解：原式＝147×0.18＋147×0.43＋147×0.39
＝147×(0.18＋0.43＋0.39)
＝147.
典例4 已知x＋y＝10，xy＝1.
求：(1)x2y＋xy2；(2)(2x＋3)(2y＋3)．
思路导析 (1)先因式分解，然后把x＋y＝10，xy＝1代入即可得到结论；(2)根据多项式乘多项式的法则把它展开，将得到的结果部分因式分解，然后把x＋y＝10，xy＝1代入计算即可．
解：(1)x2y＋xy2
＝xy(x＋y)
＝1×10
＝10；
(2)(2x＋3)(2y＋3)
＝4xy＋6x＋6y＋9
＝4xy＋6(x＋y)＋9
＝4×1＋6×10＋9
＝73.
变式 [2024·河北区期末]如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为( )
A．80
B．96
C．192
D．240
1．[2024·江岸区期末]把9mn＋6mn2分解因式，应提取的公因式是( )
A．3m B．mn
C．3mn D．mn2
2．计算(－2)2 025＋22 024的结果是( )
A．－2 B．－22 024
C．22 024 D．－22 025
3．[2024·文登区期中]下列多项式的分解因式，正确的是( )
A．12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xyz)
B．3a2y－3ay＋6y＝3y(a2－a＋2)
C．－x2＋xy－xz＝－x(x2＋y－z)
D．a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
4．[2024·山东]因式分解：x2y＋2xy＝_________．
5．若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－15，则ab的值是____．
xy(x＋2)
－3
6．把下列各式因式分解．
(1)x2＋xy；
(2)15bc2－10a2bc－20ab2c.
解：(1)x2＋xy＝x(x＋y)；
(2)15bc2－10a2bc－20ab2c＝5bc(3c－2a2－4ab).(共18张PPT)
第2课时 提公因式法(2)
知识点1 添括号法则
括号前面添“＋”号，括到括号里的各项都_______；括号前面
添“－”号，括到括号里的各项都_____．
即a－b＋c＝＋(________)；
a－b＋c＝－(__________)．
不变号
变号
a－b＋c
－a＋b－c
知识点2 常见的多项式变形
当n为偶数时，(x－y)n＝_______；
当n为奇数时，(x－y)n＝_________．
(y－x)n
－(y－x)n
知识点3 因式分解的几点要求
(1)首项符号不能为负；
(2)结果不能含有中括号；
(3)能合并要合并；
(4)能缩写要缩写；
(5)分解要彻底．
考点1 提首项是负数的单项式公因式因式分解
典例1 把下列各式因式分解：
(1)－4a3b3＋6a2b－2ab；
(2)－3x3myn－1－2x2myn＋6xmyn＋1.
解：(1)－4a3b3＋6a2b－2ab
＝－(4a3b3－6a2b＋2ab)
＝－(2ab·2a2b2－2ab·3a＋2ab·1)
＝－2ab(2a2b2－3a＋1)；
(2)－3x3myn－1－2x2myn＋6xmyn＋1
＝－(3x3myn－1＋2x2myn－6xmyn＋1)
＝－xmyn－1(3x2m＋2xmy－6y2).
【规律总结】
1.首项是负数时，通常先提出负号，使括号内第一项的系数为正数．注意提负号后，括号里面的各项要改变符号.2.注意和公因式相同的项提公因式后为1，不得漏项．
变式 因式分解：
(1)－15a3b2＋9a2b2－3ab3；
(2)－9xm＋1－21xm＋15xm－1.
解：(1)原式＝－3ab2(5a2－3a＋b)；
(2)原式＝－3xm－1(3x2＋7x－5).
考点2 提多项式公因式因式分解
典例2 把下列多项式因式分解：
(1)y(2a－b)＋x(2a－b)；
(2)(3x－4y)(5x－6y)－(7x－8y)(6y－5x)．
思路导析 (1)提多项式公因式(2a－b)即可；
(2)将(6y－5x)变为－(5x－6y)，然后再提多项式公因式(5x－6y)
即可．
解：(1)y(2a－b)＋x(2a－b)
＝(2a－b)(y＋x)；
(2)(3x－4y)(5x－6y)－(7x－8y)(6y－5x)
＝(3x－4y)(5x－6y)＋(7x－8y)(5x－6y)
＝(5x－6y)(3x－4y＋7x－8y)
＝(5x－6y)(10x－12y)
＝2(5x－6y)(5x－6y)
＝2(5x－6y)2.
变式 把下列各式因式分解：
(1)(x－2y)(x＋3y)－(2y－x)2；
(2)(a－b)(a＋b)2－(a＋b)(a－b)2＋2b(a2＋b2)．
解：(1)原式＝(x－2y)(x＋3y)－(x－2y)2
＝(x－2y)(x＋3y－x＋2y)
＝5y(x－2y)；
(2)原式＝(a－b)(a＋b)(a＋b－a＋b)＋2b(a2＋b2)
＝2b(a2－b2)＋2b(a2＋b2)
＝2b(a2－b2＋a2＋b2)
＝4a2b.
1．下列因式分解正确的是( )
A．mn(m－n)－m(n－m)＝－m(n－m)(n＋1)
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
2．[2024·台湾]下列何者为多项式5x(5x－2)－4(5x－2)2的因式分解？( )
A．(5x－2)(25x－8)
B．(5x－2)(5x－4)
C．(5x－2)(－15x＋8)
D．(5x－2)(－20x＋4)
3．先化简，再求值：(x－1)2－(x＋1)(x－1)，其中x＝2 023.
解：(x－1)2－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(x－1－x－1)
＝－2(x－1)
＝－2x＋2，
∵x＝2 023，
∴(x－1)2－(x＋1)(x－1)＝－2x＋2＝(－2)×2 023＋2
＝－4 044.
4．把下列各式因式分解：
(1)(3a＋b)(2a－3b)＋4a(b＋3a)；
解：原式＝(3a＋b)(2a－3b＋4a)
＝(3a＋b)(6a－3b)
＝3(3a＋b)(2a－b);
(2)6(n－m)－12(m－n)2；
解：原式＝6(n－m)－12(n－m)2
＝6(n－m)[1－2(n－m)]
＝6(n－m)(1－2n＋2m);
(3)(x－2)2－x＋2.
解：原式＝(x－2)2－(x－2)
＝(x－2)[(x－2)－1]
＝(x－2)(x－3).(共21张PPT)
第2课时 用完全平方公式分解因式
知识点1 完全平方公式
1．公式：a2＋2ab＋b2＝_______；
a2－2ab＋b2＝_______.
2．特征：(1)左边是二次三项式，可以记为“首平方，尾平方，
首尾的二倍放中间”；
(2)右边是这两数和或差的平方．
(a＋b)2
(a－b)2
知识点2 公式法
把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做_______．
公式法
考点1 用完全平方公式因式分解
典例1 因式分解：
(1)a2＋6ab＋9b2；
(2)25a3－80a2＋64a；
(3)(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1；
(4)－4x3＋12x2y－9xy2.
思路导析 (1)(3)直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)(4)先提公因式，再将括号内部分利用完全平方公式因式分解即可．
解：(1)原式＝(a＋3b)2；
(2)原式＝a(25a2－80a＋64)
＝a(5a－8)2；
(3)原式＝(x2＋2x＋1)2
＝[(x＋1)2]2
＝(x＋1)4；
(4)原式＝－x(4x2－12xy＋9y2)
＝－x(2x－3y)2.
变式 把下列各式因式分解：
(1)x4－8x2y2＋16y4；
(2)3a(a2－1)2－18a(a2－1)＋27a.
解：(1)原式＝(x2－4y2)2
＝[(x－2y)(x＋2y)]2
＝(x－2y)2(x＋2y)2；
(2)原式＝3a[(a2－1)2－6(a2－1)＋9]
＝3a(a2－1－3)2
＝3a(a2－4)2
＝3a(a＋2)2(a－2)2.
考点2 完全平方公式的应用
典例2 (1)已知△ABC的三边a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC为 三角形；
(2)若代数式x2＋y2－14x＋2y＋50的值为0，求x2＋4xy＋4y2－5的值．
思路导析 (1)先因式分解，判断字母a，b，c之间的关系，再判定三角形的形状；
(2)先把原式拆项化为x2－14x＋49＋y2＋2y＋1＝0，可得(x－7)2＋(y＋1)2＝0，再利用非负数的性质求得x，y，最后将所求代数式化简为(x＋2y)2－5求解即可．
解：(1)∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边；
(2)∵x2＋y2－14x＋2y＋50＝0，
∴x2－14x＋49＋y2＋2y＋1＝0，
∴(x－7)2＋(y＋1)2＝0，
∴x－7＝0，y＋1＝0，
解得x＝7，y＝－1，
∴x2＋4xy＋4y2－5＝(x＋2y)2－5＝25－5＝20.
变式1 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋2c2＝
2c(a＋b)，则△ABC为_____三角形；
变式2 若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，则m＝____，n＝__．
等边
－3
3
1．[2024·松江区期末]下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是( )
A．x2－x＋0.25 B．16a2＋4a＋1
C．a2＋4ab＋4b2 D．a2－2a＋1
2．[2024·南安期末]小明利用完全平方公式进行因式分解“x2
＋4y2＝(x＋2y)2”时，墨迹将“x2 ＋4y2”中的一项及其符
号染黑了，则墨迹覆盖的一项是( )
A．＋4xy B．＋2xy
C．－4xy D．－2xy
3．[2025·黄石期末]已知a，b，c满足a2＋2b＋b2＋4a＝－5，则b－a的值为( )
A．1 B．－5
C．－3 D．－7
4．[2024·淄博]若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式
分解，则m的值是_____．
5．用简便方法计算：2 0252－4 050×2 023＋2 0232＝__．
±12
4
6．因式分解：
(1)3a2＋6ab＋3b2；
解：3a2＋6ab＋3b2
＝3(a2＋2ab＋b2)
＝3(a＋b)2;
(2)16－8(x＋y)＋(x＋y)2；
解：16－8(x＋y)＋(x＋y)2
＝42－8(x＋y)＋(x＋y)2
＝(x＋y－4)2;
(3)(a＋b)2－4a(a＋b)＋4a2；
解：(a＋b)2－4a(a＋b)＋4a2
＝(a＋b－2a)2
＝(b－a)2;
(4)－4ax2＋8axy－4ay2.
解：－4ax2＋8axy－4ay2
＝－4a(x－y)2.(共16张PPT)
第一章 因式分解
1 因式分解
知识点1 因式分解
定义：把一个多项式化成几个_____的___的形式．
【名师点拨】
分解的对象是多项式，分解后的结果是整式的积．
整式
积
【注意】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
(2)可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．
考点1 因式分解的定义
典例1 [2024·沙坪坝区期末]下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A．m(m＋n)＝m2＋mn
B．t2＋t＝t2(1＋ )
C．x2－4x＋3＝x(x－4)＋3
D．a2＋4a＋4＝(a＋2)2
【规律总结】 判断一个等式是不是因式分解的三个关键：
1．因式分解的左边必须是多项式．
2．因式分解的右边必须是几个整式的积的形式．
3．因式分解的结果中每个因式都必须是整式．
变式 [2024·长寿区期末]下列等式从左到右变形，是因式分解的是( )
A．2a－1＝a(2－ )
B．x2－2x＋1＝(x－1)2
C．(a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．x2＋x＋1＝x(x＋1)＋1
考点2 因式分解与整式乘法的关系
典例2 [2024·朝阳区期末]若分解因式x2＋mx－15＝(x＋3)
(x－5)，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－5 D．5
思路导析 先利用多项式乘多项式法则算乘法，再通过等式左右两边对应项系数相等求解m的值．
变式 已知x－5是多项式2x2＋8x＋a的一个因式，则a为( )
A．65 B．－65
C．90 D．－90
考点3 因式分解的几何意义
典例3 [数形结合][2024·长春二模]根据如图所示的拼图过程，
写出一个多项式的因式分解：___________________________．
x2＋2x＋4x＋8＝(x＋4)(x＋2)
思路导析 此类题目都是用分散和整体两种不同的方式表示面积，再根据面积相等得到等式．
变式 如图，将一张长方形纸板按图中虚线剪成九块，其中有两
块是边长为m的大正方形，两块是边长为n的小正方形，五块是长
为m，宽为n的全等小长方形，且m>n(以上长度单位：cm)．观察
图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以分解因式为________
________．
(m＋2n)
(2m＋n)
1．[2023·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4
C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y)
D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4)
2．对于①x－3xy＝x(1－3y) ②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3.从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
3．[2025·烟台期末]将多项式3x2－mx＋6进行因式分解得到
(x－3)(3x－n)，则m＋n的值为___．
4．因式分解x2＋ax＋b，甲看错了a值，分解的结果是(x－3)
(x＋2)，乙看错了b值，分解的结果是(x－2)(x－3)，那么a－b
的值是__．
13
1
5. [数形结合]【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
【小试牛刀】(1)请把表示图3面积的多项式因式分解；(直接写
出等式即可)
【自主探索】(2)请利用图1的卡片，将多项式2a2＋5ab＋3b2因
式分解，并画出图形．
解：(1)图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
∴图3的面积为a2＋3ab＋2b2，
又∵图3的面积又等于一个长为(a＋2b)，
宽为(a＋b)的长方形面积，
∴a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)；
(2)如图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的．
同理可得2a2＋5ab＋3b2＝(2a＋3b)(a＋b)．
