(共33张PPT)
3 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线
定义：连接三角形_________的线段叫做三角形的中位线．
符号语言：如图，
∵AD＝BD，AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线．
两边中点
【注意】
三角形的中位线和三角形的中线不同．
知识点2 三角形中位线定理
三角形的中位线_____于第三边，且_____第三边的一半．
符号语言：如图，
∵DE是△ABC的中位线，
∴_______且__________．
平行
等于
DE∥BC
DE＝ BC
知识点3 与三角形中位线相关的结论
1．三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的_____．
2．三条中位线将原三角形分割成四个_____的小三角形．
3．三条中位线将三角形划分出三个面积_____的平行四边形．
一半
全等
相等
知识点4 中点四边形
1．定义：顺次连接四边形各边_____所得到的四边形叫中点四
边形．
如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，DC，CB，AB
的中点，则四边形EFGH为中点四边形．
中点
2．相关结论：
(1)任意四边形的中点四边形都是___________．
(2)中点四边形周长是原四边形_______长度之和．
(3)中点四边形面积是原四边形面积的_____．
平行四边形
对角线
一半
知识点5 三角形中位线定理的推论
经过三角形一边的中点且平行于另一边的直线，必平分三角形
的第三边．可简记为：中点＋平行 另一中点．
考点1 利用中位线进行计算和证明
典例1 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中
点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为___．
20
思路导析 由三角形中位线的性质，得AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，由△DEF的周长为10，得EF＋DE＋DF＝10，所以2EF＋2DE＋2DF＝20，即可得△ABC的周长．
变式1 [2024·广安]如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( )
A．45° B．50°
C．60° D．65°
变式2 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，求∠PFE的度数．
考点2 添加辅助线构造中位线
典例2 如图所示，在四边形ABCD中，点M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，连接MN，PQ，请你探究MN与PQ的关系，并证明你的结论．
思路导析 连接MP，PN，NQ，MQ，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形MPNQ为平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明即可．
变式 如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EF交对角线BD于点G.求证：EG＝FG.
证明：如图，连接AC，交BD于点O，
连接OE，OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴OE∥BC，OF∥AB，
∴四边形OEBF是平行四边形，
∴EG＝FG.
考点3 三角形中位线定理的推论
典例3 在△ABC中，AD＝BD，DE∥AC，DE＝3，则AC＝__．
思路导析 由已知“AD＝BD，DE∥AC”，根据“中点＋平行 另一中点”可得点E为BC的中点，从而可得DE为△ABC的中位线，所以DE＝ AC.
6
变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°.DF⊥AC，DE⊥BC，点F为AC的中
点，若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长为_____．
5 cm
1．[2024·兰州]如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出A，C，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为( )
A．8 m B．24 m
C．36 m D．54 m
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为( )
A．60° B．65°
C．70° D．75°
3．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC
的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，
若AB＝CD＝2，则四边形ENFM的周长是__．
4
4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝
70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点，若BC＝6，求△PMN
的周长．
∴∠BPN＝∠BAD＝50°，
∴∠MPN＝180°－50°－70°＝60°，
又∵PM＝PN，
∴△PMN为等边三角形，
∴PM＝MN＝PN＝3，
∴△PMN的周长为9.
5．[2024·赤峰]如图，在△ABC中，D是AB的中点．
(1)求作：AC的垂直平分线l(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
解：(1)直线l如图所示，
6．[2024·扬州期中]如图，已知△ABC的中线BD，CE相交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点．
(1)求证：MD和NE互相平分；
(2)若BD⊥AC，OC2＝32，OD＋CD＝8，求△OCB的面积．
(2)∵MD和NE互相平分，
∴OD＝OM，
∵点M是OB的中点，
∴OB＝2OM，
∴OB＝2OD.
∵BD⊥AC，OC2＝32，
∴OD2＋CD2＝OC2＝32，
∵OD＋CD＝8，(共25张PPT)
第2课时 多边形的外角和
知识点1 多边形的外角
多边形内角的一边与另一边的反向_______所组成的角，叫做这
个多边形的外角．
延长线
【注意】
多边形的内角与相邻外角互补．
知识点2 多边形的外角和
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多
边形的外角和．
知识点3 多边形外角和定理
多边形的外角和都等于______．
360°
【注意】
(1)多边形的外角和是一个定值，与边数无关．
(2)正多边形的每一个外角都等于 .
考点1 多边形的外角
典例1 [2025·承德期末]如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数是( )
A．180° B．360°
C．540° D．700°
思路导析 根据多边形外角和求解即可．
变式 [2024·遂宁]佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A．36° B．40°
C．45° D．60°
考点2 多边形内角和与外角和的综合应用
典例2 有一个n边形的内角和与外角和的比是9∶2，则n边形的
边数为___．
11
思路导析 根据内角和定理，外角和定理列方程求解即可．
解析：设这个多边形的边数为n，
由题意，得(n－2)·180°∶360°＝9∶2，
解得n＝11.
变式 一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)该多边形共有多少条对角线．
考点3 利用多边形的外角和解决周长相关问题
典例3 如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转72°，再沿直线前进5米，又向左转72°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为( )
A．20米 B．25米
C．30米 D．35米
思路导析 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以72°求出边数，然后再乘以5米即可．
解析：∵小明每次都是沿直线前进5米后向左转72度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷72°＝5，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了5×5＝25(米).
【规律总结】
任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接用360°除以一个外角度数即可．
变式 [2024·望城区期末]如图，小林从点P向西直走6米后，向
左转，再走6米……如此重复，小林共走了72米回到点P，则α
为_____．
30°
考点4 多边形的多角和的计算
典例4 如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
思路导析 设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解．
解：连接BF，则∠A＋∠G＝∠1＋∠2.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝(5－2)×180°＝540°.
变式 填空：
(1)如图1所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝____度；
(2)如图2所示，∠A＋∠B＋∠BCE＋∠ADF＋∠E＋∠F＝____度．
图1
图2
360
360
1．[2024·西藏]已知正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的内角和为( )
A．900° B．720°
C．540° D．360°
2．一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有( )
A．5条 B．14条
C．9条 D．20条
3．[2024·济南]若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
4．[2024·赤峰]如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A．5 B．6
C．8 D．10
5．如图，已知∠1＝60°，∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠A＋∠B
＝______．
240°(共25张PPT)
第五章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(1)
知识点1 平行四边形
1．定义：两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形．如图，
四边形ABCD为平行四边形，记作 ABCD.
符号语言：如图，∵AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．平行四边形的对角线：平行四边形_______的两个顶点连成的
线段．平行四边形共有__条对角线．
平行
不相邻
2
知识点2 平行四边形的性质1
1．对称性：平行四边形是_____对称图形，两条对角线的_____
是它的对称中心．
2．边：平行四边形的对边_____且_____．
符号语言：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
AB∥CD，AD∥BC.
中心
交点
平行
相等
3．角：平行四边形的对角_____．
符号语言：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，∠C＝∠A.
相等
考点1 平行四边形的定义
典例1 如图，在 ABCD中．EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13个 B．14个
C．15个 D．18个
思路导析 根据平行四边形的定义逐个找出．
解析：根据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”按顺序逐一判断即可．
如图，则图中的四边形AEOM，AGPM，ABNM，EGPO，EBNO，GBNP，MOFD，MPHD，MNCD，OPHF，ONCF，PNCH，AEFD，AGHD，ABCD，EGHF，EBCF和GBCH都是平行四边形，共18个.
变式 如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有__个平行
四边形．
3
考点2 平行四边形的中心对称性
典例2 以 ABCD的对角线的交点O为原点，平行于AB边的直线为
x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2，－1)，
则C点坐标为_______．
(2，1)
思路导析 根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
变式 [2025·德州期中]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E.若AB＝6，AC＝
8，AD＝10，则图中阴影部分的面积是___．
12
考点3 平行四边形的边的性质
典例3 在 ABCD中，∠A的平分线把BC分成长
度是3和4的两部分，则 ABCD的周长是_______．
思路导析 设∠A的平分线与BC交于点E，根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB＝BE，BC＝BE＋EC，从而根据AB，BC的长可求出平行四边形的周长．
20或22
解析：在 ABCD中，
AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE.
当BE＝3，EC＝4时，
ABCD的周长为
2(AB＋BC)＝2×(3＋3＋4)＝20；
当BE＝4，EC＝3时，
ABCD的周长为
2(AB＋BC)＝2×(4＋4＋3)＝22.
【规律总结】
1.角平分线＋平行线 等腰三角形．
2．角平分线、平行线、等腰三角形可由二推一．
变式 [安顺中考]如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1 B．2
C．2.5 D．3
考点4 平行四边形的角的性质
典例4 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较大的内角是( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
思路导析 根据平行四边形对角相等，邻角互补性质，可设这两个角的度数分别为x°和3x°，则x＋3x＝180，解方程可得答案．
解析：设这两个角的度数分别为x°和3x°，
由题意，得x＋3x＝180，
解得x＝45.
所以，较大的角是3×45°＝135°.
变式 [2024·任城区期末]如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为( )
A．65° B．60°
C．55° D．50°
1．[2024·潍坊期末]在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1∶2，则∠C的度数是( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
2．[贵阳中考]如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为( )
A．6 B．12
C．18 D．24
3．[2023·株洲]如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD
＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝__．
2
4．[2023·凉山州]如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是
(0，0)，(3，0)，(1，2)．则顶点B的坐标是_______．
(4，2)
5．[2023·淄博]如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的
点，连接AE，CF，且AE∥CF.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)△ABE≌△CDF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠1＝∠2；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
∵四边形AECF是平行四边形，(共25张PPT)
第3课时 平行四边形的判定(3)
知识点1 平行四边形的判定
_______________的四边形是平行四边形．
符号语言：如图，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分
知识点2 判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 (1)另一组对边也相等
(2)相等的边也平行
一组对边平行 (1)另一组对边也平行
(2)平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
考点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
典例1 如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，G在直线AC上，AE＝CG，点F，H在直线BD上，BF＝DH，
求证：EF＝HG.
思路导析 欲证明EF＝HG，只要证明四边形EFGH是平行四边形即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CG，BF＝DH，
∴OA＋AE＝OC＋CG，OB＋BF＝OD＋DH，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF＝HG.
变式 如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E，F，点G，H分别为OB，OD的中点．求证：四边形GEHF是平行四边形．
∴△FOD≌△EOB(ASA)．
∴FO＝EO.
又∵G，H分别为OB，OD的中点，
∴GO＝HO，
∴四边形GEHF是平行四边形.
考点2 平行四边形性质和判定的综合应用
典例2 [聊城中考]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
变式 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且AE＝CF，连接EF，分别交AD，BC，AC于点G，H，O.
求证：AC与GH互相平分．
证明：如图，连接AF和CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AE∥CF.
∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE.
∵AD∥BC，
∴∠EGA＝∠EHB.
又∵∠EHB＝∠FHC，
∴∠EGA＝∠FHC.
1．[2024·乐山]如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC相交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是( )
A．26
B．32
C．34
D．36
3．若AC＝10，BD＝8，AC与BD相交于点O，那么当AO＝__，DO＝
__时，四边形ABCD是平行四边形．
4．[2024·济宁]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O
，OA＝OC，请补充一个条件___________________，使四边形
ABCD是平行四边形．
4
OB＝OD(答案不唯一)
5
5．[2023·杭州]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，
FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴S△CFO＝1.
6．如图，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的任意一点(不与点A重合)，连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点F，连接CE，AF.
求证：EC∥AF.
证明：∵AB∥CD，
∴∠EAP＝∠FCP，
∵P为AC的中点．
∴AP＝CP.
又∵∠APE＝∠CPF，
∴△APE≌△CPF(ASA)．
∴PE＝PF.
又∵AP＝PC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF.(共24张PPT)
4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
知识点1 多边形的内角和
n边形的内角和等于______________．
(n－2)·180°
(n－3)
(n－2)
考点1 多边形的内角和
典例1 已知一个多边形的每个内角都是144°，求此多边形的边数．
思路导析 根据多边形内角和定理列方程求解即可．
解：设多边形的边数为n，
由题意，得(n－2)·180°＝n·144°.
∴n＝10.
∴此多边形的边数为10.
变式1 [2024·乐山]下列多边形中，内角和最小的是( )
变式2 [2022·怀化]一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形
C．九边形 D．十边形
考点2 多边形的对角线
典例2 一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是( )
A．88 B．44
C．45 D．50
变式 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成
了4个三角形，这个多边形共有__条对角线．
9
考点3 多边形内角和的整除性的应用
典例3 小明同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角和为1 755°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角的度数是多少？
思路导析 设这个多边形的边数是n，多算的一个内角为x，则(n－2) 180°＝1 755°－x，然后依据0°＜x＜180°可求得n的范围，再依据n为正整数可确定出n的值，然后由x＝1 755°＋360°－180°n可求得x的值．
∵n为整数，
∴n＝11，
∴x＝1 755°－180°×(11－2)＝135°.
变式 某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是2 300°，
老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是
几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
1．[2024·云南]一个七边形的内角和等于( )
A．540° B．900°
C．980° D．1080°
2．[2024·路桥区期末]如图，正八边形和正六边形的一边重合，则∠ABC的度数为( )
A．10° B．15°
C．20° D．25°
3．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1 440°，则原来多边形的边数是( )
A．9
B．10
C．8或9或10
D．9或10或11
4．[2024·临夏州]“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1
窗棂的外边框为正六边形(如图2)，则该正六边形的每个内角为
______．
120°
5．[2024·宁夏]如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作
正方形CDFH，连接BH，则∠BHC＝___°.
81
6．从九边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将九边
形分成n个三角形．则m＋n的值为___．
13
7．已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数
的1.5倍，求这个多边形的内角和及对角线总数．(共16张PPT)
第2课时 平行四边形的性质(2)
知识点1 平行四边形的性质2
对角线：平行四边形的对角线_________．
互相平分
知识点2 平行四边形中常添辅助线
已知平行四边形，直接连接对角线．
考点1 利用平行四边形的对角线互相平分进行计算
典例1 平行四边形ABCD的周长是56 cm，对角线AC，BD相交于
点O，△OAB与△OBC的周长差是4 cm，则平行四边形ABCD中较
短的边长是______．
思路导析 由平行四边形ABCD的周长是56 cm，得AB＋BC＝28 cm，
又由△OAB与△OBC的周长差是4 cm，可得|AB－BC|＝4 cm，联立
方程组继而求得答案．
12 cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC.
∵平行四边形ABCD的周长是56 cm，
∴2(AB＋BC)＝56 cm，
∴AB＋BC＝28 cm.①
∵△OAB与△OBC的周长差是4 cm，
∴|(OA＋OB＋AB)－(OB＋OC＋BC)|＝|AB－BC|＝4 cm，
∴|AB－BC|＝4 cm.②
变式 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，DC上的点，点E，O，F三点共线，且EF⊥AC，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为( )
A．10 B．8
C．6 D．
考点2 利用平行四边形的对角线互相平分进行证明
典例2 如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
思路导析 连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD和EBFD为平行四边形，得OA＝OC，OE＝OF，即可得出结论．
证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD和四边形EBFD是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，
即AE＝CF.
变式 [2025·永州模拟]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝10，BD＝24，AD＝13.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)点E，点F分别是AB和DC上的一点，连接EF经过点O，求证：OE＝OF.
证明：(1)∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，
∴AO＝CO＝5，BO＝DO＝12.
∵AD＝13，
∴52＋122＝132，即AO2＋DO2＝AD2，
∴△ADO为直角三角形，∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD；
(2)∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
1．[2024·贵州]如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝BC
B．AD＝BC
C．OA＝OB
D．AC⊥BD
2．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A．10 B．8
C．7 D．6
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD＝6，AB＝10，则OB的长为( )
A．8 B．4
C．3 D．5
4．如图，在 ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，EF过点O且分
别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为___．
10(共16张PPT)
第3课时 平行线之间的距离
知识点1 平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_____，叫
做这两条平行线之间的距离．
距离
【注意】
平行线间距离处处相等．
知识点2 常见真命题
1．夹在两条平行线之间的平行线段相等(如图1)．
2．平行四边形两条对角线将平行四边形的面积四等分(如图2)．
图1
图2
考点1 平行线之间的距离
典例1 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是( )
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间距离就是线段AB的长度
D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度
思路导析 根据平行四边形的性质、平行线之间距离的定义等对各选项逐一分析即可．
变式 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离为( )
A．1 cm B．3 cm
C．5 cm或3 cm D．1 cm或3 cm
考点2 平行线之间的距离的应用
典例2 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的
顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且相邻两平行线之间
的距离都是1，则AC的长是_____．
思路导析 作AD⊥l3于点D，作CE⊥l3于点E.证明△ABD≌△BCE，推出BE＝AD＝1，DB＝CE＝2，再利用勾股定理求解即可．
变式 如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，
△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间的数量关系为__________．
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E，N，则平行线AD与BC之间的距离是( )
A．AE的长 B．MN的长
C．AB的长 D．AC的长
2．[2024·桥西区期末]如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积( )
A．向左移动变小
B．向右移动变小
C．始终不变
D．无法确定
3．[扬州中考]如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，
若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为___．
50
4．[2024·湘乡期末]如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于
点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C.
(1)若∠1＝70°，求∠2的度数；
(2)若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
解：(1)∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°.
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°－∠BAC－∠3＝20°；(共20张PPT)
第2课时 平行四边形的判定(2)
知识点 平行四边形的判定
一组对边___________的四边形是平行四边形．
符号语言：如图，∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行且相等
考点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
典例1 [2025·重庆期末]如图，在 ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，
求△AEF的面积．
思路导析 (1)证明△ADE≌△CBF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AECF是平行四边形即可；
(2)根据勾股定理得到BD＝4，进而可以得到EF的长，然后利用
三角形面积公式即可得解．
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
变式 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状，并说明理由．
(2)如图，四边形BFEC是平行四边形，
理由如下：
由(1)，得∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
又∵BC＝EF，
∴四边形BFEC是平行四边形．
考点2 利用平行四边形的判定解决动点问题
典例2 [分类讨论思想]在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝
6 cm，BC＝10 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点
F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点
时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，若M是BC上一点，
且BM＝4 cm.当t＝______s时，以A，M，E，
F为顶点的四边形是平行四边形．
思路导析 分两种情形列出方程即可解决问题．
解析：根据题意，得
AE∥FM，BF＝2t，AE＝t.
①点F在线段BM上时，FM＝4－2t，
当AE＝FM时，四边形AEMF是平行四边形，
∴t＝4－2t，
解得t＝ ；
变式 [分类讨论思想]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝
12 cm.点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，
点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为
t，当t＝_____s时，点P，Q，C，D构成平行四边形．
3或6
1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
2．[2024·崆峒区期中]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示：AP＝__cm，DP＝________cm，CQ＝
___cm，BQ＝_________cm；
(2)当t＝__s时，四边形APQB是平行四边形．
t
(12－t)
2t
(15－2t)
5
3．[2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF.
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD.(共23张PPT)
2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
知识点 平行四边形的判定
1．两组对边分别_____的四边形是平行四边形．(定义)
2．两组对边分别_____的四边形是平行四边形．
平行
相等
考点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
典例1 如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，
求证：四边形ABCD为平行四边形．
思路导析 (1)利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；
(2)根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论．
(2)∵△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
变式 [2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.
求证：四边形BCDE是平行四边形．
证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝180°.
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°，
∴EB∥DC.
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形.
考点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
典例2 [2025·济宁期中]如图，D是△ABC内部的一点，连接BD，CD，把BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，把CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AE，ED，DF，FA，AB＝BC＝CA.
(1)若BD＝6，求AF的长；
(2)求证：四边形AEDF是平行四边形．
思路导析 (1)由旋转，得∠DCF＝60°，CD＝CF，AB＝BC＝CA，可得△DCF，△ABC是等边三角形，进而得到∠BCD＝∠ACF，证明△BDC≌△AFC，即可求解；
(2)同理(1)可证得△EBD为等边三角形，△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，进而可得AE＝DF，ED＝AF，即可得四边形AEDF是平行四边形．
解：(1)由旋转，得∠DCF＝60°，CD＝CF，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠DCA＋∠ACF＝60°.
∵AB＝BC＝CA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCA＋∠BCD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACF.
(2)证明：同理(1)，得△EBD为等边三角形，△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，BD＝ED.
∵△DCF是等边三角形，BD＝AF，
∴CD＝AE＝DF，ED＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形.
变式 [2025·娄底一模]已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：
(1)AE∥FB；
(2)四边形CFDE是平行四边形．
证明：(1)∵点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋CD，
即AC＝BD.
又∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF(SSS)，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥FB；
(2)∵AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴DE＝CF，
又∵CE＝DF，
∴四边形CFDE是平行四边形.
1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )
A．四边形ABCD周长不变
B．AD＝CD
C．四边形ABCD面积不变
D．AD＝BC
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
A．8
B．16
C．24
D．32
3．如图，已知BD垂直平分线段AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)证明：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴AB∥FD.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABDF是平行四边形，AF＝DF＝5，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x，由勾股定理，得AE2＝AB2－BE2＝AD2－DE2，
即52－x2＝62－(5－x)2，
解得x＝1.4，
