沪科版（2024）数学八年级上册15.4等腰三角形同步分层练习
一、基础夯实
1．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八上·拱墅期末）下列说法正确的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．一个角等于的三角形是等边三角形
C．等腰三角形两腰上的高相等
D．等腰三角形的角平分线，中线和高重合
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形 ，故为原命题错误，不符合题意；
B、 两个角等于的三角形是等边三角形，故为原命题错误，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上的高相等，故为原命题正确，符合题意；
D、等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故为假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定、等边三角形的判定及等腰三角形及其性质，对四个选项逐一判断即可解答.
3．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
4． 已知等腰三角形中的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80° C．50°或100° D．50°或80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：
（1）若50° 为顶角，则这个等腰三角形的顶角为50°；
（2）若50° 为底角，则这个等腰三角形的顶角为180° -50°-50°=80° 。
故答案为：D
【分析】分为两种情况进行求解：若50° 为顶角，则这个等腰三角形的顶角为50°；若50° 为底角，则这个等腰三角形的顶角为180° -50°-50°=80° 。
5．（2025八上·温州期中）若等腰三角形有一个角是 100°，则它的底角为（ ）
A．100° B．40°
C．100°或 40° D．80°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当100°为底角时，等腰三角形两底角和200°，超过180°，不符舍去；
当100°为顶角时，底角为（180°-100°）÷2=40°；
故答案为：B.
【分析】对已知角按底角、顶角分类讨论，分别计算求解即可.
6．（2018八上·江北期末）已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22.
故答案为：C.
【分析】对三角形的腰长进行分类讨论，最后需验证所求三角形的三边关系是否满足两边和大于第三边.
7．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
综上可知：正确，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线的性质可得CE=AE，结合EF=CE，即可得到结论并判断①；计算出∠AEF的度数，在根据等腰三角形的性质求得∠EFA，进而利用外角性质求得∠FAB的度数并判断②；计算∠AEF和∠BAE的度数，得到AB=EB，结合AC=AB，即可得到结论并判断③．
8．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
9．（2024八上·惠城期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【分析】（1）以线段的一个端点A为圆心，以大于线段AB长度一半的长为半径画弧（半径必须大于一半，否则两弧无法相交）。保持圆规半径不变，以另一个端点B为圆心画弧，此时两弧会在线段AB的两侧各产生一个交点。用直尺连接两个交点C和D，直线CD即为线段AB的垂直平分线。（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案．
（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
二、能力提高
10．（2024·九台模拟）在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意；
B．如图，
此选项是作，由
∴，不符合题意；
C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意；
D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的作图方法及步骤，线段垂直平分线的作图方法及步骤以及等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐项分析判断即可.
11．（2024八上·杭州期中）如图，在 ABC中，点D在边BC上，且满足 AB=AD=DC，过点D作，交AC于点E. 设， 则
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AD=DC， ∠BAD =α，
∴∠B=∠ADB， ∠C =∠CAD=β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠AED=90°，
∵∠CDE=γ， ∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠AED=γ+β，
∴2β+γ=90°，
故答案为： D.
【分析】由AB=AD=DC可得 ∠B =∠ADB，∠C=∠CAD =β，再根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠AED=β+γ，然后根据直角三角形的性质解题即可.
12．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
13．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①是的平分线，，
，，
在和中，
，
，
，故①正确；
②，，
，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，故②正确；
③，
，
，，
∴，，
∵，
∴，
，
，故③错误；
④当时，有，
，
，
，则与不相等，故④错误；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C．
【分析】①先结合角平分线的定义证明，得，即可判断①正确；②由①中的三角形全等可得，由①同理可证，得，于是得，即可判断②正确；③由①②的三角形全等可得，，由三角形内角和定理得，据此可求出，即可判断③错误；④当时，有，结合的大小可知，于是与不相等，即可判断④错误.
14．（2025八上·德阳期末）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
【分析】作点P关于，的对称点．连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角解答即可．
15． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
16．（2025八上·温州期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画图，使它的顶点都在小方格的顶点上.
（1）在图1中画一个以 AB为边且面积为3的三角形
（2）在图2中画一个以 AB为边的等腰直角三角形
【答案】（1）解：如图所示
（答案不唯一）
（2）解：如图所示
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）若以AB垂直距离3作高，根据要求，只需作底为2的三角形即可；
（2）可以把AB作为腰，绕A或B旋转90°交于格点即可；
三、拓展创新
17．（2022八上·宣化期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【答案】（1）①AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
【分析】
（1）①如图1，先由等边三角形的概念判定△ABC是等边三角形，则可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC，由邻补角的概念可得∠EAD＝∠FBD，再由等腰三角形的性质可证△ADE≌△BDF，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，则可得△GBD是等边三角形，同理，△ABC也是等边三角形，则可得AG＝CD，同（1）再证明△DGE≌△DBF，则可得GE＝BF，最后再等量代换即可；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=BF-CD；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=CD-BF．
18．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
19．（2022八上·宛城月考）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明.
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.
【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接，
则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
20．（2020八上·赣榆期中）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册15.4等腰三角形同步分层练习
一、基础夯实
1．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·拱墅期末）下列说法正确的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．一个角等于的三角形是等边三角形
C．等腰三角形两腰上的高相等
D．等腰三角形的角平分线，中线和高重合
3．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
4． 已知等腰三角形中的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80° C．50°或100° D．50°或80°
5．（2025八上·温州期中）若等腰三角形有一个角是 100°，则它的底角为（ ）
A．100° B．40°
C．100°或 40° D．80°
6．（2018八上·江北期末）已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
7．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·惠城期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，，求的长．
二、能力提高
10．（2024·九台模拟）在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024八上·杭州期中）如图，在 ABC中，点D在边BC上，且满足 AB=AD=DC，过点D作，交AC于点E. 设， 则
A． B．
C． D．
12．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
13．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2025八上·德阳期末）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
15． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
16．（2025八上·温州期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画图，使它的顶点都在小方格的顶点上.
（1）在图1中画一个以 AB为边且面积为3的三角形
（2）在图2中画一个以 AB为边的等腰直角三角形
三、拓展创新
17．（2022八上·宣化期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
18．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
19．（2022八上·宛城月考）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明.
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.
20．（2020八上·赣榆期中）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形 ，故为原命题错误，不符合题意；
B、 两个角等于的三角形是等边三角形，故为原命题错误，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上的高相等，故为原命题正确，符合题意；
D、等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故为假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定、等边三角形的判定及等腰三角形及其性质，对四个选项逐一判断即可解答.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：
（1）若50° 为顶角，则这个等腰三角形的顶角为50°；
（2）若50° 为底角，则这个等腰三角形的顶角为180° -50°-50°=80° 。
故答案为：D
【分析】分为两种情况进行求解：若50° 为顶角，则这个等腰三角形的顶角为50°；若50° 为底角，则这个等腰三角形的顶角为180° -50°-50°=80° 。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当100°为底角时，等腰三角形两底角和200°，超过180°，不符舍去；
当100°为顶角时，底角为（180°-100°）÷2=40°；
故答案为：B.
【分析】对已知角按底角、顶角分类讨论，分别计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22.
故答案为：C.
【分析】对三角形的腰长进行分类讨论，最后需验证所求三角形的三边关系是否满足两边和大于第三边.
7．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
综上可知：正确，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线的性质可得CE=AE，结合EF=CE，即可得到结论并判断①；计算出∠AEF的度数，在根据等腰三角形的性质求得∠EFA，进而利用外角性质求得∠FAB的度数并判断②；计算∠AEF和∠BAE的度数，得到AB=EB，结合AC=AB，即可得到结论并判断③．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
9．【答案】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【分析】（1）以线段的一个端点A为圆心，以大于线段AB长度一半的长为半径画弧（半径必须大于一半，否则两弧无法相交）。保持圆规半径不变，以另一个端点B为圆心画弧，此时两弧会在线段AB的两侧各产生一个交点。用直尺连接两个交点C和D，直线CD即为线段AB的垂直平分线。（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案．
（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意；
B．如图，
此选项是作，由
∴，不符合题意；
C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意；
D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的作图方法及步骤，线段垂直平分线的作图方法及步骤以及等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AD=DC， ∠BAD =α，
∴∠B=∠ADB， ∠C =∠CAD=β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠AED=90°，
∵∠CDE=γ， ∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠AED=γ+β，
∴2β+γ=90°，
故答案为： D.
【分析】由AB=AD=DC可得 ∠B =∠ADB，∠C=∠CAD =β，再根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠AED=β+γ，然后根据直角三角形的性质解题即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
13．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①是的平分线，，
，，
在和中，
，
，
，故①正确；
②，，
，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，故②正确；
③，
，
，，
∴，，
∵，
∴，
，
，故③错误；
④当时，有，
，
，
，则与不相等，故④错误；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C．
【分析】①先结合角平分线的定义证明，得，即可判断①正确；②由①中的三角形全等可得，由①同理可证，得，于是得，即可判断②正确；③由①②的三角形全等可得，，由三角形内角和定理得，据此可求出，即可判断③错误；④当时，有，结合的大小可知，于是与不相等，即可判断④错误.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
【分析】作点P关于，的对称点．连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角解答即可．
15．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
16．【答案】（1）解：如图所示
（答案不唯一）
（2）解：如图所示
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）若以AB垂直距离3作高，根据要求，只需作底为2的三角形即可；
（2）可以把AB作为腰，绕A或B旋转90°交于格点即可；
17．【答案】（1）①AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
【分析】
（1）①如图1，先由等边三角形的概念判定△ABC是等边三角形，则可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC，由邻补角的概念可得∠EAD＝∠FBD，再由等腰三角形的性质可证△ADE≌△BDF，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，则可得△GBD是等边三角形，同理，△ABC也是等边三角形，则可得AG＝CD，同（1）再证明△DGE≌△DBF，则可得GE＝BF，最后再等量代换即可；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=BF-CD；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=CD-BF．
18．【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
19．【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接，
则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
20．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
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