(共37张PPT)
第2课时 解简单的斜三角形
知识点 解简单的斜三角形
在解斜三角形时，常用的方法就是通过作高(或垂线)，构造
___________来解决．
直角三角形
考点 构造直角解斜三角形
典例 如图，在△ABC中，∠B＝45°，
求BC的长．
思路导析 在△ABC上作出BC边上的高，然后分别在两个直角三角形中求出对应线段，最后求和即可求出BC的长．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∴△ABD，△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∴CD2＝36，
∴CD＝6，AD＝4.
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝4，
∴BC＝BD＋CD＝4＋6＝10.
【规律总结】解斜三角形时，可以通过作辅助线的方法构造直角三角形，然后转化成解直角三角形的问题．在作辅助线构造直角三角形时，一般不要破坏特殊角(30°，45°，60°角及其邻补角)的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线，常从非特殊角的顶点作垂线．如图所示：
变式1 [2024秋·长治期末]如图，在△ABC中，∠B＝30°，
∠C＝45°，BC＝8，则S△ABC＝________．
变式2 [2023秋·泰州期中]如图，AD是△ABC的中线，
求：(1)BC的长；
(2)∠ADC的正弦值．
变式3 [2023秋·岳阳期末]在坐标平面内，A点的坐标为(20,0)，
OA＝2OB，sin∠AOB＝ ，如图，求：
(1)B点的坐标；
(2)求tan∠OAB.
1．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为( )
2．[2023·东阳三模]如图，在△ABC中，∠A＝88°，
∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为( )
A．60sin50°
B.
C．60cos50°
D．60tan50°
3．[2024秋·贵池区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是( )
4．[2023秋·衡阳期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，
AC＝8，BD＝2，cos∠ABC＝ ，BF交AD于点E.求：
(1)AD的长；
(2)tan∠FBC的值．(共33张PPT)
第2章 解直角三角形
2.1 锐角三角比
知识点 锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的_______．
【注意】
(1)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的符号，不能写成sin·A，
cos·A，tan·A；
(2)当角用三个字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略，
如sin∠ABC，tan∠1，当角只用一个大写字母或小写字母或希
腊字母表示时，则可省略角的符号，如sinA，cosα.
三角比
考点 锐角三角比
典例1 [2024秋·湖州期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则sin∠BAC的值为( )
思路导析 根据正弦的定义直接求解即可．
变式 [2024秋·长治期末]在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则tanA＝( )
典例2 设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若b＝6，c＝10，求sinA，cosA和tanA.
思路导析 根据锐角三角比的概念求解即可．
变式 [2023秋·铁西区期末]如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，BC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是( )
1．[2023秋·长兴县期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，
AB＝5，则cosA的值是( )
3．[2023秋·下城区期中]如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则( )
5．[2024秋·江北区期中]Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sinB＝( )
6．如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝a，AC＝b.
证明：S△ABC＝ absinC.(共31张PPT)
2.2 30°，45°，60°角
的三角比
知识点 30°，45°，60°角的三角比
【规律总结】当0°<α<90°时，α的正弦值随着α的增大而增大，余弦值随着α的增大而减小，正切值随着α的增大而增大．
【注意】
在熟记特殊角的三角比的基础上，已知特殊角的三角比也应能熟练求出特殊角的度数．
考点1 特殊锐角三角比的计算
典例1 [2023秋·遵化期中](sin45°)2＋tan60°·sin60°的结果是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
思路导析 把特殊角的三角比的值代入计算即可．
变式2 计算：sin30°－tan30°·tan60°＋cos245°.
考点2 已知三角比确定特殊角
典例2 在△ABC中，若|sinA－ |＋(cosB－ )2＝0，且∠A，
∠B为锐角，则∠C的度数是______.
105°
思路导析 根据绝对值、偶次方的非负性以及特殊锐角三角比的值可求出∠A，∠B，再根据三角形内角和定理求出∠C即可．
变式1 [2024秋·福田区期中]已知α为锐角，且tan(90°－
α)＝ ，则α的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝1，则∠B的
度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．不确定
1．在△ABC中，若 ∠A，∠B都是锐角，则
∠C的度数是( )
A．105° B．90°
C．75° D．120°
－1
90
5．[2024秋·浦东新区期中]计算：2sin245°＋2sin60°－tan30°·tan45°.(共30张PPT)
2.5 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角的实际应用
知识点 仰角、俯角
在实际测量中，从_____观测_____的目标时，视线与_______
所成的锐角叫做仰角；从_____观测_____的目标时，视线与
_______所成的锐角叫做俯角．
低处
高处
水平线
高处
低处
水平线
【规律总结】(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可简记为“上仰下俯”；
(2)在实际问题中，常利用平行线的性质，根据仰角或俯角构造
直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解．
考点 仰角、俯角问题
典例 [2024·汉阳区模拟]2023年10月26日11时14分，
长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，
在酒泉卫星发射中心点火升空，送3名航天员奔赴“天
宫”.30战30捷一气呵成，中国载人航天工程，再立新功．如图，神
舟十七号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处
的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达
点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同
一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为
____米/秒．(结果精确到1米；参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
335
思路导析 解直角三角形，分别求出OA，OD，OC，OB的距离，即可求AB的距离，求解即可．
变式 [2023秋·牟平区期中]如图，某数学兴趣小组测量一棵树
CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶
C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12 m，
则这棵树CD的高度是( )
1．[2024秋·市南区期末]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，雷达在与发射点L相距a km的海平面R处测得其仰角为θ，则此时雷达测得火箭A上升的距离AL为( )
2．[2024·日照]潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可
俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测
量方案如图所示：无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶
端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N，测得
潮汐塔底端B的俯角为45°(点M，N，A，B在同一平面内)，则潮汐
塔AB的高度为(结果精确到1 m．参考数据：sin22°≈0.37，
cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)( )
A．41 m B．42 m
C．48 m D．51 m
3．[2025·荆州模拟改编]如图，某校数学兴趣小组在A处用仪
器测得某马拉松比赛场地一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，
仪器与气球的水平距离BC为22米，且距地面高度AB为1.5米，
则气球顶部离地面的高度EC是_____米．(结果精确到0.1米，
sin21.8°≈0.371 4，cos21.8°≈0.928 5，tan21.8°≈
0.400 0)
10.3
4．[2024秋·市南区期末]湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔(图1所示)，被称为“药师塔”．
测量过程 如图2，为了测量药师塔BC的高度，采用了如下的方法：先
从与塔底B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走25米至
坡顶D处，再从D沿水平方向继续前行若干米后至点E，在E点
测得塔顶C的仰角为72°，塔底B的俯角为45°.
说明 点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝7∶24
(即tanA＝ ).
(1)求坡顶D到AB的距离；
(2)计算药师塔BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)
解：(1)如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵斜坡AD的坡度i＝7∶24，
∴设DF＝7x米，则AF＝24x米，
在Rt△ADF中，
∵AD＝25米，∴25x＝25，解得x＝1，
∴DF＝7米，
∴坡顶D到AB的距离为7米；
(2)如图，延长DE交BC于点G，
由题意，得DG⊥BC，BG＝DF＝7米，
在Rt△BEG中，∠BEG＝45°，
∴EG＝BG＝7米，
在Rt△CEG中，∠CEG＝72°，
∴CG＝EG·tan72°≈7×3.08＝21.56(米)，
∴BC＝BG＋CG＝7＋21.56≈29(米)，
∴药师塔BC的高度约为29米．(共14张PPT)
2.3 用计算器求锐角三角比
知识点1 用计算器求锐角三角比的值
在计算器显示器上方显示____状态下(表示计算器已进入以“度”
为角的度量单位的运算状态)，已知角度求三角比时，先按相应
三角比名称键，再依次按度数、_____、分数、_____、秒数、_____、 ，即可求出三角比．
DEG
知识点2 已知锐角三角比求锐角
1．启动开机键后，在以“度”为角的度量单位的运算状态下，
先按计算器功能键_____和相应_______的名称键，再输入___
_____的值，按___键后，屏幕上就可以显示以度为单位的锐角．
2．按顺序求出的角度小数位数较多时，可以再按_____键，将
它换算成“度、分、秒”的形式．
三角比
三
角比
【注意】
(1) 在有些计算器上写的是 ， 在有些计算器上是
；
(2)不同计算器的按键方法不同，使用前应先看使用说明书．
考点1 用计算器求锐角三角比
典例1 [2024秋·招远期中]利用科学计算器计算 cos52°，
下列按键顺序正确的是( )
思路导析 简单的科学计算器工作顺序是先输入者先算，根据运算顺序选出正确的按键顺序即可．
变式 [2024秋·东营期中]用科学计算器求sin9°7′的值，按键顺序正确的是( )
考点2 已知锐角三角比，用计算器求锐角或边长
典例2 [2023秋·牟平区期中]小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200 m，其铅直高度上升了30 m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是( )
思路导析 根据计算器的使用方法进行分析即可．
变式 [2024秋·广饶县期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键
顺序正确的是( )
考点3 用计算器求值
典例3 利用计算器计算下列式子，结果保留4位小数．
(1)sin49°·cos72°－tan78°＝__________；
(2) cos43°＋2sin27°＝________．
－4.471 4
1.942 3
思路导析 根据计算器的使用方法计算即可．
变式 用科学计算器计算： ___sin37.5°.(比较大小)
＞
1．[2023秋·烟台期末]已知cosA＝0.559 2，运用科学计算器，在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是( )
2．[2024·文登区一模]利用科学计算器计算 cos35°，下列
按键顺序正确的是( )
3．如果3sinα＝ ＋1，则∠α＝_____°.(精确到0.1)
4．用计算器求下列各式的值．(精确到0.000 1)
(1)sin44°＋2cos32°15′；
(2)tan62°17′＋ sin89°.
65.6
解：(1)2.386 1； (2)2.403 3(共31张PPT)
2.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
知识点1 直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，
c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．
①角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
②边之间的关系：a2＋b2＝c2；
③角与边之间的关系：
知识点2 解直角三角形
1．由直角三角形中_____的元素求出_____元素的过程，叫做
解直角三角形．
2．解直角三角形的两种情况：
①已知_____，求第三边及两锐角；
②已知_____和一个_____，求其他两边及另一锐角．
已知
未知
两边
一边
锐角
考点1 解直角三角形
典例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝8，tanB＝ ，
点D在BC上，且BD＝AD.求AC的长和tan∠ADC的值．
变式 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，BC＝5.
求：sin∠ACD及AD的长．
考点2 网格图中求三角比
典例2 [2023秋·蓬莱区期中]如图，已知△ABC的三个顶点均
在正方形格点上，则下列结论错误的为( )
思路导析 先设小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出AC，AB，BC，进而可得△ABC为直角三角形，然后根据三角函数的定义求解判断，从而可得出答案．
变式1 [2024秋·金水区期末]如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为( )
变式2 [2023秋·金华市期中]如图， 在6×6的正方形方格纸中，∠BAC的顶点在格点上，
(1)直接写出tan∠BAC＝__
(2)仅用直尺， 画出∠BAC 的平分线 AP.(不用写画法)
答案：如图，射线AP即为所求作，
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosB＝ ，
则AC的长为( )
A．9
B．10
C．12
D．13
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，AB＝7，则BC的长为( )
A．7sin36°
B.
C．7cos36°
D．7tan36°
3．[2024·禅城区二模]6个全等的小正方形如图放置在△ABC
中，则tanB的值是___．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，AB＝10，
求BC的长．(共33张PPT)
第3课时 坡度、坡角及测量高度
知识点 坡度(或坡比)、坡角问题
1．如图所示，斜坡起止点A，B的_______(h)与它们的_________
(l)的比叫做坡度(或坡比)，通常用字母i表示，即i＝____．
2．坡度、坡角之间的关系：i＝ ＝______.
高度差
水平距离
h∶l
tanα
【注意】
(1)坡度不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角混淆，它是坡角的正切值；(2)表示坡度时，一般把比的前项取作1，写成1∶m的形式；(3)坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
考点 坡度、坡角问题
典例 [2024·河南二模]郑州市政府坚持以人民为中心的发展思想和“人民至上、生命至上”理念，未雨绸缪好过亡羊补牢，对京广路隧道考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图2，起初工程师计划修建一段坡角为50°(即∠ABC＝50°，∠BAC＝40°)的爬梯AB，从安全角度再次考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，修建了AD，EF两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台DE，点C，B，F三点共线，小明实地测量后得到AC为4米，CF为5米．
(1)求修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了多少度；
(2)求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离．
(结果精确到0.1米．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈
0.77，tan40°≈0.84)
解：(1)延长AD交CF于点G，如图，
∵DE∥GF，DG∥EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴DE＝GF＝1米，
∴CG＝CF－GF＝5－1＝4＝AC，
∴tan∠AGC＝ ＝1，
∴∠AGC＝45°，
∴∠ABC－∠AGC＝50°－45°＝5°.
答：修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了5度；
(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝40°，
∴CB＝4×tan40°≈4×0.84＝3.36(米)，
∴BF＝CF－CB＝5－3.36≈1.6(米)．
答：修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离为1.6米．
变式 [2024·渠县一模]如图，一个长方体木箱
沿斜面滑至如图位置时，AB＝2 m，木箱高BE＝
1 m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的
高度表示为( )
解析：过点E作EN⊥AC于点N，交AB于点M，过点B作BG⊥AC于点G，BH⊥EN于点H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，AB＝2 m，
∴BG＝AB·sin∠BAG＝2sinα(m)，
∴HN＝2sinα(m)，
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1 m，
∴EH＝BE·cos∠BEM＝1×cosα＝cosα(m)，
∴EN＝EH＋HN＝(cosα＋2sinα) m，
即木箱端点E距地面AC的高度为(cosα＋2sinα) m.
1．[2023·昔阳县模拟]如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡长AB为m米，坡角∠ABH为α，则坡AB的铅垂高度AH为( )
A. 米
B．msinα米
C．mcosα米
D．mtanα米
2．[2023秋·东营期中]如图，若要在坡角为α的斜坡上栽两
棵树，要求它们之间的水平距离AC为6 m，tanα＝ ，则这
两棵树之间的坡面AB的长为( )
3．[2024秋·松原期末]如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是( )
A．200 cm
B．210 cm
C．240 cm
D．300 cm
4．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的
墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，
遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°且靠墙端离地的高AB
为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长．
(结果精确到0.1米；参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，
tan22°≈ ≈1.73)(共30张PPT)
第2课时 方向角的实际应用
知识点 方向角
从_____方向或_____方向到目标方向所形成的锐角叫做方向角．
正北
正南
【注意】
(1)方向角通常是以南北方向线为起始线，习惯说“南偏东
(西)”或“北偏东(西)”．
(2)含有45°角的方向是特殊的一类，可直接描述为：①北偏东
45°：东北方向；②北偏西45°：西北方向；③南偏东45°：
东南方向；④南偏西45°：西南方向．
(3)各观测点的南北线互相平行，通常借助此性质进行角度转换．
考点 方向角问题
典例 [2023春·宁阳县期末]现在手机导航极大地方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为( )
思路导析 过点B作BD⊥AC，利用三角形的内角和定理求出
∠C＝45°，再得出BD的长度，根据CD＝DB，求解BC即可．
变式1 [2024春·绵阳期末]如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A，B处，则此时两船相距( )
A．36海里 B．40海里
C．48海里 D．50海里
变式2 [2024秋·沂源县期中]如图，港口A在观测站O的正东方
向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，
此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O
距港口A的距离为_____km.
【规律总结】
通过解直角三角形解决实际问题的基本思路：
1．[2023秋·泰山区期中]如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离是( )
A．10 km
B．30 km
C．40 km
D．50 km
2．[2023秋·裕华区期中]对于题目：“如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上．已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题的过程中，求出了下列数据，其中错误的是( )
A．AB＝20海里
B．∠ACB＝30°
C．BC＝20海里
D．过点C向AB的延长线引垂线，垂足为D，求得CD＝8 海里，
小明得出结论有触礁危险
3．[2024·北碚区三模]旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游
客，为了更好地参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点
B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入
口A的北偏西30°方向1 000米处，景点D在景点C的东南方向
1 800米处．(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
(1)求AB的长度；(结果精确到个位)
(2)小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小
明选择步行①A－D－C，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留
5分钟观赏沙漠中的泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．
小华选择骑骆驼②A－B－C，在景点B处不停留，骆驼队伍速度
为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，
请计算说明小明和小华谁先到达景点C？
(结果精确到0.1)
解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，如图，
由题意，可知四边形BEDF是矩形，∠ADE＝30°，
∠DCF＝45°，AD＝1 000米，CD＝1 800米，
在Rt△ADE中，AE＝AD·sin30°＝1 000× ＝500(米)，
在Rt△CDF中，DF＝CD·sin45°＝1 800× ≈1 269(米)，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋DF＝500＋1 269≈1 769(米)，
答：AB的长度约为1 769米；
