江西省鹰潭市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

江西省鹰潭市 2024-2025 学年高一下学期 6 月期末质量检测
数学试题
学校: 姓名： 班级： 考号：
一、单选题
已知 i 是虚数单位，复数 z1 在复平面内对应的点坐标为(1, 3) ， z2 z1i ，则 z2 的虚部为（ ）
A．i B． i
C．1 D． 1
–––→
1 –––→ –––→
如图，在V ABC 中， P 在线段 BC 上，满足2BP PC ， O 为线段 AP 上一点，且 BO 3 BA λBC ，则λ
的值为（ ）
A． 1
3
B． 7
9
C． 2
3
D． 2
9
已知α角的终边经过点 P( 2, 2 3) ，则cos 2α （ ）
． 1 B． 3
2 2
C． 1
2
D． 3
2
曲线 y tan 2x 的对称轴方程为（ ）
x kπ k Z
4
C． x 2k 1 π k Z
4
x kπ k Z
2
D． x kπ k Z
斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为
2
， 4 2 ，侧棱长为2
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56 B． 224
3
C． 56
D． 112 5
3
蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设 P 为图中 7 个正六边形（边长为 1）内部或边界上点，A，B 为两个固定顶点，则 AP AB
的取值范围是（ ）
A． 2,18
B． 2,2
C． 0,16
D． 0,18
设函数 f x sin x cos x ，下述四个结论：
① f x 是偶函数② f x 的图象关于直线 x π 对称
2
③ f x 的最小值为 ④ f x 在 π, 0 上不单调其中所有正确结论的编号是（ ）
①③ B．①④ C．②③ D．②④
V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，若sinB=- 2sinCcosA, ac 2
则V ABC 面积的最大值为
（ ）
． 1 B． 3
2 2
C．1 D．2
二、多选题
设复数 z 在复平面内对应的点为Z ， i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
若 z 1，则 z 1或 z i
若1 z ，则点Z 的集合所构成的图形的面积为 π
i i2 i3 i2025 i
若 1 i 是实系数方程 x2 px q 0 的一个根，则 p q 0
已知函数 f x 2sin ωx φ ω 0, φ π 的部分图象如图所示，则（ ）
2

ωφ π
3
f x 在区间 π, 5π 上单调递减
6
y f x 的图象可由 y 2cos2x
向右平移π
6
个单位得到
cos x x 3
2 1 4
在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是正方形 BCC1B1 内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
AC BD1
若点 P 是线段 BB1 的中点，则平面 PAD1 截正方体所得的截面的面积为3
若点 P 在线段 B1C 上，则 BP PD1 的最小值为
若点 P 满足 AP BD1 ，则 AP 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值的最大值为
三、填空题
→
→ → →
已知向量a 1, 2 , b x, 2 ，且a ⊥b ，则 2a b ．
设当 x θ时，函数 f ( x) sin x 2 cos x 取得最大值，则cosθ .
榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一
种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛 木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且aADE,aBCF 均为正三角形， EF ∥ CD, EF 4 ，则该木楔子的外接球的体积为 ．
四、解答题
已知 z 是复数，若 z i 是实数，
求复数 z ；
z
1 i
是纯虚数，其中 i 为虚数单位．
设复数 z， z 在复平面内所对应的向量分别是m, n ，若向量λm n 与m 2n 的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．
记V ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， ab 1 2absin2 C ， 3a b cosC ccosB .
2
求V ABC 的面积；
若sinA sinB 1 ，求 a b 的值.
6 c
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC， AB BC AC AA1 ， D 是 BC 的中点.
求证: A1B / / 平面 AC1D ;
求证: 平面 AC1D 平面 BCC1B1 ;
求直线 AC 与平面 AC1D 所成角的正弦值.
大连某养殖公司有一处矩形养殖池 ABCD ，如图所示， AB 50 米， BC 25
米，为了便于冬天给养
殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE, EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边 AB的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且 EOF 90 ，设 BOE α．
试将aOEF 的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
当tanα 1 时，求加温带 EF 的长；
2
为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE 和OF 上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为 400 元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当V ABC 的三个内角均小于120 时，使得 AOB BOC COA 120 的点O 即为费马点；当V ABC 有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知V ABC 的内角A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c ，且cos2B cos2C 1 cos2 A ，点 P 为V ABC 的费马点．
求证： V ABC 是直角三角形；
若V ABC 的面积为 3 ，且c 1，求tan∠PBA 的值；
2
求 PB PC 的最小值．
PA
江西省鹰潭市 2024-2025 学年高一下学期 6 月期末质量检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A B A B B BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】因为复数 z1 在复平面内对应的点坐标为(1, 3) ，所以 z1 1 3i ，
所以 z2 z1i 1 3i i= 3+i ，所以 z2 3 i ，所以 z2 的虚部为 1.故选：D
2．D
【详解】由已知O 为线段 AP 上一点，
设 AO x AP ， x 0,1 ，
–––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→ –––→
则 BO BA AO BA x AP BA x AB BP 1 x BA xBP ，
又2BP PC ，
–––→
则 BP
–––→
BC ，
3
–––→ –––→ –––→ –––→
所以 BO BA AO 1 x BA
x –––→
BC ，
3
1
1 x
3
则 ，
λ
3
x 2
3
解得 ，
λ 2
9
故选：D.
3．C
【详解】解：Q角α的终边经过点 P( 2, 2 3) ，
x 2 ， y 2 ，
r 4 ，
cosα x 2 1 ，
r 4 2
cos 2α 2 cos2α 1 1 ．
2
故选：C．
4．A
【详解】根据函数 y tan 2x 的图象可知曲线 y tan 2x 的图象如下图：
因此对称轴方程满足2x k π, k Z ，即可得 x kπ k Z ，
2 4
所以对称轴方程为 x kπ k Z .
4
故选：A 5．B
【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为O1 , O2 ，则O1O2 即为正四棱台的高，如图所示：
取过正四棱台的轴O1O2 和侧棱 AB, CD 的截面，易知 AD 4, BC 8 ，
所以可得截面是上底为 4，下底为 8，腰长为2
的等腰梯形，
则O1O2


4 ，
所以正四棱台的体积为V 1 2 2 2 4 2 2 8 32 4 224 .
故选：B 6．A
3
3
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 A 0, 0 , B 4, 0 , E 1 ,
, G 9 , ，
2 2
2 2
设 P x, y ，则 AP x, y , AB 4, 0 ，所以 AP AB 4x ，由于 x 1 , 9 ，

2 2
所以当点 P 与点 E 或点 F 重合时， AP AB 最小，最小值为 2 ，当点 P 与点 G 或点 H 重合时， AP AB 最大，最大值为18 ，
所以 AP AB 2,18 .
故选：A.
7．B
【详解】①因为 f x f x ，所以 f x 是偶函数，①正确；
②因为 f π x sin π x cos π x sin x cos x f x ，
所以 f x 的图象不关于直线 x π 对称，②错误；
2
sin x cos x, x 2kπ, 2kπ π
③因为 f x sin x cos x, x 2kπ π, 2kπ 2π
π
所以 f x
2 sin x , x 2kπ, 2kπ π

π
2 sin x , x 2kπ π, 2kπ 2π

当 x 2kπ, 2kπ π 时， f x 1, 2 ，
当 x 2kπ π, 2kπ 2π 时， f x 1, 2 ，
综合得 f x 1, 2 ，即 f x 的最小值为 1，③错误；
④由 x π, 0 ，化简 f x sin x cos x sin x cos x 2 sin x π ，
4

令t x π ，则 y sin t ， t 5π , π ，
4 4 4

因为 y sin t 在t 3π , π 上单调递减，在t π , π 上单调递增，
2 2 2 2

故 f x 在 π, 0 上不单调，④正确.
故选：B
8．B
【详解】由sinB=- 2sinCcosA 可得sin C A 2sinCcosA 0 , sinCcosA cos C sin A 2sinCcosA 0 cos C sin A 3sinCcosA 0 ，故tan A 3tanC ，
tan B tan( A C)
tan A+ tan C 1 tan A tan C
2tanC
1 3tan2C
1
1
tanC
2
3tanC ,
tan B
2 1
则tan B, tan C 同号，故 B, C 为锐角，故 3tanC 2 3 ，即
tanC
1 3tanC tanC
3 ，当且仅当
tanC
1
时取等号，
故 B 的最大值为π ，
6
故S 1 ac sin B 1 ac 1 1 ac 3 ，故面积的最大值为 3 ，
a ABC
故选：B
2 2 2 4 2 2
BC
【详解】对于 A 中，例如：复数 z 1 3 i ，可得 z 1，所以 A 不正确；
2 2
对于 B 中，由复数的几何意义，可得1 z 是以半径为1和半径为 的圆构成的圆环，
其中圆环的面积为S π ( 2)2 π 12 π ，所以 B 正确；对于 C 中，由虚数的运算性质： i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 ，
可得i i2 i3 i2025 506 0 i2025 i506 4 1 i ，所以 C 正确；对于 D 中，由复数 1 i 是实系数方程 x2 px q 0 的一个根，
可得复数 1 i 是实系数方程 x2 px q 0 的另一个根，
则 p 1 i ( 1 i) 2 且q ( 1 i)( 1 i) 2 ，即 p 2, q 2 ，所以 p q 4 ，所以 D 不正确.
故选：BC.
ACD
【详解】由条件可知， f 0 2 sinφ 1，则sinφ 1 ，且φ π ，
2 2
所以φ π ，
6
由图象可知， 2π 1 5π ，得0 ω 12 ，
ω 2 12 5
当 x 5π 时，ω 5π π =π 2kπ ，得ω 2 24 k, k Z ，
12 12 6 5
所以ω 2 ，所以ωφ π ，故 A 正确；
3
f x π
π 5π
π
2 sin 2x 6 ，因为函数的周期为 ， x π, 6 的单调性和 x 0, 6 的单调性一致，由图可知，

0, π 是函数的增区间，故 B 错误；
6
π π
y
π π
f x 2 sin 2x 6 向左平移 6 个单位得到函数 2 sin 2 x 6 6 2 cos 2x ，故 C 正确；

由条件可知， 2x π 2x π 2 3π ，则 x x 4π ，所以 x 4π x ，
1 6 2 6 2
1 2 3
2 3 1
所以cos x x cos 4π 2x cos π 2x ，
2 1 3 1 3 1

π 3 π 3
因为2 sin 2x1 6 2 ，所以sin 2x1 6 4 ，

因为cos π 2x cos π 2x π sin 2x π 3 ，
3 1 2 1 6 1 6 4

所以cos x x 3 ，故 D 正确.
2 1 4
故选：ACD
ACD
【详解】对于选项 A：因为正方体 ABCD A1B1C1D1 ，所以 AC BD, AC BB1 ，又 BB1 BD B ， BB1 , BD 平面 BDD1B1 ，所以 AC 平面 BDD1B1 .
又 BD1 平面 BDD1B1 ，所以 AC BD1 .故 A 正确.
对于选项 B：取 B1C1 中点Q ，连接 PQ, D1Q ，平面 PAD1 截正方体所得截面为等腰梯形 PQD1 A .
因为 PQ 1 BC 2 ， AD 2 ， AP D Q 5 ，所以等腰梯形 APQD 的高为 3 2 ，
2 1 1 1 2
2 2 2 3
所以梯形面积为S 2 9 ，所以 B 错误.
2 2
对于选项 C：如图：
当 P 为 B1C 中点时，因为 BP B1C ，所以 BP 取得最小值，为 ，
此时因为aB1CD1 为等边三角形，且边长为2 ， PD1 B1C ，所以 PD1 也取得最小值，为2 2 6 .
2
所以 BP PD1 的最小值为 2 ，故 C 正确；
对于选项 D：如图：
由 AC BD1 ， BD1 平面 ACB1 ，点 P 的轨迹是线段 B1C .
过 P 作 PH 平面 ADD1 A1 ，垂足为 H ，则 H 在线段 A1D 上，连接 AH , AP ，则 PAH 为 AP 与平面 ADD1 A1 所
成的角.
tan PAH PH
2 ，又 AH
2 ，所以tan PAH
2 ，当 P 为 B C 中点时取“ ”.故 D 正确.
AH AH 1
故选：ACD.
2
【详解】因为 → ⊥b ，所以 → b x 4 0 ，解得 x 4 ，
a a
→ → →
所以2a b 2, 4 4, 2 2, 6 ，则 2a b

2 10 ，
故答案为： 2 ．
2 5 ；
5
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝
2 5 2 5
sin x cos x ＝ sin(x－φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ ，当
5 5 5 5

π π
x－φ＝2kπ＋ 2
sin φ＝－ 2 5 .
5
(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值，即 θ＝2kπ＋ 2 ＋φ 时，函数 f(x)取到最大值，所以 cos θ＝－
32π/ 32π
3 3
【详解】如图，分别过点 A, B 作 EF 的垂线，垂足分别为G, H ，连接 DG,CH ，则 EG 4 2 1 ，故
2
AG

3 .
取 AD 的中点O ，连接GO ，
又 AG GD, GO AD ，则GO
2 .
由对称性易知，过正方形 ABCD 的中心O1 且垂直于平面 ABCD 的直线必过线段 EF 的中点O2 ，且所求外接球的球心O 在这条直线上，如图.
设球O 的半径为 R ，则 R2 OO2 AO2 ，且 R2 OO2 EO2 ，
1 1 2 2
从而OO2 OO2 2 ，即 OO OO OO OO 2 ，
1 2 1 2 1 2
当点O 在线段O1O2 内（包括端点）时，有OO1 OO2 GO ，得OO1 OO2 ，从而OO1 ，即球心O 在线段 EF 的中点，其半径 R 2 .
当点O 在线段O O 外时， O O 2, 2 OO 2 OO2 2 ，解得OO 0 （舍）.
4πR3 32π
故所求外接球的体积V .
3 3
故答案为： 32π .
3
15．(1) z 1 i
(2)λ 2 且λ 1 .
2
【详解】（1）设复数 z a bi a, b R ，由 z i 是实数知b 1 0 ，即b 1 ，
所以 z a i ．
又因为
z
1 i
是纯虚数，则 a i a 1 (a 1)i 为纯虚数，
1 i 2
即a 1 0 且a 1 0 ，所以a 1 ，
所以 z 1 i ．
（2）由（1）知 z 1 i ，则m 1, 1 , n 1,1 ，
λ→ → → →
所以 m n λ 1, λ 1 ， m 2n 1, 3 ，
因为向量λm n 与m 2n 的夹角为钝角，
λ→ → → →
所以 m n m 2n 0 ，且λm n 与m 2n 不共线，
即 λ 1 3 λ 1 0 ，且 3 λ 1 λ 1 0
解得λ 2 且λ 1 .
2
16．(1)
(2) 6
2
2 C
2 C
【详解】（1）由ab 1 2absin 2 ，得ab 1 2sin 2 1

所以abcosC 1
由正弦定理a 2RsinA ， b 2RsinB ， c 2RsinC
得 3sinA sinB cosC sinCcosB
所以3sinAcosC sinBcosC cosBsinC sin B C sin π A sinA
由sinA 0 ，得cosC 1
3
所以ab
1 3 cosC
由sinC 0 ，得sinC

2 2
3
所以V ABC 的面积S 1 absinC 1 3 2 2
2 2 3
a2 b2 c2
（2）由余弦定理得abcosC ab 1 2ab
化简得a2 b2 c2 2
方法一：边运算
设V ABC 的外接圆的半径为 R
由正弦定理得a 2RsinA ， b 2RsinB ， c 2RsinC
所以ab 4R2sinAsinB ，解得所以2R 3
4R2
ab
sinAsinB
3 18
1
6
所以c 2RsinC 3 2 2
3
2 4
所以a2 b2 2 c2 2 16 18
所以 a b 2 a2 b2 2ab 18 6 24
由a b 0 ，得a b 2
所以 a b 2 6 6
c 4 2
方法二：边运算
由正弦定理
a
sinA
b
sinB
c ，
sinC
c2
得sin2C
ab
sinAsinB
3 18
1
6
所以c2 18sin2C 18 8 16
9
所以a2 b2 2 c2 2 16 18
所以 a b 2 a2 b2 2ab 18 6 24
由a b 0 ，得a b 2
所以 a b 2 6 6
c 4 2
方法三：角运算
由（1）知cosC 1 ， sinC 2 2
3 3
所以sinAsinB sinAsin A C 1 sin2 A 2 2 sinAcosA
3 3
1 1 cos2 A sin2 A 1 1 2 2sin2 A cos2 A 1
6 3 6 6 6
化简得2 2sin2 A cos2 A 0
因为sinA sinB sinA sin A C 4 sinA 2 2 cosA 2 2
3 3 3
2sinA cosA
所以 sinA sinB 2 8 2sin2 A cos2 A
9
2sin2 A
8 1
9 1 cos2 A 2 1 cos2 A 2sin2 A

8 2 2sin2 A cos2 A 3 8 3 4
9 2 2 9 2 3

由sinA sinB 0 ，得sinA sinB
2 3
所以由正弦定理得 a b sinA sinB 3 6
c
17．(1)证明见解析；
sinC
2 2 2
3
(2)证明见解析；
(3) 5 .
5
【详解】（1）在三棱柱
ABC A1B1C1 中，连接 A1C 交 AC1 于 O，连接 OD，
则 O 是 A1C 的中点，又 D 是 BC 的中点， OD / / A1B ，而 A1B 平面 AC1D ，OD 平面 AC1D ，
所以 A1B / / 平面 AC1D .
由 AB BC AC ， D 是 BC 的中点，得 AD ⊥BC ，
由 AA1 平面 ABC ，得 BB1 平面 ABC ，又 AD 平面 ABC ，则 BB1 AD ，
又 BB1 BC 是平面 BCC1B1 内的两条相交直线，因此 AD 平面 BCC1B1 ，而 AD 平面 AC1D ，所以平面 AC1D 平面 BCC1B1
在平面 BCC1B1 内过 C 作 CE C1D 于 E，连 AE，
由（2）知，平面 AC1D 平面 BCC1B1 ，平面 AC1D ∩ 平面 BCC1 B1 = C1 D ，则CE 平面 AC1D ，∠CAE 是 AC 与平面 AC1D 所成的角，
在直角aC CD 中，令CD 1 BC a, CC =2a ，则C D 5a ， CE CC1 CD 2a ，
1 2 1 1
2a
C1D
在直角aCAE 中， sin CAE CE 5 5 ，
AC 2a 5
所以直线 AC 与平面 AC1D 所成角的正弦值为 5 .
5
25(1 sinα cosα) α π π
18．(1) l ，
sinαcosα
[, ] ；
6 3
EF 125 ．
2
当 BE AF 25 米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 元．
【详解】（1）在RtaBOE, RtaAOF 中，由 BOE AFO α，得OE 25 ， OF 25 ，
cosα sinα
又Rt△EOF 中，由勾股定理得 EF

25 ，
因此l
25
cosα
25
sinα
25
sinαcosα
25(1 sinα cosα) ， sinαcosα
sinαcosα
当点 F 在点 D 时，此时α的值最小，α π ，当点 E 在点C 时，此时α的值最大，α π ，
6 3
25(1 sinα cosα) π π
所以函数关系式为l ，定义域为[, ] .
sinαcosα 6 3
（2）由（1）知 EF
25 , tanα 1 ，
sinαcosα 2
因此sinα cosα
sinα cosα
tanα
2 ，
于是 EF 125 .
2
sin2α cos2α
tan2α 1 5
（3）依题意，要使费用最低，只需OE OF 最小即可，
由（1）得
OE OF 25(sinα cosα) ,α
sinαcosα
t2 1
π π
[, ] ，
6 3
OE OF
25t
50t
50
设sinα cosα t ，则sinα cosα ，
2
t 2 1
2
t 2 1
t 1 ，
t
t 2 sin(α π) ，由α
π π
[, ]
，得 5π α π 7π ， sin 7π sin 5π
4 6 3
12 4 12
12 12
sin( π π)
2 ( 1
3 )
6 2 ，于是 3 1 t ，
6 4 2 2 2 4 2
令 f (t) t 1 ，函数 f (t) t 1 在(0, ) 上为增函数，
t t
则当t 时， OE OF 最小，且最小值为50
，此时α π ，
4
所以当 BE AF 25 米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 元．
19．(1)证明见解析；
tan PBA 3 ；
5
2 2 3 .
【详解】（1）由cos 2B cos 2C 1 cos 2 A ，得1 2 sin2 B 1 2 sin2 C 1 1 2 sin2 A ，即sin2 A sin2 B sin2 C ，由正弦定理得a2 b2 c2 ，
所以V ABC 是直角三角形.
（2）由（1）知 A π ，
2
V ABC 的面积为S 1 bc sin A 1 b 1 3 ，则b 3,a
2 ，
2 2 2
所以在Rt△ABC 中， sin B b 3 , sin C c 1 ，
a 2 a 2
所以 B π , C π ，
3 6
由 P 为V ABC 的费马点，得 APB BPC CPA 2π ，
3
设 PBA θ，则 BAP PBC π θ， BCP θ，
3
在aPAB 中，由正弦定理得
AB
sin APB
BP
sin PAB ，
1
sin 2π
BP
sin( π θ)
, BP
2 sin( π θ)
3 ，
3
3 3
BC BP
BP
, BP 4 sinθ
在△PBC 中，由正弦定理得sin CPB sin PCB ，则sin 2π sinθ ，
3
2 sin( π θ)
1 3 5
因此 3 4 sinθ，整理得
cosθ sinθ 2sinθ，即
2 2
cosθ sinθ，
2 2
所以tanθ
3 ，即tan PBA 3 .
5 5
（3）由 P 为V ABC 的费马点，得 APB BPC CPA 2π ，
3
设 PB mPA,PC nPA,PA x,m 0,n 0,x 0 ，则 PB PC m n ，
PA
在aPAB 中，由余弦定理得 AB2 x2 m2 x2 2mx2 cos 2π (m2 m 1)x2 ，
3
在aPAC 中，由余弦定理得 AC 2 x2 n2 x2 2nx2 cos 2π (n2 n 1)x2 ，
3
在△PBC 中，由余弦定理得 BC 2 m2 x2 n2 x2 2mnx2 cos 2π (m2 n2 mn)x2 ，
3
由 AC 2 AB2 BC 2 ，得(n2 n 1)x2 (m2 m 1)x2 (m2 n2 mn)x2 ，
化简得m n 2 mn ，又m 0,n 0 ，则m n 2 mn ( m n )2 ，当且仅当m n 时取等号，
2
整理得(m n)2 4(m n) 8 0 ，因此m n 2 2 3 ，或m n 2 2 3 （舍去），
所以 PB PC 的最小值为2 2 3 .
PA