1.2空间向量基本定理检测卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.2空间向量基本定理检测卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-04 08:33:51 | ||
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文档简介
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1.2空间向量基本定理检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．
2．（2024秋 大荔县期末）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
3．（2024秋 市中区校级期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2024秋 新化县期末）已知在四面体O﹣ABC中，，N为BC的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2025 玉溪校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 抚州校级月考）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为（ ）
A．0 B．5 C．9 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（ ）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（ ）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 华容县期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝ ．
13．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
14．（2025春 黑河期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
16．（2023秋 广丰区校级期末）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若3，2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
18．（2024秋 天河区校级月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
19．（2023秋 淄博期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
1.2空间向量基本定理检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C A C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．
【解答】解：要使，，构成空间的一个基底，则，，不共面，
结合选项可知，只有选项A，，，两两垂直可得它们不共面，可作为基底，
选项B：，能推出与，共面，则B错误，
选项C：满足向量的共面定理，则，，共面，则C错误，
选项D：，则满足向量的共面定理，则，，共面，则D错误．
故选：A．
2．（2024秋 大荔县期末）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【解答】解：A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确；
B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；
C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；
D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确．
故选：C．
3．（2024秋 市中区校级期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解答】解：A中，因为（），所以，，共面，所以A不正确；
B中，因为，所以，，共面，所以B不正确；
C中，因为，所以，，共面，所以C不正确；
D中，假设，，共面，则x（）+y（）＝xy（x+y），
则，显然方程组没有解，即，，不共面，所以D正确．
故选：D．
4．（2024秋 新化县期末）已知在四面体O﹣ABC中，，N为BC的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．3 B． C． D．
【解答】解：如图，
连接ON，
∵，N为BC的中点，
∴，
又，则x+y+z．
故选：B．
5．（2025 玉溪校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：连接BD，
∵E为PD的中点，
若，，，
则
．
故选：C．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
7．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，
（）
（）
．
故选：C．
8．（2024秋 抚州校级月考）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为（ ）
A．0 B．5 C．9 D．
【解答】解：因为，，；
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对（x，y），使，即，
解得．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：空间中的一组基底由3个不共面的向量构成，
对于A，两两正交，∴可以成为空间中一组基底，故A正确；
对于B，∴，∴，
∴，，共面，故不能成为空间中的一组基底，故B错误；
对于C，∵，在平面A1BCD1上，而DC与平面A1BCD1不平行，
∴，，不共面，可以成为空间中的一组基底，故C正确；
对于D，∵，∴，故不能成为空间中的一组基底，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（ ）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
【解答】解：A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），
则，，
所以，，
因此，不存在实数x，使得，A错；
对于B选项，若存在实数x，使，
，，
即20+（x﹣1）2＝5+（x﹣4）2，解得x＝0，B对；
对于C选项，由题意可得，
若为锐角，则，解得，
且、不共线，若、共线，则，解得x＝7，
所以，当、不共线时，x≠7，
因此，若为锐角，则且x≠7，C错；
对于D选项，若、、共面，则存在m、n∈R，使得，
则，解得，
因此，若为一组基底，则x≠7，D对．
故选：BD．
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（ ）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
【解答】解：A中，当与共线时，则A，B，C三点共线，因为λμ，显然D在直线直线AB上，即A，B，C，D共面，
当与不共线时，则，可以做为一组基底，则存在唯一的有序实数对λ，μ，使得λμ成立，
即，，共面，即A，B，C，D四点共面，所以A正确；
B中，（[）+（）]，所以，，不能作为空间的一组基底，所以B不正确；
C中，因为，，所以，
即，两式相加可得 （）＝0，
即 0，所以C正确；
D中，可得C（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
可得（0，1，1），（﹣1，0，1），设平面B1CD1的法向量为（x1，y1，z1），
则，即，
令z1＝1，即（1，﹣1，1），
在平面B1CD1上取任意一点P（x，y，z），
则（x﹣1，y，z），
则平面B1CD1的方程为1 （x﹣1）+（﹣1） y+1 z＝0，即x﹣y+z﹣1＝0，
将点代入可得：1＝0，所以点在平在平面上，所以D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 华容县期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝ ．
【解答】解：连接BD，如图所示：
则，
又，所以．
故答案是：．
13．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以．
故答案为：．
14．（2025春 黑河期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
【解答】解：M是四面体OABC的棱BC的中点，，
则，
，
若，
则x＝y＝z，
故x+y+z．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
16．（2023秋 广丰区校级期末）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若3，2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
【解答】解：（1）∵2，
∴（）（），
故（），
∵点E为AD的中点，
故（）；
（2）由题意得： ， 3， 3，
故，
故 （） （）
993×3×cos60°3×2cos60°3×2cos60°
．
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得
，
由，
可得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
18．（2024秋 天河区校级月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
【解答】解：（1）四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
∵，
即．
证明：（2），
0．
所以FE⊥CD．
19．（2023秋 淄博期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解答】解：（1）因为，所以，，
所以，
又因为，，，所以．
（2）因为∠BAC＝90°，所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，所以，
因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，
所以，
所以．
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1.2空间向量基本定理检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．
2．（2024秋 大荔县期末）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
3．（2024秋 市中区校级期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2024秋 新化县期末）已知在四面体O﹣ABC中，，N为BC的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2025 玉溪校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 抚州校级月考）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为（ ）
A．0 B．5 C．9 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（ ）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（ ）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 华容县期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝ ．
13．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
14．（2025春 黑河期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
16．（2023秋 广丰区校级期末）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若3，2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
18．（2024秋 天河区校级月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
19．（2023秋 淄博期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
1.2空间向量基本定理检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C A C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．
【解答】解：要使，，构成空间的一个基底，则，，不共面，
结合选项可知，只有选项A，，，两两垂直可得它们不共面，可作为基底，
选项B：，能推出与，共面，则B错误，
选项C：满足向量的共面定理，则，，共面，则C错误，
选项D：，则满足向量的共面定理，则，，共面，则D错误．
故选：A．
2．（2024秋 大荔县期末）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【解答】解：A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确；
B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；
C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；
D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确．
故选：C．
3．（2024秋 市中区校级期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解答】解：A中，因为（），所以，，共面，所以A不正确；
B中，因为，所以，，共面，所以B不正确；
C中，因为，所以，，共面，所以C不正确；
D中，假设，，共面，则x（）+y（）＝xy（x+y），
则，显然方程组没有解，即，，不共面，所以D正确．
故选：D．
4．（2024秋 新化县期末）已知在四面体O﹣ABC中，，N为BC的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．3 B． C． D．
【解答】解：如图，
连接ON，
∵，N为BC的中点，
∴，
又，则x+y+z．
故选：B．
5．（2025 玉溪校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：连接BD，
∵E为PD的中点，
若，，，
则
．
故选：C．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
7．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，
（）
（）
．
故选：C．
8．（2024秋 抚州校级月考）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为（ ）
A．0 B．5 C．9 D．
【解答】解：因为，，；
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对（x，y），使，即，
解得．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 上城区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：空间中的一组基底由3个不共面的向量构成，
对于A，两两正交，∴可以成为空间中一组基底，故A正确；
对于B，∴，∴，
∴，，共面，故不能成为空间中的一组基底，故B错误；
对于C，∵，在平面A1BCD1上，而DC与平面A1BCD1不平行，
∴，，不共面，可以成为空间中的一组基底，故C正确；
对于D，∵，∴，故不能成为空间中的一组基底，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（ ）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
【解答】解：A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），
则，，
所以，，
因此，不存在实数x，使得，A错；
对于B选项，若存在实数x，使，
，，
即20+（x﹣1）2＝5+（x﹣4）2，解得x＝0，B对；
对于C选项，由题意可得，
若为锐角，则，解得，
且、不共线，若、共线，则，解得x＝7，
所以，当、不共线时，x≠7，
因此，若为锐角，则且x≠7，C错；
对于D选项，若、、共面，则存在m、n∈R，使得，
则，解得，
因此，若为一组基底，则x≠7，D对．
故选：BD．
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（ ）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
【解答】解：A中，当与共线时，则A，B，C三点共线，因为λμ，显然D在直线直线AB上，即A，B，C，D共面，
当与不共线时，则，可以做为一组基底，则存在唯一的有序实数对λ，μ，使得λμ成立，
即，，共面，即A，B，C，D四点共面，所以A正确；
B中，（[）+（）]，所以，，不能作为空间的一组基底，所以B不正确；
C中，因为，，所以，
即，两式相加可得 （）＝0，
即 0，所以C正确；
D中，可得C（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
可得（0，1，1），（﹣1，0，1），设平面B1CD1的法向量为（x1，y1，z1），
则，即，
令z1＝1，即（1，﹣1，1），
在平面B1CD1上取任意一点P（x，y，z），
则（x﹣1，y，z），
则平面B1CD1的方程为1 （x﹣1）+（﹣1） y+1 z＝0，即x﹣y+z﹣1＝0，
将点代入可得：1＝0，所以点在平在平面上，所以D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 华容县期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝ ．
【解答】解：连接BD，如图所示：
则，
又，所以．
故答案是：．
13．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以．
故答案为：．
14．（2025春 黑河期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
【解答】解：M是四面体OABC的棱BC的中点，，
则，
，
若，
则x＝y＝z，
故x+y+z．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
16．（2023秋 广丰区校级期末）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若3，2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
【解答】解：（1）∵2，
∴（）（），
故（），
∵点E为AD的中点，
故（）；
（2）由题意得： ， 3， 3，
故，
故 （） （）
993×3×cos60°3×2cos60°3×2cos60°
．
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得
，
由，
可得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
18．（2024秋 天河区校级月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
【解答】解：（1）四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
∵，
即．
证明：（2），
0．
所以FE⊥CD．
19．（2023秋 淄博期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解答】解：（1）因为，所以，，
所以，
又因为，，，所以．
（2）因为∠BAC＝90°，所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，所以，
因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，
所以，
所以．
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