1.1空间向量及其运算检测卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.1空间向量及其运算检测卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 914.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-04 17:48:25 | ||
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文档简介
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1.1空间向量及其运算检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 黑龙江开学）已知向量，，若与共线，则x+y＝（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
3．（2025 沧州一模）在正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 黄山期末）已知空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
5．（2024秋 拱墅区校级期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2025春 石家庄期中）已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，则|2|的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2024秋 浏阳市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
（多选）10．（2024秋 科左中旗校级期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣1，﹣2，0）
D．与的夹角为90°
（多选）11．（2024秋 黄山期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形B1BDD1的面积为
D．若，则点M在平面B1BDD1内
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 辛集市期末）若为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 ．
13．（2024秋 英吉沙县期末）已知向量，，若，则mn的值为 ．
14．（2024秋 静安区校级期末）给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 卓尼县校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，，．
（1）求证：A，E，C1，F四点共面；
（2）若，求x+y+z的值．
16．（2024秋 含山县校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
17．（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
18．（2025春 甘州区校级期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点．
（1）若，求x+y+z的值；
（2）求．
19．（2025春 江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
1.1空间向量及其运算检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C C C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
如图所示：
故．
故选：A．
2．（2025 黑龙江开学）已知向量，，若与共线，则x+y＝（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
【解答】解：向量，，由与共线，
故存在t∈R，使得，即，
解得x＝﹣1，y＝﹣8，所以x+y＝﹣9．
故选：C．
3．（2025 沧州一模）在正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则O为△BCD的重心，
连接BO，并延长交CD于M，则点M为CD的中点，所以，
（）（）．
故选：D．
4．（2024秋 黄山期末）已知空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
【解答】解：由空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，
可得⊥，即 0，
即1×m+3×2+（﹣2）×（m+1）＝0，
解得m＝4．
故选：C．
5．（2024秋 拱墅区校级期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【解答】解：由与垂直，可得，
解得n＝﹣2，所以，
所以．
故选：C．
6．（2025春 石家庄期中）已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，则|2|的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，
则，
则|2|．
故选：C．
7．（2024秋 浏阳市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，，，，
∴（），
故选：A．
8．（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
【解答】解：因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 科左中旗校级期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣1，﹣2，0）
D．与的夹角为90°
【解答】解：已知空间中三个向量，，，
对于A选项，因为，故、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量是，B对；
对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；
对于D选项，因为，则、不垂直，D错．
故选：BC．
（多选）11．（2024秋 黄山期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形B1BDD1的面积为
D．若，则点M在平面B1BDD1内
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，
因为，
所以
25；
故；故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，所以BB1⊥BD，四边形B1BDD1为矩形，其面积，故C正确；
对于D：因为，由于，所以M，O，O1，B1四点共面，即M在平面B1BDD1内，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 辛集市期末）若为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 ．
【解答】解：为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，
＝1+4+9+4cos120°﹣6cos120°﹣12cos120°＝14﹣2+3+6＝21，
则．
故答案为：．
13．（2024秋 英吉沙县期末）已知向量，，若，则mn的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵，且，，
∴，
解得m＝﹣6，，
∴mn＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2024秋 静安区校级期末）给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 （0，0，0） ．
【解答】解：定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），
故，，所以；
则在方向上的投影向量的坐标为（0，0，0）．
故答案为：（0，0，0）．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 卓尼县校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，，．
（1）求证：A，E，C1，F四点共面；
（2）若，求x+y+z的值．
【解答】解：（1）证明：∵，
∴A，E，C1，F四点共面．
（2）∵，
，
∴x＝﹣1，y＝1，，
∴．
16．（2024秋 含山县校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
【解答】解：（1），，，则．
（2）∵AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴
＝25+9+4+0+（20+12） cos60°＝54，
∴．
17．（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
【解答】解：（1）由题意可得，，
，
所以3+3+32＝15；
（2）29+4，
所以线段AC′的长为．
18．（2025春 甘州区校级期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点．
（1）若，求x+y+z的值；
（2）求．
【解答】解：（1）根据题意可知，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点，
，
又因为，则，
所以x+y+z＝0；
（2）由题意可知：，
又因为，
所以．
19．（2025春 江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
【解答】（1）解：如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，；
所以，
，
；
（2），，，
故1+4+8+2×（1+4+2）＝27，
所以，即AC1的长为；
（3）因为，，
同理可求得，，
又因为9．
所以，
所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．
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1.1空间向量及其运算检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 黑龙江开学）已知向量，，若与共线，则x+y＝（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
3．（2025 沧州一模）在正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 黄山期末）已知空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
5．（2024秋 拱墅区校级期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2025春 石家庄期中）已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，则|2|的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2024秋 浏阳市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
（多选）10．（2024秋 科左中旗校级期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣1，﹣2，0）
D．与的夹角为90°
（多选）11．（2024秋 黄山期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形B1BDD1的面积为
D．若，则点M在平面B1BDD1内
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 辛集市期末）若为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 ．
13．（2024秋 英吉沙县期末）已知向量，，若，则mn的值为 ．
14．（2024秋 静安区校级期末）给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 卓尼县校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，，．
（1）求证：A，E，C1，F四点共面；
（2）若，求x+y+z的值．
16．（2024秋 含山县校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
17．（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
18．（2025春 甘州区校级期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点．
（1）若，求x+y+z的值；
（2）求．
19．（2025春 江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
1.1空间向量及其运算检测卷-2025-2026学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C C C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
如图所示：
故．
故选：A．
2．（2025 黑龙江开学）已知向量，，若与共线，则x+y＝（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
【解答】解：向量，，由与共线，
故存在t∈R，使得，即，
解得x＝﹣1，y＝﹣8，所以x+y＝﹣9．
故选：C．
3．（2025 沧州一模）在正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：正三棱锥A﹣BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则O为△BCD的重心，
连接BO，并延长交CD于M，则点M为CD的中点，所以，
（）（）．
故选：D．
4．（2024秋 黄山期末）已知空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
【解答】解：由空间向量，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，
可得⊥，即 0，
即1×m+3×2+（﹣2）×（m+1）＝0，
解得m＝4．
故选：C．
5．（2024秋 拱墅区校级期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【解答】解：由与垂直，可得，
解得n＝﹣2，所以，
所以．
故选：C．
6．（2025春 石家庄期中）已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，则|2|的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：已知空间中非零向量，，且||＝1，||＝2，，60°，
则，
则|2|．
故选：C．
7．（2024秋 浏阳市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，，，，
∴（），
故选：A．
8．（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
【解答】解：因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 科左中旗校级期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣1，﹣2，0）
D．与的夹角为90°
【解答】解：已知空间中三个向量，，，
对于A选项，因为，故、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量是，B对；
对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；
对于D选项，因为，则、不垂直，D错．
故选：BC．
（多选）11．（2024秋 黄山期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形B1BDD1的面积为
D．若，则点M在平面B1BDD1内
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，
因为，
所以
25；
故；故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，所以BB1⊥BD，四边形B1BDD1为矩形，其面积，故C正确；
对于D：因为，由于，所以M，O，O1，B1四点共面，即M在平面B1BDD1内，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 辛集市期末）若为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 ．
【解答】解：为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，
＝1+4+9+4cos120°﹣6cos120°﹣12cos120°＝14﹣2+3+6＝21，
则．
故答案为：．
13．（2024秋 英吉沙县期末）已知向量，，若，则mn的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵，且，，
∴，
解得m＝﹣6，，
∴mn＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2024秋 静安区校级期末）给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 （0，0，0） ．
【解答】解：定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，﹣4，3），
故，，所以；
则在方向上的投影向量的坐标为（0，0，0）．
故答案为：（0，0，0）．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 卓尼县校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，，．
（1）求证：A，E，C1，F四点共面；
（2）若，求x+y+z的值．
【解答】解：（1）证明：∵，
∴A，E，C1，F四点共面．
（2）∵，
，
∴x＝﹣1，y＝1，，
∴．
16．（2024秋 含山县校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
【解答】解：（1），，，则．
（2）∵AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴
＝25+9+4+0+（20+12） cos60°＝54，
∴．
17．（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
【解答】解：（1）由题意可得，，
，
所以3+3+32＝15；
（2）29+4，
所以线段AC′的长为．
18．（2025春 甘州区校级期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点．
（1）若，求x+y+z的值；
（2）求．
【解答】解：（1）根据题意可知，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点，
，
又因为，则，
所以x+y+z＝0；
（2）由题意可知：，
又因为，
所以．
19．（2025春 江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
【解答】（1）解：如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设，，；
所以，
，
；
（2），，，
故1+4+8+2×（1+4+2）＝27，
所以，即AC1的长为；
（3）因为，，
同理可求得，，
又因为9．
所以，
所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．
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