第二章一元二次函数、方程和不等式真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册

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第二章一元二次函数、方程和不等式真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海淀区校级三模）已知x＞y＞z，且x+y+z＝0，下列不等式中成立的是（　　）
A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
2．（2025春 西安校级月考）若a＞b＞c，a+2b+3c＝0，则（　　）
A．ab＞ac B．ac＞bc C．ab＞bc D．a|b|＞c|b|
3．（2025 淄博校级模拟）利民工厂的某产品，年产量在150T至250T之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系近似地表示为y30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为（　　）
A．160 B．180 C．200 D．240
4．（2025 天水学业考试）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
5．（2024秋 修文县校级期中）若x＞0，则（　　）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
6．（2024秋 广东月考）设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法错误的是（　　）
A．的最小值为4 B．xy的最大值为
C．的最大值为2 D．x2+4y2的最小值为
7．（2024春 峨山县校级期末）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
8．（2024秋 梅河口市校级期中）不等式0的解集为（　　）
A．{x|x≥1或≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤1}
C．{x|x≥1或x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜1}
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 射洪市校级一模）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a+2b≥4 B．a+b≥4 C．ab≥2 D．a2+4b2≥8
（多选）10．（2025 自流井区校级二模）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为3 B．mn的最大值为1
C．的最小值为2 D．m2+n2的最小值为2
（多选）11．（2024 昌乐县校级模拟）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则
C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
D．若a＞b，c＞d＞0，则
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 黄浦区校级期末）关于x的不等式（2﹣a）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0对一切实数x都成立，则a的范围是　 　 ．
13．（2025 浦东新区校级模拟）已知不等式a3x+4≤b的解集为[a，b]，则a+b的值为　 　 ．
14．（2024秋 南沙区校级期中）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 　 　 元．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 湖北模拟）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
16．（2024秋 白城校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c满足以下条件：
（1）该函数图象过原点；
（2）当x＝﹣1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
（3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4．
求当x＝﹣2时，y的取值范围．
17．（2023秋 海淀区校级期末）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．
（1）若不等式f（x）＞b的解集为（0，3），求实数a、b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10，求m的取值范围．
18．（2024秋 荆州区校级期中）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）解关于x的不等式y＜0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
19．（2025 孝感三模）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足：x＝3（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
第二章一元二次函数、方程和不等式真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A A C B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ABD BC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海淀区校级三模）已知x＞y＞z，且x+y+z＝0，下列不等式中成立的是（　　）
A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
【解答】解：∵x＞y＞z
∴3x＞x+y+z＝0，3z＜x+y+z＝0，
∴x＞0，z＜0．
由
得：xy＞xz．
故选：C．
2．（2025春 西安校级月考）若a＞b＞c，a+2b+3c＝0，则（　　）
A．ab＞ac B．ac＞bc C．ab＞bc D．a|b|＞c|b|
【解答】解：因为a＞b＞c，a+2b+3c＝0，
所以a＞0，c＜0，
又b＞c，a＞0，
故A正确．
故选：A．
3．（2025 淄博校级模拟）利民工厂的某产品，年产量在150T至250T之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系近似地表示为y30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为（　　）
A．160 B．180 C．200 D．240
【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为（万元），
则10
当且仅当，即x＝200时取等号，又150＜200＜250，
所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低．
故选：C．
4．（2025 天水学业考试）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）
＝（a﹣1）2+2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
5．（2024秋 修文县校级期中）若x＞0，则（　　）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【解答】解：，
因为x＞0，所以，
当且仅当时，上式取等号，
故有最大值，
故选：A．
6．（2024秋 广东月考）设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法错误的是（　　）
A．的最小值为4 B．xy的最大值为
C．的最大值为2 D．x2+4y2的最小值为
【解答】解：对于A，，当且仅当x＝y且x+2y＝3，即x＝y＝1时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当x＝2y，且x+2y＝3，即时取等号，故B正确；
对于C，，
则，当且仅当x＝2y，且x+2y＝3，即时，故C错误；
对于D，，当且仅当x＝2y且x+2y＝3，即时取等号，故D正确．
故选：C．
7．（2024春 峨山县校级期末）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【解答】解：由定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，得
x⊙（x﹣2）＝x（x﹣2）+2x+x﹣2＝x2+x﹣2．
∴x⊙（x﹣2）＜0 x2+x﹣2＜0，
解得：﹣2＜x＜1．
∴满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为{x|﹣2＜x＜1}．
故选：B．
8．（2024秋 梅河口市校级期中）不等式0的解集为（　　）
A．{x|x≥1或≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤1}
C．{x|x≥1或x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜1}
【解答】解：不等式等价于0，即（x+1）（x﹣1）≤0，且x﹣1≠0，解得﹣1≤x＜1，
故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜1}，
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 射洪市校级一模）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a+2b≥4 B．a+b≥4 C．ab≥2 D．a2+4b2≥8
【解答】解：由a＞0，b＞0，a+2b＝2ab得：；
对于A，（当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即，），B错误；
对于C，∵（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
∴，解得：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），C正确；
对于D，∵a2+4b2≥4ab（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
由C知：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），
∴a2+4b2≥8（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025 自流井区校级二模）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为3 B．mn的最大值为1
C．的最小值为2 D．m2+n2的最小值为2
【解答】解：因为m＞0，n＞0，
所以1＝3，
当且仅当且m+n＝2即m＝n＝1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由mn1，当且仅当m＝n＝1时mn取得最大值1，B正确；
m+n+22+22+m+n＝4，当且仅当m＝n＝1时取等号，
故2即最大值为2，C错误；
m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn2，当且仅当m＝n＝1时取等号，此处取得最小值2，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024 昌乐县校级模拟）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则
C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
D．若a＞b，c＞d＞0，则
【解答】解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；
若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即，所以B正确；
若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；
反例a＝﹣3，b＝﹣5，c＝5，d＝1 也满足a＞b，c＞d＞0 但结论不正确，所以D不正确，
故选：BC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 黄浦区校级期末）关于x的不等式（2﹣a）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0对一切实数x都成立，则a的范围是　（﹣2，2]　 ．
【解答】解：当2﹣a＝0，即a＝2时，不等式为4＞0，对一切实数x都成立，∴a＝2符合题意；
当2﹣a＞0，即a＜2时，Δ＝4（a﹣2）2﹣4 （2﹣a） 4＜0，解得﹣2＜a＜2；
当2﹣a＜0，即a＞2时，不满足题意；
综上，﹣2＜a≤2；
∴a的取值范围是（﹣2，2]．
故答案为：（﹣2，2]．
13．（2025 浦东新区校级模拟）已知不等式a3x+4≤b的解集为[a，b]，则a+b的值为　4　 ．
【解答】解：设f（x）x2﹣3x+4，当x2时，f（x）min＝1，
由题意可知a≤1，且f（a）＝f（b）＝b，a＜b，
由f（b）＝b得到b2﹣3b+4＝b，解得b（舍去）或b＝4，
可得b＝4，
由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，
所以a+b＝4．
故答案为：4
14．（2024秋 南沙区校级期中）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 　60　 元．
【解答】解：设涨价x元时，获得利润为y元，
则y＝（5+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+40x+250，
∴x＝10时，y取最大值，此时售价为60元．
故答案为：60．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 湖北模拟）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0
∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0
∴a2﹣6a﹣3＜0
∴
∴不等式的解集为（6分）
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），
∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），
∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b＝0的两个根
∴
∴（12分）
16．（2024秋 白城校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c满足以下条件：
（1）该函数图象过原点；
（2）当x＝﹣1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
（3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4．
求当x＝﹣2时，y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax2+bx．
又∵当x＝﹣1时，1≤a﹣b≤2．①
当x＝1时，3≤a+b≤4，②
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b．
设存在实数m，n，使得4a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），
而4a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴，解得m＝1，n＝3，
∴4a﹣2b＝（a+b）+3（a﹣b）．
由①②可知3≤a+b≤4，3≤3（a﹣b）≤6，
∴3+3≤4a﹣2b≤4+6．
即6≤4a﹣2b≤10，
故当x＝﹣2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10．
17．（2023秋 海淀区校级期末）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．
（1）若不等式f（x）＞b的解集为（0，3），求实数a、b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10，求m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，不等式f（x）＞b的解集为（0，3），
所以0和3是一元二次方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣12+b＝0的两实数根，
所以，解得a＝3，b＝12；
（2）当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+9x+12，
不等式f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10可化为﹣3x2+9x+12≥﹣3x2+（m+9）x+10，
即mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立；
m＝0时，mx＝0≤2显然成立；
m＞0时，mx≤2化为x，即1，解得m≤2，即0＜m≤2；
m＜0时，mx≤2化为x，即1，解得m≥﹣2，即﹣2≤m＜0；
综上知，m的取值范围是[﹣2，2]．
18．（2024秋 荆州区校级期中）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）解关于x的不等式y＜0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
【解答】解：（1）不等式y＜0即为2x2﹣（a+2）x+a＜0，∴（2x﹣a）（x﹣1）＜0，
方程（2x﹣a）（x﹣1）＝0的两根分别为1和，
当a＜2，即时，解不等式可得，
当a＝2，即时，不等式无解，
当a＞2，即时，解不等式可得1，
综上可知：当a＜2时，不等式的解集为，
当a＝2时，不等式的解集为 ，
当a＞2时，不等式的解集为；
（2）方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，
即方程2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2
则，解得a＞1，
所以，
令t＝a﹣1，则t＞0，故，
当且仅当即t＝4，a＝5时取得等号，
故的最小值为6．
19．（2025 孝感三模）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足：x＝3（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解答】解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴x＝3；
每件产品的销售价格为1.5（万元），
∴利润函数y＝x[1.5]﹣（8+16x+m）
＝4+8x﹣m＝4+8（3）﹣m
＝﹣[（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y＝﹣[（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，（m+1）≥28，
∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当m+1，即m＝3（万元）时，ymax＝21（万元）．
所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
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