第二章直线与圆的方程真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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第二章直线与圆的方程真题演练卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广西开学）已知直线l：ax+2y+a+4＝0与圆C：x2+y2+2y﹣2＝0，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的
2．（2025春 迎江区校级月考）已知集合M＝{（x，y）|y＝x}，集合N＝{（x，y）|2x﹣y＝1且x+4y＝5}，p∈M是p∈N的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
3．（2024秋 白城校级期末）已知直线5x+12y﹣3＝0与直线10x+my+20＝0平行，则它们之间的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2024秋 浉河区校级期末）设直线x+ay+2＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则a＝（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
5．（2024秋 邵东市校级期末）已知点A为圆C1：x2+y2﹣8y+12＝0上的动点，点B为圆C2：x2+y2﹣8x+2y+8＝0上的动点，下列说法正确的有（　　）
A．两个圆心所在直线的斜率为
B．两圆恰有3条公切线
C．两圆公共弦所在直线的方程为4x﹣5y+2＝0
D．|AB|的最小值为
6．（2024秋 辛集市期末）已知直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R）的交点为P，则点P到直线l：y＝x﹣3距离的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．±2
8．（2024秋 四川校级期末） x，y∈R，函数的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 西宁期末）直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
（多选）10．（2025春 镇雄县校级期中）已知直线l：x＝ty﹣2，圆C：x2+y2﹣4x﹣4＝0，则下列说法正确的有（　　）
A．若t＝1，则l与圆C相切
B．若l与圆C相交，则t＜﹣1或t＞1
C．圆C可能关于l对称
D．若，则l被圆C截得的弦长为4
（多选）11．（2024秋 通辽校级期末）若一个以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　）
A．直线x＝0与圆相切
B．圆关于直线y＝﹣2x对称
C．对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交
D．P（x，y）为圆上任意一点，则的最大值为9
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 杨浦区校级月考）直线y＝2x+1的倾斜角为 　 　 ．
13．（2025春 咸阳校级月考）已知点M（0，3），直线x﹣ky﹣2＝0被圆（x﹣1）2+y2＝8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 　 　 ．
14．（2025春 宝山区校级期中）若直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 辛集市期末）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
（1）求边AB的高线的方程；
（2）求边BC的中线的方程；
（3）求∠A的平分线的方程．
16．（2024秋 宝鸡期末）已知直线l：x﹣2y﹣3＝0
（1）若直线l1过点M（2，﹣1），且l1⊥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程．
17．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
18．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
19．（2025春 沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．直线l：y＝kx+1．
（1）已知圆C：x2+（y﹣a）2＝4（a≤1），圆的圆心分别为C，C1，且d（C，C1）＝2，判断圆C与圆C1的位置关系；
（2）若直线l与（1）问结论中的圆C自上而下交于A，B两点，直线l与y轴、x轴分别交于P、Q两点：若（1）问结论中的圆C与y轴自上而下交于G，H两点．
①设，求m+n的值；
②求证：直线AH、BG交点R在定直线上．
第二章直线与圆的方程真题演练卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C D D C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广西开学）已知直线l：ax+2y+a+4＝0与圆C：x2+y2+2y﹣2＝0，则直线l与圆C的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的
【解答】解：已知直线l：ax+2y+a+4＝0，
变形可得：直线l：a（x+1）+2y+4＝0，
令，
即，
即直线l过定点A（﹣1，﹣2）．
因为（﹣1）2+（﹣2）2+2×（﹣2）﹣2＝﹣1＜0，
所以点A（﹣1，﹣2）在圆C内，
则直线l与圆C相交．
故选：C．
2．（2025春 迎江区校级月考）已知集合M＝{（x，y）|y＝x}，集合N＝{（x，y）|2x﹣y＝1且x+4y＝5}，p∈M是p∈N的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
【解答】解：N＝{（x，y）|2x﹣y＝1且x+4y＝5}，
联立，解得，
∴N＝{（1，1）}，
∴N M，
∴p∈M是p∈N的必要不充分条件．
故选：B．
3．（2024秋 白城校级期末）已知直线5x+12y﹣3＝0与直线10x+my+20＝0平行，则它们之间的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：由题知两条直线平行，
故有，
解得m＝24，10x+24y+20＝0，
即5x+12y+10＝0，
由两条平行线间的距离公式得．
故选：A．
4．（2024秋 浉河区校级期末）设直线x+ay+2＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则a＝（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：直线x+ay+2＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，
由三角形的面积公式可得，
得sin∠ACB＝1，由0＜∠ACB＜π，得，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C（0，2）到直线x+ay+2＝0的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得a＝1．
故选：C．
5．（2024秋 邵东市校级期末）已知点A为圆C1：x2+y2﹣8y+12＝0上的动点，点B为圆C2：x2+y2﹣8x+2y+8＝0上的动点，下列说法正确的有（　　）
A．两个圆心所在直线的斜率为
B．两圆恰有3条公切线
C．两圆公共弦所在直线的方程为4x﹣5y+2＝0
D．|AB|的最小值为
【解答】解：由，则C2（4，﹣1），半径为r2＝3，
由，则C1（0，4），半径为r1＝2，
所以，A错；
，即两圆外离，有4条公切线，B、C错；
，D对．
故选：D．
6．（2024秋 辛集市期末）已知直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R）的交点为P，则点P到直线l：y＝x﹣3距离的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，直线l1：ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，恒过定点（0，5），设A的坐标为（0，5），
直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R），变形可得a（y﹣1）＝﹣（x+4），恒过定点（﹣4，1），设B的坐标为（﹣4，1），
又由直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R），则有1×a+（﹣1）a＝0，
则直线l1，l2分别过定点A（0，5），B（﹣4，1），且互相垂直，
所以点P的轨迹是以AB为直径的圆（不含点（0，1）），
这个圆的圆心坐标为（﹣2，3），半径r|AB|，
圆心到直线l距离为，
因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是（0，1），因此取值范围是．
故选：D．
7．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．±2
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0的圆心（m，0），半径为6，
圆C2：x2+y2﹣4y＝0的圆心（0，2），半径为2，
圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，
说明两个圆内切，
可得，
解得m＝±．
故选：C．
8．（2024秋 四川校级期末） x，y∈R，函数的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设点A（x，y），B（1，4）和直线l：3x+4y﹣5＝0，A，B到l的距离分别为d1，d2，
可得|AB|+d1，
则．
当且仅当A，B重合时取得等号．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 西宁期末）直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3），圆心（﹣a，0），半径为，
根据题意，圆心（﹣a，0）到直线x﹣y+1＝0的距离d，﹣1≤a≤3，可得d，
直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为1个或2个．
故选：BC．
（多选）10．（2025春 镇雄县校级期中）已知直线l：x＝ty﹣2，圆C：x2+y2﹣4x﹣4＝0，则下列说法正确的有（　　）
A．若t＝1，则l与圆C相切
B．若l与圆C相交，则t＜﹣1或t＞1
C．圆C可能关于l对称
D．若，则l被圆C截得的弦长为4
【解答】解：由题可知，直线l过定点（﹣2，0），
因为圆C：（x﹣2）2+y2＝8，
所以圆心为C（2，0），半径为，
对于A：若t＝1，则圆心C（2，0）到直线x﹣y+2＝0的距离为，即圆心到直线的距离等于半径，
所以l与圆C相切，故A正确；
对于B：依题意，由圆心C（2，0）到直线x﹣ty+2＝0的距离为，
解得t＞1或t＜﹣1，故B正确；
对于C：将（2，0）代入到l的方程，得2＝t×0﹣2不成立，
故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C错误；
对于D：若，圆心C（2，0）到直线的距离为，
则弦长为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024秋 通辽校级期末）若一个以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　）
A．直线x＝0与圆相切
B．圆关于直线y＝﹣2x对称
C．对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交
D．P（x，y）为圆上任意一点，则的最大值为9
【解答】解：若一个以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，
对于A选项，因圆心C（2，﹣4）到直线x＝0的距离为2，小于半径4，即直线x＝0与圆相交，故A选项错误；
对于B选项，因圆心（2，﹣4）在直线y＝﹣2x上，故圆关于直线y＝﹣2x对称，即B选项正确；
对于C选项，对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0即a（x﹣2）﹣y﹣1＝0，则直线经过定点（2，﹣1），
而该点在圆（x﹣2）2+（y+4）2＝16内，故 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交，即C选项正确；
对于D选项，依题意，P（x，y）在C：（x﹣2）2+（y+4）2＝16上，
而可理解为圆上的点P（x，y）与点A（﹣1，0）的距离d，
由图知，故D选项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 杨浦区校级月考）直线y＝2x+1的倾斜角为 　arctan2　 ．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，
由题可得：直线的斜率k＝2，则tanα＝2，
所以α＝arctan2．
故答案为：arctan2．
13．（2025春 咸阳校级月考）已知点M（0，3），直线x﹣ky﹣2＝0被圆（x﹣1）2+y2＝8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 　　 ．
【解答】解：根据题意，由于直线x﹣ky﹣2＝0，即ky＝x﹣2，
易得该直线恒过点（2，0），设B（2，0），
圆（x﹣1）2+y2＝8，其圆心为（1，0），设A（1，0），
设N（x，y），则，故，
即（x﹣1） （x﹣2）+y2＝0，化简可得，
故N点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
由于M（0，3）在圆C外，，
故|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即|MN|≤|MC|+r，
则|MN|的最大值是．
故答案为：．
14．（2025春 宝山区校级期中）若直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为 　　 ．
【解答】解：由题意直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2，
可得直线l与以原点O（0，0）为圆心，半径为2的圆相切．
则原点O（0，0）到直线l：ax+by﹣1＝0的距离，
由于直线l与以原点为圆心，半径为2的圆相切，所以d1＝2，即，
由前面可知圆心C（0，0）到直线l的距离d＝2．
根据圆的弦长计算公式，可得直线l被圆C截得的弦长为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 辛集市期末）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
（1）求边AB的高线的方程；
（2）求边BC的中线的方程；
（3）求∠A的平分线的方程．
【解答】解：（1）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
依题意，直线AB即x轴，故边AB上的高线必垂直于x轴，且经过点，
故边AB的高线的方程为x＝0；
（2）边BC的中点为，因边BC的中线经过点A（﹣1，0），
故中线方程为：，即；
（3）
如图，设∠A的平分线AD的斜率为k，而边AB和AC的斜率分别为，
则由，解得或．
当时，由图知，显然不符合题意；
当时，因A（﹣1，0），则∠A的平分线的方程为，即．
16．（2024秋 宝鸡期末）已知直线l：x﹣2y﹣3＝0
（1）若直线l1过点M（2，﹣1），且l1⊥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程．
【解答】解：（1）直线l的斜率，因为l1⊥l，
所以直线l1的斜率为﹣2，
所以直线l1的方程是y+1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3＝0；
（2）设直线l2：x﹣2y+C＝0，
则平行线l2与l之间的距离d，
解得C＝2或C＝﹣8，
所以直线l2的方程是x﹣2y+2＝0或x﹣2y﹣8＝0．
17．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
【解答】解：（1）由直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，可得C（2，1），
∵以C为圆心的圆过点A（0，1），
∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）
即：kx﹣y+5﹣4k＝0
由2得k，
∴切线方程l：3x﹣4y+8＝0
②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x＝4
经检验是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的切线．
∴切线方程为3x﹣4y+8＝0或x＝4．
18．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【解答】解：（1）由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得3x﹣2y+5＝0；
（2）联立，解得，即直线l1与l2的交点为（1，2），
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得a＝b＝3，此时直线方程为，即x+y﹣3＝0，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y＝kx，
代入（1，2）得k＝2，此时y＝2x；
综上所述：所求直线方程为y＝2x或x+y﹣3＝0．
19．（2025春 沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．直线l：y＝kx+1．
（1）已知圆C：x2+（y﹣a）2＝4（a≤1），圆的圆心分别为C，C1，且d（C，C1）＝2，判断圆C与圆C1的位置关系；
（2）若直线l与（1）问结论中的圆C自上而下交于A，B两点，直线l与y轴、x轴分别交于P、Q两点：若（1）问结论中的圆C与y轴自上而下交于G，H两点．
①设，求m+n的值；
②求证：直线AH、BG交点R在定直线上．
【解答】解：（1）圆，
转化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，
∵C（0，a），C1（1，2），d（C，C1）＝max{1，|a﹣2|}＝2，
∴|a﹣2|＝2 a＝4或0，∵a≤1，∴a＝0，∴C（0，0），C1（1，2），
⊙C：x2+y2＝4，⊙，
∴r＝2，r1＝1，∴，
∴⊙C与⊙C1相交；
（2）①直线l：y＝kx+1，⊙C：x2+y2＝4，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得：（k2+1）x2+2kx﹣3＝0，
由韦达定理，P（0，1），，
由有，
同理由有，
∴，
将韦达定理代入（*），
∴；
②证明：G（0，2），H（0，﹣2），则直线，
直线，
联立两直线方程消x得：（**），
由韦达定理有，
即代入（**）可得，解得 y＝4，
故直线AH、BG交点R在定直线y＝4上．
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