第六章平面向量及其应用真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章平面向量及其应用真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 保定期末）化简（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 驿城区校级期中）在△ABC中，D是BC的中点，，若，则x，y的值分别为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 沭阳县校级月考）已知O为△ABC的外接圆的圆心且AB＝3，AC＝2，若，且x+2y＝1，则cos∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 鞍山期末）已知点A（2，1），将向量绕原点O逆时针旋转45°得到，则点B的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 吉林期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，设向量（a+b，sinC），（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．（2025 淄博校级模拟）已知||＝2，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且||，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 市北区校级期中）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝30°，AC⊥CB，∠BDC＝120°，则DB2+DC2的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
8．（2025 盈江县校级模拟）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若mn，则m+n＝（　　）
A． B． C． D．1
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 西城区校级期末）化简以下各式，结果为零向量的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025春 金安区校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M，B，C三点共线
B．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形
C．若点M是△ABC的重心，则
D．若且，则△MBC的面积是△ABC面积的
（多选）11．（2025春 江苏期末）在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，且D为BC边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．△ABC的外接圆半径
B．若AD是BC边上的高，则
C．若AD是∠A的平分线，则
D．若，则
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 安徽期中）在△ABC中，，A＝60°，求3b+2c的最大值　 　 ．
13．（2025春 西安校级期末）已知向量，若，则　 　 ．
14．（2025春 杨浦区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 肇东市校级期末）设两个非零向量与不共线．
（1）若，，，求证A，B，D三点共线．
（2）试确定实数k，使和共线．
16．（2025 南开区学业考试）已知平面向量（1，x），（2x+3，﹣x），x∈R．
（1）若⊥，求x的值；
（2）若∥，求||的值．
17．（2025春 宿州期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
（3）若△ABC为锐角三角形，求2cosB+cosC的取值范围．
18．（2025春 肃宁县校级月考）长江某地南北两岸平行．如图所示，江面宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10km/h，水流的速度v2的大小为4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向．回答下面的问题．
（1）当θ＝120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A′的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当cosθ为多大时，游船能到达A′处？需要航行多长时间？
19．（2024秋 南开区月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2＝a2+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝2，sinC＝3sinB．
（i）求b，c；
（ii）求cos（A﹣2B）的值．
第六章平面向量及其应用真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D D B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABCD BCD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 保定期末）化简（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：A．
2．（2025春 驿城区校级期中）在△ABC中，D是BC的中点，，若，则x，y的值分别为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（），
得x，y．
故选：D．
3．（2025春 沭阳县校级月考）已知O为△ABC的外接圆的圆心且AB＝3，AC＝2，若，且x+2y＝1，则cos∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取AC的中点D，连接OD，OB，则，
由，得，
又x+2y＝1，
所以B，O，D三点共线，
由O为△ABC的外接圆的圆心，得OD⊥AC，即BD⊥AC，
所以．
故选：B．
4．（2025春 鞍山期末）已知点A（2，1），将向量绕原点O逆时针旋转45°得到，则点B的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意，知向量，则，
设向量与x轴的夹角为α，则，
所以cos（α+45°），
sin（α
可得，
所以点B的坐标为．
故选：B．
5．（2025春 吉林期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，设向量（a+b，sinC），（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：∵向量（a+b，sinC），（a+c，sinB﹣sinA），若∥，
∴（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）＝0，
由正弦定理知：（a+b）（b﹣a）＝c（a+c），即a2+c2﹣b2ac
由余弦定理知：2accosBac，
∴cosB．
∵B∈（0，π），
∴B150°．
故选：D．
6．（2025 淄博校级模拟）已知||＝2，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且||，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵向量在向量上的投影向量与向量方向相反，
∴，解得cosθ，
∴．
故选：D．
7．（2025春 市北区校级期中）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝30°，AC⊥CB，∠BDC＝120°，则DB2+DC2的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，AC⊥CB，
所以，同时，
在△BCD中，∠BDC＝120°，
根据余弦定理，可得BC2＝DB2+DC2﹣2DB DC cos∠BDC，
即DB2+DC2+DB DC，
由基本不等式可得（当且仅当DB＝DC时取等号），
则有，解得DB2+DC2≥2．
当且仅当DB＝DC＝1时等号成立，
则DB2+DC2的最小值为2．
故选：B．
8．（2025 盈江县校级模拟）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若mn，则m+n＝（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意可得 2，2，
∵2，①
，②
由①②解方程求得 ．
再由 可得 m，n，m+n．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 西城区校级期末）化简以下各式，结果为零向量的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：对选项A，，所以选项A正确，
对选项B，（）﹣（），所以选项B正确，
对选项C，（），所以选项C正确，
对选项D，，所以选项D正确，
故选：ABCD．
（多选）10．（2025春 金安区校级期中）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M，B，C三点共线
B．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形
C．若点M是△ABC的重心，则
D．若且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【解答】解：已知点M是△ABC所在平面内一点，
A选项，因为，
又3﹣4＝﹣1≠1，
所以点M，B，C三点不共线，
A错误；
B选项，因为，
所以cos∠ACB＝cos∠ABC，
又0＜∠ACB＜π，0＜∠ABC＜π，
故∠ACB＝∠ABC，
即△ABC为等腰三角形，
B正确；
C选项，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，
则点M在AH上，且，
又，则，
C正确；
D选项，由于，
而，
所以，其中3x+3y＝1，
不妨设，
则Q点在直线BC上，
由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2：3，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，
D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025春 江苏期末）在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，且D为BC边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．△ABC的外接圆半径
B．若AD是BC边上的高，则
C．若AD是∠A的平分线，则
D．若，则
【解答】解：选项A，在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB ACcos∠BAC＝9+4﹣2×3×27，
所以BC，
由正弦定理知，2R，
所以R，即选项A正确；
选项B，△ABC的面积SAB ACsin∠BAC，
若AD是BC边上的高，则SAD BC，
所以AD，即选项B错误；
选项C，若AD是∠A的平分线，则∠BAD＝∠CAD＝30°，
因为△ABC的面积S＝S△ABD+S△ACD，
所以AB ADsin30°AC ADsin30° 3 AD 2 AD AD，
所以AD，即选项C正确；
选项D，若，则，
两边同时平方得，，
所以||，即选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 安徽期中）在△ABC中，，A＝60°，求3b+2c的最大值　　 ．
【解答】解：由正弦定理知，，
∵，A＝60°，∴2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
∴3b+2c＝6sinB+4sinC＝6sinB+4sin（60°+B）
＝6sinB+4（cosBsinB）
＝8sinBcosB
sin（B+θ），其中tanθ，
∴0＜θ＜30°，0＜B+θ＜150°，
当B+θ＝90°时，3b+2c取得最大值，为．
故答案为：．
13．（2025春 西安校级期末）已知向量，若，则　　 ．
【解答】解：∵，
∴﹣2m﹣（2m﹣1）＝0，解得m，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（2025春 杨浦区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于 　2　 ．
【解答】解：∵△ABC中，b2+c2＝a2+bc，
∴a2＝b2+c2﹣bc，可得cosA，
结合A为三角形内角，可得A，
∵bc＝8，
因此，△ABC的面积SbcsinA8×sin60°＝2，
故答案为：2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 肇东市校级期末）设两个非零向量与不共线．
（1）若，，，求证A，B，D三点共线．
（2）试确定实数k，使和共线．
【解答】证明：（1）因为，，，
所以，
所以，共线，
又因为它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线；
（2）解：因为和共线，
所以存在实数λ，使，
所以，
即 ．
又，是两个不共线的非零向量，
所以k﹣λ＝kλ﹣1＝0，
所以k2﹣1＝0，
所以k＝1或k＝﹣1．
16．（2025 南开区学业考试）已知平面向量（1，x），（2x+3，﹣x），x∈R．
（1）若⊥，求x的值；
（2）若∥，求||的值．
【解答】解：（1）∵⊥，
∴ （1，x） （2x+3，﹣x）＝2x+3﹣x2＝0
整理得：x2﹣2x﹣3＝0
解得：x＝﹣1，或x＝3
（2）∵∥
∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）＝0
即x（2x+4）＝0
解得x＝﹣2，或x＝0
当x＝﹣2时，（1，﹣2），（﹣1，2）
（2，﹣4）
∴||＝2
当x＝0时，（1，0），（3，0）
（﹣2，0）
∴||＝2
故||的值为2或2．
17．（2025春 宿州期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
（3）若△ABC为锐角三角形，求2cosB+cosC的取值范围．
【解答】解：（1）由asinB＝bsin2A，根据正弦定理得sinAsinB＝sinBsin2A，
在△ABC中，B∈（0，π），sinB＞0，所以sinA＝sin2A，
结合A为三角形的内角，可知A+2A＝π，解得；
（2）△ABC的面积为S，
结合b＝3，sinA，可得，解得c＝4．
由余弦定理得，可得a．
所以△ABC的周长a+b+c；
（3）由得，所以，
可得．
根据△ABC为锐角三角形，可得，即，
由，可得，
所以，即2cosB+cosC的取值范围是．
18．（2025春 肃宁县校级月考）长江某地南北两岸平行．如图所示，江面宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10km/h，水流的速度v2的大小为4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向．回答下面的问题．
（1）当θ＝120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A′的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当cosθ为多大时，游船能到达A′处？需要航行多长时间？
【解答】解：（1）左侧，理由如下：||222+2 102+42﹣2×10×4cos120°＝76，
所以||2，
由 （）＝|| ||cos，，
所以cos，，
所以，30°，
所以游船航行到达北岸的位置在点A′的左侧（如图）；
（2）如图，要使游船轨行到达北岸的A′处，必须满足θ＝90°+θ0，
因为，
所以cosθ＝cos（90°+θ0）＝﹣sinθ0，
所以，需要航行的时间为（h）．
19．（2024秋 南开区月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2＝a2+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝2，sinC＝3sinB．
（i）求b，c；
（ii）求cos（A﹣2B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由b2+c2＝a2+bc，
得，
由A∈（0，π），得；
（Ⅱ）（i）因为sinC＝3sinB，
所以由正弦定理得c＝3b①，
又a＝2，所以b2+c2＝4+bc②，
联立①②解得，；
（ii）由（i）知，
从而，
所以，
所以
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)