第七章复数真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第七章复数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湖北模拟）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025春 沧州期末）已知复数z满足z＝3﹣i（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A． B． C．4 D．
3．（2025 曲靖一模）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1﹣z2|＝1，则|z1+z2|＝（　　）
A．1 B． C． D．3
4．（2025 聊城一模）复数的共轭复数（　　）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
5．（2025春 宝安区校级期中）已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣3+4i|的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025 安阳模拟）复数z＝（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则（　　）
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝2或a＝0 D．a＝0
7．（2024 樊城区校级模拟）已知z1＝5+3i，z2＝5+4i，下列各式中正确的是（　　）
A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
8．（2024春 樟树市校级期末）已知复数z1（cosisin），z2（cosisin），则z1z2的代数形式是（　　）
A．（cosisin） B．（cosisin）
C．i D．i
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024 常德模拟）已知关于x的方程x2+tx+4＝0（﹣4＜t＜4）的两复数根为z1和z2则（　　）
A． B．z1z2＝1
C．|z1|＝|z2| D．
（多选）10．（2023 雁峰区校级模拟）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（　　）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
（多选）11．（2023春 鼓楼区校级期中）已知复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为（　　）
A． B． C．π D．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 云南校级期末）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）2等于 　 　 ．
13．（2025春 英吉沙县期末）已知i为虚数单位，若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m﹣1）i是纯虚数，则实数m＝　 　 ．
14．（2024春 博爱县校级月考）在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2i，zB＝﹣2a+3i，zC＝﹣b+ai，a，b∈R，则a﹣b为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南阳校级期末）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i） z为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若，求复数ω以及模|ω|．
16．（2025春 广安期末）已知复数z＝1﹣2i．
（Ⅰ）求|z|；
（Ⅱ）若，求z1；
（Ⅲ）若|z2|，且zz2是纯虚数，求z2．
17．（2025春 聊城期中）设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若ω，求证：ω为纯虚数．
18．（2024春 习水县校级期末）对于任意的复数z＝x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）＝x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A＝{ω|ω＝P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；
（2）若z＝2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值；
（3）直线l：y＝x﹣9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z＝x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
19．（2019春 和平区校级期中）已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）设复数z1，求|z1|；
（2）设复数z2，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
第七章复数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C D C C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湖北模拟）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵复数，它在复平面内对应的点的坐标为（，），
故选：D．
2．（2025春 沧州期末）已知复数z满足z＝3﹣i（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A． B． C．4 D．
【解答】解：∵z＝3﹣i，
∴|z|．
故选：B．
3．（2025 曲靖一模）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1﹣z2|＝1，则|z1+z2|＝（　　）
A．1 B． C． D．3
【解答】解：，
因为|z1|＝|z2|＝|z1﹣z2|＝1，所以，
解得．
故选：C．
4．（2025 聊城一模）复数的共轭复数（　　）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【解答】解：∵1+i
∴1﹣i
故选：D．
5．（2025春 宝安区校级期中）已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣3+4i|的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
∵|z|＝1，
∴a2+b2＝1，即复数z对应的点，在以原点为圆心，1为半径的圆上，
∵|z﹣3+4i|＝|a﹣3+（4+b）i|，表示圆上的点到（﹣3，4）的距离，
∴|z﹣3+4i|的最小值为．
故选：C．
6．（2025 安阳模拟）复数z＝（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则（　　）
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝2或a＝0 D．a＝0
【解答】解：由题意知a2﹣2a＝0，
∴a＝2或a＝0．
故选：C．
7．（2024 樊城区校级模拟）已知z1＝5+3i，z2＝5+4i，下列各式中正确的是（　　）
A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
【解答】解：∵z1＝5+3i，z2＝5+4i，
∴z1与z2为虚数，故不能比较大小，可排除A，B；
又|z1|，|z2|，
∴|z1|＜|z2|，可排除C．
故选：D．
8．（2024春 樟树市校级期末）已知复数z1（cosisin），z2（cosisin），则z1z2的代数形式是（　　）
A．（cosisin） B．（cosisin）
C．i D．i
【解答】解：由已知可得z1z2（cos）（cos）
[（cos）+（cossin）i]
（cosisin）
，
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024 常德模拟）已知关于x的方程x2+tx+4＝0（﹣4＜t＜4）的两复数根为z1和z2则（　　）
A． B．z1z2＝1
C．|z1|＝|z2| D．
【解答】解：∵﹣4＜t＜4，∴Δ＝t2﹣16＜0，则，
不妨设，，
∴，故A正确；
由韦达定理可得z1z2＝4，故B错误；
，故C正确；
∵z1z2＝4，∴，
当t≠0时，，故，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2023 雁峰区校级模拟）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（　　）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【解答】解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i，ai，bi（i＝1，2，3）为实数，
若|z2|＝|z3|，则，
此时z2＝±z3不一定成立，故A错误；
若z1z2＝z1z3，则z1（z2﹣z3）＝0，
又因z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；
若，则a2＝a3，b2＝﹣b3，
所以，
所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；
当时，，
此时z1＝z2不一定成立，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（2023春 鼓楼区校级期中）已知复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为（　　）
A． B． C．π D．
【解答】解：因为复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，
所以cosα＝﹣cos2α，则有2cos2α+cosα﹣1＝0，解得cosα＝﹣1或cosα，
因为0＜α＜2π，
所以α＝π或或．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 云南校级期末）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）2等于 　﹣4i　 ．
【解答】解：复数（1﹣i）22i2i4i．
故答案为：﹣4i．
13．（2025春 英吉沙县期末）已知i为虚数单位，若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m﹣1）i是纯虚数，则实数m＝　﹣3　 ．
【解答】解：∵复数z＝（m2+2m﹣3）+（m﹣1）i是纯虚数，
∴，
解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（2024春 博爱县校级月考）在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2i，zB＝﹣2a+3i，zC＝﹣b+ai，a，b∈R，则a﹣b为 　﹣4　 ．
【解答】解：∵zA＝2i，zB＝﹣2a+3i，zC＝﹣b+ai，
∴由复数加法的几何意义知，
∴﹣2a+3i＝（2）+（﹣b+ai）＝（2﹣b），
根据复数相等的充要条件得，，即a＝2，b＝6，
则a﹣b＝﹣4．
故答案为：﹣4．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南阳校级期末）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i） z为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若，求复数ω以及模|ω|．
【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b＝R），∴（1+3i） z＝3﹣3b+（9+b）i，
又∵（1+3i） z为纯虚数，∴9+b≠0且3﹣3b＝0，解得b＝1，∴z＝3+i；
（2）i，∴|ω|．
16．（2025春 广安期末）已知复数z＝1﹣2i．
（Ⅰ）求|z|；
（Ⅱ）若，求z1；
（Ⅲ）若|z2|，且zz2是纯虚数，求z2．
【解答】解：（Ⅰ）∵复数z＝1﹣2i，
∴；
（Ⅱ）∵复数z＝1﹣2i，
∴；
（Ⅲ）设z2＝a+bi，
∵，
∴a2+b2＝5①，
又∵zz2＝（1﹣2i）（a+bi）＝（a+2b）+（b﹣2a）i，
∴a+2b＝0，b﹣2a≠0②，
由①②联立，解得或，
∴z2＝2﹣i或z2＝﹣2+i．
17．（2025春 聊城期中）设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若ω，求证：ω为纯虚数．
【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），
则z2＝z1a+bia+bi
＝a+bii＝a（b）i．
∵z2是实数，b≠0，∴b0．b≠0，
于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1，
还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a，即z1的实部的取值范围．
（2）证明：ω
i．
∵a∈，b≠0，
∴ω为纯虚数．
18．（2024春 习水县校级期末）对于任意的复数z＝x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）＝x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A＝{ω|ω＝P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；
（2）若z＝2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值；
（3）直线l：y＝x﹣9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z＝x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
由于x，y∈Z，得
∴P（±1）＝1，P（±i）＝0，P（0）＝0，
∴A＝{0，1}．
（2）若z＝2+yi（y∈R），则P（z）＝4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）为纯虚数，则，∴，
∴|z|，
∴当k＝0或﹣1时，|z|min．
（3）P（z）对应点坐标为（x2cos（yπ），x2sin（yπ））
由题意，得x2sin（xπ﹣9π）＝x2cos（xπ﹣9π）﹣9
∴x2sinxπ＝x2cosxπ+9，∵x∈Z，
∴①当x＝2k，k∈Z时，得x2+9＝0不成立；
②当x＝2k+1，k∈Z时，得x2﹣9＝0，∴x＝±3成立，
此时或 ，
故满足条件的整点为（3，﹣6）和（﹣3，﹣12）．
19．（2019春 和平区校级期中）已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）设复数z1，求|z1|；
（2）设复数z2，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解答】解：∵z＝1+mi，∴1﹣mi．
∴ （3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i．
又∵ （3+i）为纯虚数，
∴，解得m＝﹣3．
∴z＝1﹣3i．
（1）z1i，
∴|z1|；
（2）∵z＝1﹣3i，
∴z2，
又∵复数z2所对应的点在第一象限，
∴，解得：a．
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