第2章一元二次函数、方程和不等式检测卷（含解析）-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册

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第2章一元二次函数、方程和不等式检测卷-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 阳江期末）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2024秋 和林格尔县校级期中）已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣5，﹣4]∪[4，+∞） B．（﹣5，﹣4]
C．（﹣5，+∞） D．[﹣4，﹣2）∪[4，+∞）
3．（2024秋 叶县校级月考）某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（　　）
A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵
C．相同 D．不能确定
4．（2023秋 甘肃期末）若0＜t＜1，则关于x的不等式（t﹣x）（x）＞0的解集是（　　）
A．{x|x＜t} B．{x|x或x＜t}
C．{x|x或x＞t} D．{x|t＜x}
5．（2024秋 封开县校级期中）若实数a，b满足0＜a＜b＜1，则下列式子正确的是（　　）
A．a﹣b＜b﹣b B．aa＜ba C．a﹣a＜b﹣a D．bb＜ab
6．（2024秋 台州期中）已知0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 民乐县校级月考）若函数y＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，]
8．（2024秋 南关区校级期中）对于实数a、b、c有如下命题①若a＞b则ac＞bc；②若ac2＞bc2则a＞b；③若a＜b＜0则a2＞ab＞b2；④若a＞b，则a＞0，b＜0．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 射洪市校级一模）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a+2b≥4 B．a+b≥4 C．ab≥2 D．a2+4b2≥8
（多选）10．（2025春 宁远县校级期末）已知关于x的不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b（a∈R，b∈R），下列结论正确的是（　　）
A．不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集不可能为
B．不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集可能为{x|﹣8≤x≤﹣6或8≤x≤12}
C．存在实数a，b，使得不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集为闭区间[m，n]的形式
D．存在唯一一对实数对（a，b），使得不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集为
（多选）11．（2024秋 兰州期中）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论正确的是（　　）
A．方程x2+（m﹣3）x+m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1或m＞9}
B．方程x2+（m﹣3）x+m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
C．方程x2+（m﹣3）x+m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
D．当m＝3时，方程的两实数根之和为0
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 黄浦区期末）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 　 　 ．
13．（2024秋 石景山区期末）若x＞1，则x的最小值是　 　 ．
14．（2024秋 蜀山区期中）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 青秀区校级月考）已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
（1）2；
（2）．
16．（2024秋 应县校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．
（1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值；
（2）不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
17．（2024秋 灌南县期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？
18．（2024秋 荆州区校级期中）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）解关于x的不等式y＜0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
19．（2024秋 安宁区校级月考）设函数y＝ax2﹣（2a+1）x+2．
（1）若该函数有且只有一个零点，求a的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＜0的解集．
第2章一元二次函数、方程和不等式检测卷-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B B B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD CD BC
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 阳江期末）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，
∴x+y＝（）（x+y）＝55+29
当且仅当即x＝3，y＝6时，取等号．
故选：C．
2．（2024秋 和林格尔县校级期中）已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣5，﹣4]∪[4，+∞） B．（﹣5，﹣4]
C．（﹣5，+∞） D．[﹣4，﹣2）∪[4，+∞）
【解答】解：∵方程x2+（m﹣2）x+5﹣m＝0的两根都大于2，，
求得实数﹣5＜m≤﹣4．
故选：B．
3．（2024秋 叶县校级月考）某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（　　）
A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵
C．相同 D．不能确定
【解答】解：设每支红玫瑰价格为x，每支黄玫瑰价格为y，
根据题意可得：，
化简得：，
∴2x＞6，3y＜6，
即：2x＞3y，
故选：A．
4．（2023秋 甘肃期末）若0＜t＜1，则关于x的不等式（t﹣x）（x）＞0的解集是（　　）
A．{x|x＜t} B．{x|x或x＜t}
C．{x|x或x＞t} D．{x|t＜x}
【解答】解：不等式（t﹣x）（x）＞0
∴（x﹣t）（x）＜0，
∴方程（x﹣t）（x）＝0的两根为t，，
∵0＜t＜1，
∴t，
∴x的不等式（t﹣x）（x）＞0的解集是（t，），
故选：D．
5．（2024秋 封开县校级期中）若实数a，b满足0＜a＜b＜1，则下列式子正确的是（　　）
A．a﹣b＜b﹣b B．aa＜ba C．a﹣a＜b﹣a D．bb＜ab
【解答】解：A.，因为0＜a＜b＜1，所以．因为幂函数y＝xb在（0，+∞）上为增函数，所以a﹣b＞b﹣b，所以A错误．
B．因为幂函数y＝xa 在（0，+∞）上为增函数，所以aa＜ba成立．
C．因为，且幂函数y＝xa 在（0，+∞）上为增函数，所以a﹣a＞b﹣a，所以C错误．
D．因为幂函数y＝xb在（0，+∞）上为增函数，所以bb＞ab，所以D错误．
故选：B．
6．（2024秋 台州期中）已知0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：x（1﹣x）＝x﹣x2，对应的二次函数开口向下，对称轴x∈（0，1）．
∴0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为：．
故选：B．
7．（2024秋 民乐县校级月考）若函数y＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，]
【解答】解：∵函数y＝x2+（2a﹣1）x+1的图象是开口向上的，以直线x为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2
解得a
故选：B．
8．（2024秋 南关区校级期中）对于实数a、b、c有如下命题①若a＞b则ac＞bc；②若ac2＞bc2则a＞b；③若a＜b＜0则a2＞ab＞b2；④若a＞b，则a＞0，b＜0．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①若a＞b，当c≤0时，ac＞bc不成立；
②若ac2＞bc2，则a＞b，正确；
③若a＜b＜0，由不等式的性质：a2＞ab，ab＞b2，可得a2＞ab＞b2；
④∵，∴0，又a＞b，∴ab＜0因此a＞0，b＜0．
其中正确的有②③④．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 射洪市校级一模）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　）
A．a+2b≥4 B．a+b≥4 C．ab≥2 D．a2+4b2≥8
【解答】解：由a＞0，b＞0，a+2b＝2ab得：；
对于A，（当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即，），B错误；
对于C，∵（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
∴，解得：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），C正确；
对于D，∵a2+4b2≥4ab（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
由C知：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），
∴a2+4b2≥8（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 宁远县校级期末）已知关于x的不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b（a∈R，b∈R），下列结论正确的是（　　）
A．不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集不可能为
B．不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集可能为{x|﹣8≤x≤﹣6或8≤x≤12}
C．存在实数a，b，使得不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集为闭区间[m，n]的形式
D．存在唯一一对实数对（a，b），使得不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集为
【解答】解：令f（x）＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10≥﹣10，当b＜﹣10时，解集为 ，A错误；
若不等式a≤x2﹣4x﹣6≤b的解集可能为{x|﹣8≤x≤﹣6或8≤x≤12}，
根据二次不等式解与系数的关系，需满足﹣8+12＝4，﹣6+8＝4，不成立，故B错误；
取a＝﹣10，b＝﹣6，得到﹣10≤x2﹣4x﹣6≤﹣6，解得x∈[0，4]，C正确；
a≤x2﹣4x﹣6和x2﹣4x﹣6≤b的解都关于x＝2对称，
故只能是a≤x2﹣4x﹣6恒成立，a≤﹣10，x2﹣4x﹣6≤b的解集为，
故，解得或（舍去），D正确；
故选：CD．
（多选）11．（2024秋 兰州期中）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论正确的是（　　）
A．方程x2+（m﹣3）x+m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1或m＞9}
B．方程x2+（m﹣3）x+m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
C．方程x2+（m﹣3）x+m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
D．当m＝3时，方程的两实数根之和为0
【解答】解：对于A，若x2+（m﹣3）+m＝0有实数根，则Δ＝（m﹣3）2﹣4m≥0，得m≤1或m≥9，故A错误，
对于B，由题意得，解得0＜m≤1，故B正确，
对于C，若x2+（m﹣3）x+m＝0无实数根，则Δ＝（m﹣3）2﹣4m＜0，得1＜m＜9，又{m|1＜m＜9} {m|m＞1}，故C正确，
对于D，当m＝3时，方程为x2+3＝0，无实数根，故D错误，
故选：BC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 黄浦区期末）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 　（1，2）　 ．
【解答】解：原不等式可变形为：（x﹣1）（x﹣2）＜0
结合相应二次函数的图象可得1＜x＜2
故答案为：（1，2）
13．（2024秋 石景山区期末）若x＞1，则x的最小值是　3　 ．
【解答】解：∵x＞1，
∴xx﹣111＝3，
当且仅当x﹣1即x＝2时取等号，
∴x＝2时x取得最小值3，
故答案为：3．
14．（2024秋 蜀山区期中）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为 　9　 ．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，不等式恒成立，
则m恒成立，只需m，
又（a+b）（）＝5，
当且仅当，即a＝2b时取等号，
此时[（a+b）（）]min＝9，
所以m≤9，则m的最大值为9，
故答案为：9．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 青秀区校级月考）已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
（1）2；
（2）．
【解答】证明：（1）x，y都是正数，且x≠y，2，当且仅当x＝y时，等号成立．因为x≠y，
所以2；
（2）x，y都是正数，且x≠y，，当且仅当x＝y是等号成立，
因为x≠y，
所以．
16．（2024秋 应县校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．
（1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值；
（2）不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴k＞0且2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根，
则，解得k；
（2）不等式kx2﹣2x+6k＜0对x∈R恒成立，
当k＝0时，不等式化为﹣2x＜0，不合题意；
当k≠0时，则，解得k．
综上，实数k的取值范围为（﹣∞，）．
17．（2024秋 灌南县期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？
【解答】解：设安排A、B两种货厢x节，y节；
则，
作平面区域如下，
，
结合图象可得，
有三种方案，分别为：
安排A、B两种货厢28节，22节，
安排A、B两种货厢29节，21节，
安排A、B两种货厢30节，20节；
易知执行第三种方案，即安排A、B两种货厢30节，20节时，
费用最少，为30×0.5+20×0.8＝31万元．
18．（2024秋 荆州区校级期中）已知函数y＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）解关于x的不等式y＜0；
（2）若方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求的最小值．
【解答】解：（1）不等式y＜0即为2x2﹣（a+2）x+a＜0，∴（2x﹣a）（x﹣1）＜0，
方程（2x﹣a）（x﹣1）＝0的两根分别为1和，
当a＜2，即时，解不等式可得，
当a＝2，即时，不等式无解，
当a＞2，即时，解不等式可得1，
综上可知：当a＜2时，不等式的解集为，
当a＝2时，不等式的解集为 ，
当a＞2时，不等式的解集为；
（2）方程2x2﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x1，x2，
即方程2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2
则，解得a＞1，
所以，
令t＝a﹣1，则t＞0，故，
当且仅当即t＝4，a＝5时取得等号，
故的最小值为6．
19．（2024秋 安宁区校级月考）设函数y＝ax2﹣（2a+1）x+2．
（1）若该函数有且只有一个零点，求a的值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＜0的解集．
【解答】解：（1）函数y＝ax2﹣（2a+1）x+2中，
当a＝0时，函数化为y＝﹣x+2，只有一个零点，符合题意；
当a≠0时，应满足Δ＝（2a+1）2﹣8a＝0，解得a；
综上知，函数只有一个零点时，a＝0或a；
（2）当a＝0时，不等式化为﹣x+2＜0，解得x＞2．
当a≠0时，不等式化为（ax﹣1）（x﹣2）＜0．
若a＜0，则不等式化为（x）（x﹣2）＞0，且2，
所以解不等式得x或x＞2．
若a＞0，则不等式化为（x）（x﹣2）＜0，
当a时，2，不等式化为（x﹣2）2＜0，解得x∈ ．
当0＜a时，2，解得2＜x．
当a时，2，解得x＜2．
综上可得：当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}．
当a＜0时，不等式的解集为{x|x或x＞2}．
当a时，不等式的解集为 ．
当0＜a时，不等式的解集为{x|2＜x}．
当a时，不等式的解集为{x|x＜2}．
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