第4章指数函数与对数函数检测卷（含解析）-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册

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第4章指数函数与对数函数检测卷-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 郓城县校级期末）下列式子成立的是（　　）
A．a B．a
C．a D．a
2．（2024秋 广东校级期末）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 张家口模拟）如果lgx＝lga+3lgb﹣5lgc，那么（　　）
A．x＝a+3b﹣c B． C． D．x＝a+b3﹣c3
4．（2024秋 牡丹江期末）函数的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．（2024秋 湘西州期末）函数的定义域是（　　）
A． B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，1]
6．（2024秋 浦东新区校级期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和一次函数y＝a（x+1）的图像关系可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024 浙江学业考试）光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k 0.9x，那么至少通过（　　）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（lg3≈0.477，lg2≈0.3）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．（2023秋 松江区期末）若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f （1）＝﹣2 f（1.5）＝0.625 f（1.25）＝﹣0.984
f（1.375）＝﹣0.260 f（1.4375）＝0.162 f（1.40625）＝﹣0.054
那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（　　）
A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 番禺区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．（﹣a2）3＝a6
C． D．
（多选）10．（2022秋 梅河口市校级期末）下列运算错误的是（　　）
A．22
B．log427 log258 log95
C．lg2+lg50＝10
D．（）2
（多选）11．（2021秋 香坊区校级期中）函数f（x）＝lnx+3x﹣4的一个零点所在的区间不可能是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（e，e2）
三．填空题（共3小题）
12．（2025 官渡区校级模拟）已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R（lgE﹣11.4）．如果A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的 　 　 倍．
13．（2024秋 青秀区月考）已知函数f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，h（x）＝lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从小到大排列为 　 　 ．
14．（2023春 辽宁期末）已知函数f（x）＝ex﹣|x+a|（a＞1），则f（x）的零点个数为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 石景山区校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且x12 x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k的取值．
（2）求x12+x22﹣8的值．
16．（2022秋 金寨县校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（单位：百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且C（x）．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）请写出2020年的利润L（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：百辆）的函数关系式；（利润＝销售﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
17．（2023春 宁波期末）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．
18．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝x2﹣x．
（Ⅰ）求f（x）的零点；
（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）＞2m（1﹣x）（m∈R）的解集为M．
（i）求集合M；
（ii）若﹣2 M，直接写出m的取值范围．
19．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝log2x．
（Ⅰ）比较（）0.7与log22.3的大小；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值；
（Ⅲ）若g（x）的图象向上平移2个单位长度，得到函数h（x）的图象，求不等式h（x）＜1的解集．
第4章指数函数与对数函数检测卷-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C C C C C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 郓城县校级期末）下列式子成立的是（　　）
A．a B．a
C．a D．a
【解答】解：要使有意义，则a＜0，
∴．
故选：B．
2．（2024秋 广东校级期末）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：B．
3．（2025 张家口模拟）如果lgx＝lga+3lgb﹣5lgc，那么（　　）
A．x＝a+3b﹣c B． C． D．x＝a+b3﹣c3
【解答】解：∵lgx＝lga+3lgb﹣5lgc
＝lga+lgb3﹣lgc5
＝lg，
∴x，
故选：C．
4．（2024秋 牡丹江期末）函数的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：因为函数的定义域为（0，+∞），是单调递增，
f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln30，
所以f（2） f（3）＜0，
故零点所在区间为（2，3），
故选：C．
5．（2024秋 湘西州期末）函数的定义域是（　　）
A． B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，1]
【解答】解：欲使函数的有意义，
须，
∴
解之得：
故选：C．
6．（2024秋 浦东新区校级期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和一次函数y＝a（x+1）的图像关系可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A中，根据指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）图像递减可知0＜a＜1，
而一次函数y＝a（x+1）的图像与y轴交点纵坐标为a＞1，二者矛盾，所以A错；
根据一次函数y＝a（x+1）的图像与x轴交点横坐标为﹣1，排除B；
C中，根据指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）图像递减可知a＞1，
而一次函数y＝a（x+1）的图像与y轴交点纵坐标为a＞1，二者a值稳合，所以C对；
D中，由一次函数y＝a（x+1）的图像可知a＝1，与a＞0且a≠1矛盾，所以D错．
故选：C．
7．（2024 浙江学业考试）光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k 0.9x，那么至少通过（　　）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（lg3≈0.477，lg2≈0.3）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，
则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k 0.9x，
∵光线强度能减弱到原来的以下，
∴k 0.9x，
∴x＞log0.90.2513.043．
∴至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．
故选：C．
8．（2023秋 松江区期末）若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f （1）＝﹣2 f（1.5）＝0.625 f（1.25）＝﹣0.984
f（1.375）＝﹣0.260 f（1.4375）＝0.162 f（1.40625）＝﹣0.054
那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（　　）
A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5
【解答】解：由表格可得，
函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的零点在（1.40625，1.4375）之间；
结合选项可知，
方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是1.42；
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 番禺区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．（﹣a2）3＝a6
C． D．
【解答】解：，所以A选项正确．
（﹣a2）3＝﹣a6，所以B选项错误．
，a为负数时，结果为﹣a，a为非负数时，结果为a，
所以C选项错误．
，所以C选项正确．
故选：AD．
（多选）10．（2022秋 梅河口市校级期末）下列运算错误的是（　　）
A．22
B．log427 log258 log95
C．lg2+lg50＝10
D．（）2
【解答】解：对于A，2lo（102×0.25）＝lo25＝﹣2，故A错误；
对于B，log427 log258 log95 ，故B错误；
对于C，lg2+lg50＝lg100＝lg102＝2，故C错误；
对于D，（）2＝﹣1﹣（）2，故D正确．
故选：ABC．
（多选）11．（2021秋 香坊区校级期中）函数f（x）＝lnx+3x﹣4的一个零点所在的区间不可能是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（e，e2）
【解答】解：由题意可知，函数f（x）＝lnx+3x﹣4为单调递增函数，且f（0）→﹣∞，
又f（1）＝ln1+3﹣4＝﹣1＜0，
f（2）＝ln2+6﹣4＝ln2+2＞0，
f（3）＝ln3+9﹣4＝ln3+5＞0，
f（e）＝lne+3e﹣4＝3（e﹣1）＞0，
f（e2）＝lne2+3e2﹣4＝3e2﹣2＞0，
所以零点所在的区间不可能是（0，1），（1，2），（e，e2）．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 官渡区校级模拟）已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R（lgE﹣11.4）．如果A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的 　10　 倍．
【解答】解：由R（lgE﹣11.4），得R+11.4＝lgE，所以E＝1．
设A地，B地地震释放的能量分别为E1，E2，
则，
所以A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10倍．
故答案为：10．
13．（2024秋 青秀区月考）已知函数f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，h（x）＝lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从小到大排列为 　a＜b＜c　 ．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex+x，g（x）＝lnx+x，h（x）＝lnx﹣1的零点依次为a，b，c，
∴f（a）＝0，g（b）＝0，h（c）＝0，即ea+a＝0，lnb+b＝0，lnc﹣1＝0，
∴ea＝﹣a，lnb＝﹣b，lnc＝1，
∴a＜0，0＜b＜1，c＝e＞1，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c．
14．（2023春 辽宁期末）已知函数f（x）＝ex﹣|x+a|（a＞1），则f（x）的零点个数为 　3　 ．
【解答】解：由题意得
∵a∈（1，+∞），
∴﹣a＜﹣1，
当x＜﹣a时，f（x）单调递增，且f（﹣a）＝e﹣a﹣a+a＝e﹣a＞0，
f（﹣2a）＝e﹣2a﹣2a+a＝e﹣2a﹣a＜e﹣2a﹣1＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣a）上有1个零点；
当x≥﹣a时，f′（x）＝ex﹣1．当﹣a＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min＝f（0）＝1﹣a＜0，f（a）＝ea﹣2a，
令h（x）＝ex﹣2x，h′（x）＝ex﹣2，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
h（x）＞h（1）＝e﹣2＞0，
∴f（a）＝ea﹣2a＞0，
∴f（x）在（﹣a，+∞）上有2个零点，
综上所述，f（x）有3个零点．
故答案为：3．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 石景山区校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且x12 x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k的取值．
（2）求x12+x22﹣8的值．
【解答】解：（1）由题意可得，x1+x2＝6，x1x2＝k，Δ＝36﹣4k≥0，
所以k≤9，
∵x12 x22﹣x1﹣x2＝k2﹣6＝115，
所以k＝11（舍）或k＝﹣11，
（2）x12+x22﹣836+22﹣8＝50．
16．（2022秋 金寨县校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（单位：百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且C（x）．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）请写出2020年的利润L（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：百辆）的函数关系式；（利润＝销售﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝9×100x﹣10x2﹣500x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500；
当x≥40时，L（x）＝9×100x﹣901x4300﹣2500＝1800﹣（x）．
所以L（x）．
（2）当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，
当x＝20时，L（x）max＝1500．
当x≥40时，L（x）max＝1800﹣（x）≤1800﹣21800﹣200＝1600，
当且仅当x，即x＝100时，等号成立．
因为1600＞1500，
所以当x＝100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元．
17．（2023春 宁波期末）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．
【解答】解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，T12，得ω；
由规律②可知，f（x）max＝f（8）＝40（Acos2π+k）＝40A+40k，
f（x）min＝f（2）＝40（Acosπ+k）＝﹣40A+40k，
由f（8）﹣f（2）＝80A＝160，得A＝2；
又当x＝2时，f（2）＝40[2cosω（2+4）+k]＝80 cosπ+40k＝40，
解得k＝3．
综上可得，f（x）＝80cos（x）+120符合条件．
（2）由条件，80cos（x）+120＞160，
可得cos（x），则2kπ2kπ，k∈Z，
∴12k﹣6＜x＜12k﹣2，k∈Z．
∵x∈[1，12]，x∈N*，∴当k＝1时，6＜x＜10，
故x＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”．
18．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝x2﹣x．
（Ⅰ）求f（x）的零点；
（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）＞2m（1﹣x）（m∈R）的解集为M．
（i）求集合M；
（ii）若﹣2 M，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）＝x2﹣x，
若f（x）＝0，即x2﹣x＝0，解可得x＝0或1，
即函数f（x）的零点为0或1；
（Ⅱ）（i）f（x）＞2m（1﹣x），即x2﹣x＞2m（1﹣x），
变形可得（x+2m）（x﹣1）＞0，
当﹣2m＞1，即m时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣2m}，
当﹣2m＝1，即m时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当﹣2m＜1，即m时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣2m}，
故当m时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣2m}，
当m时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当m时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣2m}，
（ii）若﹣2 M，即（﹣2）2﹣（﹣2）≤2m×（1+2），
解可得m≥1，即m的取值范围为[1，+∞）．
19．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝log2x．
（Ⅰ）比较（）0.7与log22.3的大小；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值；
（Ⅲ）若g（x）的图象向上平移2个单位长度，得到函数h（x）的图象，求不等式h（x）＜1的解集．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数在R上单调递减，
g（x）＝log2x在（0，+∞）上单调递增，
所以，log22.3＞log22＝1，
所以；
（Ⅱ）因为f（x）在区间[﹣3，﹣1]上单调递减，
所以f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值是f（﹣1），
所以，
所以f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为3；
（Ⅲ）因为g（x）的图象向上平移2个单位长度，得到函数h（x）的图象，
所以h（x）＝log2x+2，
所以不等式h（x）＜1，即log2x+2＜1，所以log2x＜﹣1，解得，
所以不等式h（x）＜1的解集为．
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