第八章立体几何初步真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第八章立体几何初步真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 聊城期末）下列几何体是棱台的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 娄星区校级期末）下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025春 余干县期末）如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形O'A'B'，则原三角形OAB的面积等于（　　）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2025 保定模拟）已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025 北京校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，则EF长度的取值范围为（　　）
A．（2，14） B．（2，8） C．（0，12） D．（2，12）
6．（2025春 龙岗区校级期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
7．（2025春 天津校级期中）上、下底面的面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（　　）
A．4 B． C． D．
8．（2025春 顺义区期末）在直角△ABC中，斜边AC＝3，直角边BC＝1．若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．则该几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 碑林区校级期末）下列命题中不正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
（多选）10．（2024秋 房县校级期末）已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在圆O上，则（　　）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为π
C．三棱锥P﹣ABC体积的最大值为1
D．该圆锥内部最大的球的半径为
（多选）11．（2025春 碑林区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，下列命题中正确的是（　　）
A．在点P运动过程中，直线A1P与BC1始终为异面直线
B．三棱锥D﹣BPC1的体积为定值
C．异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D．在点P运动过程中，不存在某个位置，使得面AB1P∥平面BDC1
三．填空题（共3小题）
12．（2025 新余校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为　 　 ，圆台的外接球的体积为　 　 ．
13．（2025 扬州模拟）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是 　 　 mm．
14．（2025春 界首市校级月考）已知四面体ABCD的体积为V，△ABC和△ABD的面积分别为S1和S2，棱AB的长为c，若二面角C﹣AB﹣D的大小为，且S1S2＝3，则cV＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 海淀区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别是PD，AC，PA的中点，平面PAB∩平面EFG＝l．证明：
（1）EF∥l；
（2）平面EFG∥平面PBC．
16．（2025春 长安区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2AB＝4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥PC；
（Ⅱ）求直线AC与平面PCD所成角的正切值．
17．（2025春 靖江市校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，F为PD上除端点外的任意一点．
（1）证明：CD∥平面ABF；
（2）证明：PC不垂直于平面ABF；
（3）已知M为PA的中点，N为PC上靠近P的三等分点，若MN∥平面ABF，求．
18．（2025 银川校级模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，AD⊥AB，AD⊥AC，且点B，C，E，F四点共面．
（1）证明：（i）平面ABC∥平面DEF；
（ii）多面体ABCDEF是三棱台；
（2）若AB＝AC＝AD＝2，DE＝DF＝4，AB⊥AC，动点P在△DEF内部及边界上运动，且，求异面直线AP与FB所成角的最小值．
19．（2025春 东莞市校级期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
（1）求证：EO∥平面PBC；
（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
第八章立体几何初步真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C D A B D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC BCD ABC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 聊城期末）下列几何体是棱台的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A和C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，所以选项A和C都不满足题意；
选项B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，所以选项B不满足题意．
故选：D．
2．（2025春 娄星区校级期末）下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．故根据几何体的定义，可知球没有顶点，有面，没有棱，故①④不正确，②③正确．
故选：B．
3．（2025春 余干县期末）如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形O'A'B'，则原三角形OAB的面积等于（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：根据题意，三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形O'A'B'，则直角边为，
所以，直观图的面积为1，
根据直观图的面积原图的面积，所以原图的面积为2．
故选：C．
4．（2025 保定模拟）已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，若m，n，l在同一平面内，m、n、l三条直线可以互相平行，
则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的充分条件；
反之，若m，n，l两两相交，m，n，l可以不在同一平面内，
则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的必要条件；
故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（2025 北京校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，则EF长度的取值范围为（　　）
A．（2，14） B．（2，8） C．（0，12） D．（2，12）
【解答】解：等边三角形ADE边上的高为tan60°＝3．同理等边三角形BCF边上的高为3．
①二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，且为平角时，EF＝6+8＝14，因此EF＜14．
②二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，且为零角时，EF＝8﹣6＝2，因此EF＞2．
则EF长度的取值范围为（2，14）．
故选：A．
6．（2025春 龙岗区校级期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，
E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，
∴MGNH，∴四边形MGHN是平行四边形，
∴GH∥MN，故C错误；
∵EF∩平面ABB1A1＝E，GH 平面ABB1A1，E 直线GH，
∴由异面直线判定定理得GH和EF是异面直线，故A错误；
∵EM∥NF，且EM＝2NF，∴MN和EF相交，故D错误．
故选：B．
7．（2025春 天津校级期中）上、下底面的面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：设上、下底面半径分别为r，R，
因为上、下底面的面积分别为36π和49π，
所以r＝6，R＝7，又母线长为5，
所以两底面之间的距离为2．
故选：D．
8．（2025春 顺义区期末）在直角△ABC中，斜边AC＝3，直角边BC＝1．若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．则该几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在直角△ABC中，斜边|AC|＝3，直角边|BC|＝1，
得，
若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，
则该几何体的体积为：．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 碑林区校级期末）下列命题中不正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【解答】解：对于选项A，有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，
如图所示：
满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；
对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，故B不正确；
对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；
对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，故D正确．
故选：ABC．
（多选）10．（2024秋 房县校级期末）已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在圆O上，则（　　）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为π
C．三棱锥P﹣ABC体积的最大值为1
D．该圆锥内部最大的球的半径为
【解答】解：作出示意图如下：
因为AB为底面圆O的直径，∠APB＝120°，PA＝2，
所以∠BPO＝60°，，
所以圆锥底面圆半径为，．
所以圆锥的侧面积为，所以选项A错误；
所以圆锥的体积为，所以选项B正确；
因为，
所以当C为中点时，S△ABC最大，
所以三棱锥P﹣ABC体积的最大值为1，所以选项C正确；
当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在PO上，
设内切球球心为O1，半径为r，则OO1＝r，
过O1向PB作垂线，垂足为D，则O1D＝r，
因为∠DPO1＝60°，所以，
所以，解得，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025春 碑林区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，下列命题中正确的是（　　）
A．在点P运动过程中，直线A1P与BC1始终为异面直线
B．三棱锥D﹣BPC1的体积为定值
C．异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D．在点P运动过程中，不存在某个位置，使得面AB1P∥平面BDC1
【解答】解：对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BC1∥AD1，点P在线段AD1上运动，
∵A1 AD1，AD1 平面ADD1A1，B1C 平面ADD1A1，
∴在点P运动的过程中，直线A1P与BC1始终不能在同一平面内，
∴直线A1P与BC1始终为异面直线，故A正确；
对于B，∵三棱锥D﹣BPC1的体积，
其中h为点P到平面BDC1的距离，且△BDC1的面积为定值．
∵BC1∥AD1，AD1 平面BDC1，BC1 平面BDC1，
∴直线AD1∥平面BDC1，
∴当点P在线段AD1上运动时，点P到平面BDC1的距离h为定值，
∴三棱锥D﹣BPC1的体积为定值，故B正确；
对于C，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1D1⊥平面BCC1B1，
∵B1C 平面BCC1B1，∴C1D1⊥B1C．
∵B1C⊥BC1，C1D1∩BC1＝C1，C1D1，BC1 平面ABC1D1，
∴B1C⊥平面ABC1D1．
∵C1P 平面ABC1D1，∴B1C⊥C1P，
∴异面直线C1P与直线CB1所成的角为90°，故C正确；
对于D，根据正方体的结构特征，可得BD∥B1D1，
∵BD 平面BDC1，B1D1 平面BDC1，
∴B1D1∥平面BDC1．
由B选项可知AD1∥平面BDC1，AD1∩B1D1＝D1，AD1，B1D1 平面AB1D1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
∴当点P与点D1重合时，平面AB1P∥平面BDC1．
即存在点P，使得平面AB1P∥平面BDC1，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 新余校级模拟）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为　1　 ，圆台的外接球的体积为　　 ．
【解答】解：作圆台轴截面如图所示：
则O2B＝4，O1A＝3，设圆台的高O1O2为h，
因为母线与高的夹角为，所以，
所以，得h＝1，
设此圆台下底面圆心为O2，上底面圆心为O1，其外接球的球心为O，半径为R，
则①，②，又OO1﹣OO2＝h＝1③，联立①②③，解得R＝5，
所以圆台的外接球的体积为．
故答案为：1；．
13．（2025 扬州模拟）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是 　29.6　 mm．
【解答】解：如图所示，
由上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台，
可得桶的高OO212，
又一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，
水的高度O1O26，
又，即，
所以A1B1＝2，所以水面半径O1A1＝6+2＝8cm；
故雨水的体积为Vπh（r1r2）π 6 （82+8×6+62）＝296πcm3
水桶上口面面积S＝π 102＝100πcm2
每平方厘米的降雨量h2.96cm，
所以降雨量约为29.6mm．
故答案为：29.6．
14．（2025春 界首市校级月考）已知四面体ABCD的体积为V，△ABC和△ABD的面积分别为S1和S2，棱AB的长为c，若二面角C﹣AB﹣D的大小为，且S1S2＝3，则cV＝ 　　 ．
【解答】解：设三棱锥D﹣ABC的高为h，
因为△ABC的面积为S1，四面体ABCD的体积为V，
则，所以，
设△ABD的边AB上的高为h1，
因为△ABD的面积分别为S2，
则c＝S2，所以，
二面角C﹣AB﹣D的大小为，
所以，
又S1S2＝3，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 海淀区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别是PD，AC，PA的中点，平面PAB∩平面EFG＝l．证明：
（1）EF∥l；
（2）平面EFG∥平面PBC．
【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，连接BD，由底面ABCD是平行四边形，得F是BD的中点，
而E是PD的中点，则EF∥PB，又EF 平面PAB，PB 平面PAB，
则EF∥平面PAB，而平面PAB∩平面EFG＝l，EF 平面EFG，
所以EF∥l；
（2）由G，F分别是PA，AC中点，得FG∥PC，
又FG 平面PBC，PC 平面PBC，
则FG∥平面PBC，
由（1）知EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，
则EF∥平面PBC，又EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面PBC．
16．（2025春 长安区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2AB＝4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥PC；
（Ⅱ）求直线AC与平面PCD所成角的正切值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥面ABCD，CD 面ABCD，
所以PA⊥CD，
又四边形ABCD是矩形，
所以CD⊥DA，
因为DA∩PA＝A，DA 面PAD，PA 面PAD，
所以CD⊥面PAD，
因为AM 面PAD，
所以CD⊥AM，
又M是PD的中点，PA＝AD＝4，
所以AM⊥PD，
因为CD∩PD＝D，CD 面PCD，PD 面PCD，
所以AM⊥面PCD，
又PC 面PCD，
所以AM⊥PC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥面PCD，
所以直线AC在平面PCD上的射影为MC，
所以直线AC与平面PCD所成角为∠ACM，
因为PA＝AD＝2CD＝4，PA⊥面ABCD，
所以PA⊥AD，
所以PD＝4，
所以AM2，MC2，
又因为∠AMC＝90°，
所以tan∠ACM，
所以直线AC与平面PCD所成角的正切值为．
17．（2025春 靖江市校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，F为PD上除端点外的任意一点．
（1）证明：CD∥平面ABF；
（2）证明：PC不垂直于平面ABF；
（3）已知M为PA的中点，N为PC上靠近P的三等分点，若MN∥平面ABF，求．
【解答】（1）证明：因为底面ABCD为矩形，
所以AB∥CD，
又AB 平面ABF，CD 平面ABF，
所以CD∥平面ABF．
（2）证明：假设PC⊥平面ABF，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA∥PC或PA与PC重合，显然与题意相矛盾，
所以PC不垂直于平面ABF．
（3）解：过点F作FE∥CD，交PC于点E，连接AE，
因为AB∥CD，所以EF∥AB，即A，B，E，F四点共面，
因为MN∥平面ABF，即MN∥平面ABEF，MN 平面PAC，平面PAC∩平面ABEF＝AE，
所以MN∥AE，
又M是PA的中点，所以N是PE的中点，
又N为PC上靠近P的三等分点，所以E为PC上靠近C的三等分点，
因为FE∥CD，
所以F为PD上靠近D的三等分点，
即2．
18．（2025 银川校级模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，AD⊥AB，AD⊥AC，且点B，C，E，F四点共面．
（1）证明：（i）平面ABC∥平面DEF；
（ii）多面体ABCDEF是三棱台；
（2）若AB＝AC＝AD＝2，DE＝DF＝4，AB⊥AC，动点P在△DEF内部及边界上运动，且，求异面直线AP与FB所成角的最小值．
【解答】（1）证明：（i）四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，AD⊥AB，AD⊥AC，
故AB∥DE，AC∥DF，
因为AB 平面DEF，DE 平面DEF，所以AB∥平面DEF，
同理可得AC∥平面DEF，
因为AB，AC 平面ABC，AB∩AC＝A，
所以平面ABC∥平面DEF；
（ii）在梯形ABED中，延长EB，DA交于点H，
∵H∈BE，BE 平面BEFC，∴H∈平面BEFC，
同理H∈平面ADFC，
又∵平面BEFC∩平面ADFC＝CF，∴H∈CF
∴直线EB，FC，DA相交于点H，
又由（i）可知：平面ABC∥平面DEF，
∴多面体ABCDEF是三棱台；
（2）解：∵四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，AD⊥AB，AD⊥AC，
∴AD⊥DE，AD⊥DF，又DE∩DF＝D，∴AD⊥平面DEF，
又∵动点P在△DEF内部及边界上运动，且，
∴△ADP是等腰直角三角形∴DP＝DA＝2，
∴点P的轨迹是以点D为圆心，2为半径的圆（在△DEF内部及边界上），
如图以DE，DF，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，则A（0，0，2），B（2，0，2），F（0，4，0），
，
可得 4cosα﹣8sinα﹣4，||2，|2，
可得cos，，
设异面直线AP与FB所成角为θ，
则cosθ＝|cos，|，则（取φ为锐角），
∵，且φ为锐角，
∴，
∵sin（φ）+1cosφ+11＝3，
sin（﹣φ）+1（）+1＝0，
可得cosθ∈[0，]，
∴，即P（0，2，0）时，
∴异面直线AP与FB所成角的最小值为．
19．（2025春 东莞市校级期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
（1）求证：EO∥平面PBC；
（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由底面为正方形的四棱锥可得O为BD的中点，再由E为PD的中点，
可得OE为△PBD的中位线，
所以OE∥PB，
而OE 面PBC，PB 面PBC，
所以可证得OE∥面PBC；
（2）存在PA的中点F，使得平面OEF∥平面PBC；
因为E，F为中点，所以EF∥AD，
因为AD∥BC，所以EF∥BC，
EF 面PBC，BC 面PBC，
所以EF∥面PBC，
再由（1）及EF∩OE＝E，
所以可证得面OEF∥面PBC．
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