12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点1 正比例函数的概念
1．下列说法中正确的有( D )
①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若函数y＝2x＋(1－m)是正比例函数，则m的值是 1 ．
知识点2 正比例函数的图象
3．［德阳中考］正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( A )
A． B．－ C．－1 D．－
4．在平面直角坐标系中，下列点M，N在同一个正比例函数的图象上的是( A )
A．M(2，－3)，N(－4，6)
B．M(－2，3)，N(4，6)
C．M(－2，－3)，N(4，－6)
D．M(2，3)，N(－4，6)
5．已知三个函数的解析式分别为y1＝x，y2＝x，y3＝2x．
(1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数；
(2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数图象共同的特征．
解：(1)列表如下，
x … 0 1 …
y1 … 0 …
y2 … 0 1 …
y3 … 0 2 …
三个函数的大致图象，如图所示．
(2)特征1：三个函数的函数值y都随着x的增大而增大；特征2：三个函数的图象都经过(0，0)；特征3：三个函数的图象都经过一、三象限．(合理即可)
知识点3 正比例函数的性质
6．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝(－a－1)x经过( D )
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
7．［山西中考］已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( B )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
8．已知y关于x的函数y＝(2m＋6)x＋m－3，且该函数是正比例函数．
(1)m的值为 3 ；
(2)若点(a，y1)，(a＋1，y2)在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系： y1＜y2 ．
9．［易错题］已知正比例函数y＝kx，当－2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 ．
10．［新考向·新定义试题］定义运算*为a*b＝如：1*(－2)＝－1×(－2)＝2，则函数y＝2*x的图象大致是( C )
A B C D
11．若正比例函数y＝(a－4)x的图象经过第一、三象限，化简的结果是( A )
A．a－3 B．3－a
C．(a－3)2 D．(3－a)2
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(n，3)，若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值不可能是( A )
A． B．2 C．3 D．4
第12题图 第13题图
13．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是( B )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
14．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是( C )
A．m＜0 B．m＞0
C．m＜ D．m＞
15．已知y－2与3x－4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(a，－3)在这个函数的图象上，求a的值；
(3)若y的取值范围为－1≤y≤1，求x的取值范围．
解：(1)设y－2＝k(3x－4)，将x＝2，y＝3代入，得2k＝1，解得k＝，所以y－2＝(3x－4)，即y＝x．
(2)将点P(a，－3)代入y＝x，得a＝－3，解得a＝－2．
(3)当y＝－1时，x＝－1，解得x＝－，当y＝1时，x＝1，解得x＝，所以－≤x≤．
16．［抽象能力］已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限；过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且三角形AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使三角形AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为点A在第四象限，且横坐标为3，三角形AOH的面积为3，所以点A的纵坐标为－2，点A的坐标为(3，－2)．因为正比例函数y＝kx经过点A，所以3k＝－2，解得k＝－，所以正比例函数的解析式是y＝－x．
(2)因为三角形AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，所以OP＝＝5，所以点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
第2课时 一次函数的图象
知识点1 一次函数的概念
1．下列函数中是一次函数的是( C )
A．y＝＋1 B．y＝kx＋b
C．y＝3x＋2 D．y＝x2－2x＋1
知识点2 一次函数的图象与系数的关系
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则点(k，－b)在( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( D )
A．m＞0，n＜2
B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2
D．m＜0，n＞2
知识点3 一次函数的图象与正比例函数图象的关系
4．已知一次函数y＝mx＋n(m，n为常数，且m≠n，m≠0)的图象不经过第三象限，则正比例函数y＝(n－m)x的图象经过的象限是( C )
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
5．把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，所得直线的函数解析式为( D )
A．y＝3(x＋1) B．y＝3x＋1
C．y＝3(x－1) D．y＝3x－1
知识点4 一次函数的图象在y轴上的截距
6．一次函数y＝－2x＋3的截距是( C )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
7．一次函数y＝2(x－1)＋4的图象在y轴上的截距是 2 ．
知识点5 两点法画一次函数的图象
8．在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图象时，通常过点 (1，0) 和 (0，3) 画一条直线．
9．用两点法画函数y＝－2x＋1的图象．
解：函数y＝－2x＋1经过点(0，1)，（，0），图象如图所示．
10．下列关于变量x，y的关系式中，y是关于x的一次函数的是( C )
A．y＝1
B．y＝kx＋b(k，b为常数)
C．y＝(a2＋1)x－3(a为常数)
D．y＝
11．下列的说法中，正确的是( C )
A．一次函数y＝4(x－1)－2在y轴上的截距是－2
B．一次函数y＝x－1的图象与x轴交于点(－1，0)
C．一次函数y＝－2x＋3(－1≤x≤3)的图象是一条线段
D．一次函数y＝(－m2－1)x＋3x＋n的图象一定经过第二、四象限
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)与y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是( D )
A．k1·k2＜0
B．k1＋k2＜0
C．b1－b2＜0
D．b1·b2＜0
13．［数形结合思想］如图，直线l是函数y＝x＋3的图象，若点P(a，b)满足a＜5，且b＞a＋3，则P点的坐标可能是( B )
A．(4，5)
B．(4，6)
C．(3，4)
D．(－2，1)
14．已知一次函数y＝(2m－3)x＋4－m的图象在y轴上的截距大于或等于1，则函数m的取值范围是 m≤3且m≠ ．
15．如图是y＝－2x＋4的图象．
(1)分别求出点A，B的坐标；
(2)若直线上有一点C(－3，n)，求三角形OAC的面积．
解：(1)令y＝0，则x＝2，令x＝0，则y＝4，所以点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)．
(2)把x＝－3代入y＝－2x＋4，得y＝6＋4＝10，所以点C(－3，10)，所以S三角形OAC＝×2×10＝10．
16．［新考向·阅读理解试题］阅读材料，解答下列问题．
材料：在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2(k2≠0)的图象为直线l2．若k1·k2＝－1，我们就称直线l1与直线l2互相垂直．
(1)求过点P(4，1)且与直线y＝－2x－1垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出直线l；
(2)设(1)中的直线l分别与y轴、x轴交于点A，B．如果直线m：y＝kx＋t(t＜0)与直线l垂直，且与x轴交于点C，求三角形ABC的面积S关于t的函数表达式．
解：(1)设直线l的函数表达式为y＝k'x＋b．因为直线l与直线y＝－2x－1垂直，所以k'＝．因为直线l过点(4，1)，所以×4＋b＝1，解得b＝－1．所以直线l的函数表达式为y＝x－1．直线l如图所示．
如图，因为直线l分别与y轴、x轴交于点A，B，所以点A，B的坐标分别为(0，－1)，(2，0)．因为直线m与直线l垂直，所以直线m为y＝－2x＋t．令y＝0，解得x＝，所以点C的坐标为（，0）．因为t＜0，所以＜0，所以点C在x轴的负半轴上，所以S＝（2－）×1＝1－．所以三角形ABC的面积S关于t的函数表达式为S＝1－．
第3课时 一次函数的性质
知识点1 根据函数性质确定其图象
1．在一次函数y＝ax－a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是( B )
A B
C D
2．一次函数y＝ax＋b，b＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是( D )
A B
C D
知识点2 根据函数性质判断其图象上点的坐标的关系
3．若点A(5，y1)，B(1，y2)都在直线y＝3x－1上，则y1与y2的大小关系是( C )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
4．若点(－2，y1)，(2，y2)都在一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象上，则y1与y2的大小关系是( C )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．不能确定
知识点3 根据函数性质确定其函数值或自变量的取值范围
5．已知一次函数y＝－x＋2，当－3≤x≤－1时，y的取值范围是( D )
A．－5≤y≤－3 B．－3≤y≤5
C．－5≤y≤3 D．3≤y≤5
6．设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝(k－2)x＋2，当1≤x≤2时，y的最小值是( A )
A．2k－2 B．k－1
C．k D．k＋1
7．［易错题］已知函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，那么k，b一定满足( D )
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0
C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b≤0
8．一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，则点P(－m，m)所在象限为( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．已知一次函数y＝kx＋k＋1，y随x的增大而减小，且图象与y轴交于正半轴，则k的取值范围是( D )
A．k＜－1或k＞1 B．－1＜k＜1
C．0＜k＜1 D．－1＜k＜0
10．若点A(x1，y1)和B(x2，y2)都在一次函数y＝(k－1)x＋2(k为常数)的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是( A )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝3
11．若一次函数y＝kx＋2的值y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝ 1 ．
12．已知一次函数y＝(k－1)x＋2．若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为 5或－1 ．
13．［分类讨论思想］对于一次函数y＝kx－k－1(k为常数，k≠0)，当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 2或－2 ．
14．已知一次函数y＝(3－m)x＋2m－9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数．
(1)求m的值；
(2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围．
解：(1)因为一次函数y＝(3－m)x＋2m－9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，所以解得3＜m＜4.5．因为m为整数，所以m＝4．
(2)由(1)知，m＝4，则该一次函数表达式为y＝－x－1．因为－1≤x≤2，所以－3≤－x－1≤0，即y的取值范围是－3≤y≤0．
15．已知关于x的函数y＝(m＋2)－1是一次函数．
(1)求m的值；
(2)在该一次函数中，当－3≤x≤1时，求y的最大值．
解：(1)因为函数y＝(m＋2)－1是一次函数，所以m2－3＝1，解得m＝±2．因为m＋2≠0，所以m＝2．
(2)将m＝2代入得一次函数解析式为y＝4x－1，所以y随x的增大而增大，所以当－3≤x≤1时，当x＝1时，y有最大值，最大值为y＝4×1－1＝3．
16．已知一次函数y＝(2m＋3)x＋m－1．
(1)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若该函数图象与直线y＝x＋1平行，求m的值．
解：(1)因为该函数的值y随自变量x的增大而减小，所以2m＋3＜0，解得m＜－．
(2)因为该函数的图象不经过第二象限，所以解得－＜m≤1．
(3)因为函数图象平行于直线y＝x＋1，
所以解得m＝－1．
17．［抽象能力］在平面直角坐标系中，把正比例函数y＝2x的图象向上平移5个单位，得到直线l，直线l与x轴交于点A．
(1)求直线l的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点B(－1，n)是直线l上一点，点C在x轴上，三角形ABC的面积为，请求出点C的坐标．
解：(1)因为正比例函数y＝2x的图象向上平移5个单位，得到直线l，所以直线l的解析式为y＝2x＋5．
(2)令y＝0，则2x＋5＝0，解得x＝－2.5，所以A(－2.5，0)．
(3)因为点B(－1，n)是直线l：y＝2x＋5上一点，所以n＝－2＋5＝3，所以B(－1，3)．因为三角形ABC的面积为，所以AC·yB＝，即AC·3＝，所以AC＝2.5．因为A(－2.5，0)，所以点C的坐标为(0，0)或(－5，0)．
第4课时 待定系数法求一次函数的表达式
知识点1 已知坐标求函数表达式
1．已知一次函数y＝2kx－k的图象经过点(－1，6)，则k的值为( B )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
2．在平面直角坐标系中，已知点(1，2)与(2，4)在直线l上，则直线l必经过( B )
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(6，3) D．(6，8)
3．已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( B )
A．y＝－2x＋8 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－2
4．已知一次函数的图象经过点A(－3，2)，与x轴的交点为B，若OB＝4，则这个一次函数的解析式为 y＝－或y＝2x＋8 ．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点为A(－3，0)，与y轴交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C(m，4)．求一次函数y＝kx＋b的表达式．
解：因为点C(m，4)在正比例函数y＝x的图象上，所以m＝4，所以m＝3，即点C坐标为(3，4)．因为一次函数y＝kx＋b经过A(－3，0)，C(3，4)，所以解得所以一次函数的表达式为y＝x＋2．
知识点2 已知图象求函数表达式
6．如图，若直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－2，0)，与y轴正半轴交于点B，且三角形OAB的面积为6，则该直线的解析式为( B )
A．y＝x＋6 B．y＝3x＋6
C．y＝x＋3 D．y＝x＋3
7．［数形结合思想］如图，直线l1：y＝－x－b分别与x轴、y轴交于A(6，0)，B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1．
(1)求点B，C的坐标，并求直线l2的函数解析式；
(2)求S三角形AOB－S三角形BOC的值．
解：(1)将A(6，0)代入直线l1的解析式可得0＝－6－b，解得b＝－6，所以直线l1的解析式为y＝－x＋6，所以B点坐标为(0，6)．因为OB∶OC＝3∶1，所以OC＝2，所以点C的坐标为(－2，0)．设直线l2的解析式是y＝kx＋6(k≠0)．将C(－2，0)代入，得0＝－2k＋6，解得k＝3，所以直线l2的解析式是y＝3x＋6．
(2)S三角形AOB－S三角形BOC＝OA·OB－OC·OB＝×6×6－×6×2＝12．
8．［易错题］已知一次函数y＝kx＋b中自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应的函数值y的取值范围是－11≤y≤9，此函数的表达式是 y＝x＋4 ．
9．［情境题·中华优秀传统文化］象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．某次对弈的残图如图所示，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，那么在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数图象的解析式为( A )
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝2x－1
10．在平面直角坐标系中，已知M(1，2)，N(－3，3)两点，若将线段MN沿一定方向平移，平移后M点的对应点为M'(3，6)，N点的对应点为N'，则直线MN'的表达式为( A )
A．y＝－x＋ B．y＝x＋
C．y＝2x D．y＝2x＋9
11．如图，直线l与y轴交于点(0，3)，与正比例函数y＝2x的图象交于点B，且点B的横坐标为1，则直线l对应的函数表达式是( C )
A．y＝x－3 B．y＝2x＋3
C．y＝3－x D．y＝x－3
第11题图 第13题图
12．［分类讨论思想］在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于A(－3，0)，交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k＝ ．
13．如图，将13个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为 y＝x＋1 ．
14．已知一次函数的图象经过点(3，1)和点(0，－2)．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)平移该函数的图象，使它经过点(－3，5)，求出平移后的直线对应的函数表达式．
解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b．把(3，1)和(0，－2)代入，得解得所以该一次函数的表达式为y＝x－2．
(2)设平移后的直线对应的函数表达式为y＝x＋b'，把(－3，5)代入，得5＝－3＋b'，解得b'＝8．所以平移后的直线对应的函数表达式为y＝x＋8．
15．已知一次函数图象如图所示．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点P为该一次函数图象上一点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S三角形PAO＝6，求点P的坐标．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，根据题意，得解得所以一次函数的解析式为y＝x＋2．
(2)把y＝0代入y＝x＋2，得x＋2＝0，解得x＝－4，则点A的坐标为(－4，0)．设点P坐标为(x，y)，所以S三角形PAO＝·OA·|y|．因为S三角形PAO＝6，所以×4×|y|＝6，解得y＝±3．当y＝3时，则x＋2＝3，解得x＝2；当y＝－3时，则x＋2＝－3，解得x＝－10，所以点P的坐标为(2，3)或(－10，－3)．
16．［新课标·几何直观］如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线AB与直线OA相交于点A(4，2)，动点M沿路线O→A→C运动．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求三角形OAC的面积；
(3)当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
解：(1)设直线AB的解析式是y＝kx＋b，根据题意得，解得则直线AB的解析式是y＝－x＋6．
(2)在y＝－x＋6中，令x＝0，解得y＝6，S三角形OAC＝×6×4＝12．
(3)设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得m＝，则直线OA的解析式为y＝x．当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，M的横坐标是×4＝1，当M在OA上时，由x＝1和y＝x，得y＝，则M的坐标是(1，)；当M在AC上时，由x＝1和y＝－x＋6，得y＝5，则M的坐标是(1，5)．则M的坐标是(1，)或(1，5)．
第5课时 一次函数的简单应用——分段函数
知识点1 求实际问题中的分段函数的表达式
1．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是( D )
A．y＝0.12x，x＞0
B．y＝60－0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
2．某市出租车的收费标准是：3 km以内(包括3 km)收费5元，超过3 km，每增加1 km加收1.2元，则路程x(x≥3)时，车费y(元)与路程x(km)之间的关系式为 y＝1.2x＋1.4 ．
知识点2 利用分段函数解决实际问题
3．［情境题·现实生活］清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2 kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x(kg)与所付金额y(元)存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是( B )
A．17 kg B．19 kg C．21 kg D．23 kg
第3题图 第4题图
4．如图，小明购买一种笔记本的付款金额y(元)与购买量x(本)之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8本笔记本比分8次购买(每次购买1本)可节省 4 元．
5．某农户欲购买“白银2号”种子，如果一次性购买10 kg以上的种子，则超过10 kg部分的种子价格会打折．购买种子所需的付款金额y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示．
(1)根据图象，购买种子不超过10 kg时，每千克种子的价格为 10 元，写出此时y关于x的函数关系式： y＝10x (不写出自变量的取值范围)；
(2)当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少千克种子？
解：当x＞10 kg时，设y＝kx＋b，且过点A(10，100)，B(20，160)，则解得所以y＝6x＋40(x＞10)．根据题图可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10 kg，令y＝6x＋40＝340时，解得x＝50，所以当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50 kg种子．
6．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，则下列说法中错误的有( A )
①每分钟进水5 L；
②每分钟出水3.75 L；
③容器中水为25 L的时间是8 min或 min；
④第2 min或 min时容器内的水恰为10 L．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第6题图 第7题图
7．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10 km；②出发1.25 h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km．其中正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．甲乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有20 s，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为30 s，甲乙两车与甲车出发点距离y(m)与行驶时间x(s)的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 30 s可与乙车相遇．
9．“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y(单位：m/s)与时间x(单位：s)的关系的图象如图所示，其中线段BC∥x轴．请根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)当0≤x≤10，求y关于x的函数表达式；
(2)求点C的坐标．
解：(1)当0≤x≤10时，设y关于x的函数表达式为y＝kx，则10k＝50，解得k＝5，即当0≤x≤10时，y关于x的函数表达式为y＝5x．
(2)设当10＜x≤30时，y关于x的函数表达式为y＝ax＋b，由题意得解得即当10＜x≤30时，y关于x的函数表达式为y＝2x＋30，当x＝30时，y＝2×30＋30＝90．因为线段BC∥x轴，所以点C的坐标为(60，90)．
10．甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了 30 天；
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数．
解：(2)设乙组停工后y关于x的关系式为y＝kx＋b，所以所以所以y＝3x＋120(30≤x≤60)．
由题意得，甲组单独挖掘30天，挖掘的长度为300－210＝90(m)，甲的工作效率是每天90÷30＝3(m)，前30天是甲乙合作共挖掘了210 m，则乙单独挖掘的长度是210－90＝120(m)，当甲挖掘的长度是120 m时，工作天数是120÷3＝40(天)，乙组已停工的天数为40－30＝10(天)．
第6课时 一次函数与一次方程、一次不等式
知识点1 一次函数与一次方程的关系
1．［数形结合思想］如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x＋5＝ax＋b的解是( A )
A．x＝20
B．x＝25
C．x＝20或25
D．x＝－20
2．关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( D )
A．(3，0) B．(7，0) C．(3，7) D．(7，3)
3．如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求三角形COP的面积；
(4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解．
解：(1)因为正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，所以－3m＝3，m＝－1，所以P(－1，3)．把(1，1)和(－1，3)代入一次函数y＝kx＋b，得解得所以一次函数解析式是y＝－x＋2．
(2)由(1)知一次函数表达式是y＝－x＋2，令x＝0，则y＝2，即点D(0，2)．
(3)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2，令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2，所以点C(2，0)，所以OC＝2，因为P(－1，3)，所以三角形COP的面积＝OC·|yp|＝×2×3＝3．
(4)因为令kx＋b＝－3x，所以(k＋3)x＋b＝0．由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1，3)，所以方程的解为x＝－1．
知识点2 一次函数与一次不等式的关系
4．已知一次函数y＝ax＋b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式a(x－1)＋b＞0的解集为( A )
A．x＜3 B．x＞3 C．x＞1 D．x＜1
5．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(2，0)，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是 x＜2 ．
6．如图，直线l1：y＝－2x＋4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx＋b经过点C，且与l1交于点A(1，2)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求三角形ADE的面积；
(3)根据图象，直接写出0≤－2x＋4＜kx＋b的解集．
解：(1)因为l1的直线解析式为y＝－2x＋4，当y＝0时，x＝2，所以B(2，0)．因为OB＝OC，所以C(－2，0)．因为l2：y＝kx＋b经过点C和点A，所以解得所以l2的直线解析式为y＝x＋．
(2)在直线l1的解析式y＝－2x＋4中，当x＝0时，y＝4，所以E(0，4)，在直线l2的解析式y＝x＋中，当x＝0时，y＝，所以D（0，），所以DE＝4－，所以S三角形ADE＝×1＝．
(3)由函数图象可知，0≤－2x＋4＜kx＋b的解集为1＜x≤2．
7．［易错题］如图，已知直线y＝ax＋b(a，b为常数且a＜0)经过点A(2，1)，当ax＋b＜x时，x的取值范围为 x＞2 ．
8．已知方程3x＋kx＝10的解为x＝2，则直线y＝3x－2与直线y＝－kx＋8的交点坐标为( A )
A．(2，4) B．(2，－4)
C．(－2，8) D．(－4，－2)
9．若方程x－3＝0的解也是直线y＝(4k＋1)x－15与x轴的交点的横坐标，则k的值为( C )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示．下列结论中，正确的是( D )
A．k＞0
B．方程kx＋b＝0的解为x≠1
C．b＜0
D．若点A(1，m)，B(3，n)在该直线图象上，则m＞n
11．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象经过(3，2)和(－3，－1)两点，则方程ax＋b＝－1的解为 x＝－3 ．
12．如图，直线y＝2x＋1与直线y＝mx＋n相交于点P(1，b)，且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为(4，0)．
(1)求点P坐标；
(2)求一元一次方程mx＋n＝0的解x；
(3)若直线y＝2x＋1上有一点Q，使得S三角形ABP＝S三角形ABQ，求点Q的坐标．
解：(1)把P(1，b)代入y＝2x＋1，得b＝2×1＋1＝3，所以点P的坐标为(1，3)．
(2)因为直线y＝mx＋n与x轴交于点B(4，0)，所以一元一次方程mx＋n＝0的解为x＝4．
(3)设Q(t，2t＋1)，当y＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－，所以A（－，0），因为S三角形ABP＝S三角形ABQ，所以×（4＋）×3＝×（4＋）×|2t＋1|，解得t＝或t＝－，所以Q点的坐标为（，6）或（－，－6）．
13．［运算能力］已知一次函数y1＝－2x＋3，y2＝2x－4．
(1)若y1＜y2，求x的取值范围；
(2)若关于x的一元一次不等式组的解集为－2＜x＜3，求(a＋1)(6b－1)的值；
(3)若y3＝2x＋m，对于任意的x＞1，都有y1＜y3，求m的取值范围．
解：(1)因为y1＝－2x＋3，y2＝2x－4．当y1＜y2时，－2x＋3＜2x－4，解得x＞，即若y1＜y2，x的取值范围是x＞．
(2)因为y1＝－2x＋3，y2＝2x－4，所以关于x的一元一次不等式组即为解得＜x＜．因为关于x的一元一次不等式组的解集为－2＜x＜3，所以＝－2，＝3，解得b＝，a＝7，所以(a＋1)(6b－1)＝(7＋1)×(7－1)＝8×6＝48．
(3)把x＝1代入y1＝－2x＋3得，y＝1．因为当x＞1时，对于x的每一个值，都有y1＜y3，所以当x＝1时，y3≥1，即2＋m≥1，解得m≥－1，故m的取值范围是m≥－1．
14．关于x的一元一次方程－2ax＋3＝－2x－9的解为负数，且一次函数y＝(2a－7)x＋a＋2的图象不经过第三象限，求符合条件的整数a的值．
解：因为一次函数y＝(2a－7)x＋a＋2的图象不经过第三象限，所以2a－7＜0且a＋2≥0，所以－2≤a＜3.5．解一元一次方程－2ax＋3＝－2x－9，得x＝．因为关于x的一元一次方程－2ax＋3＝－2x－9的解为负数，所以＜0，所以a－1＜0，所以a＜1．综上所述，a的取值范围为－2≤a＜1，所以整数a的值为－2，－1，0．12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点1 正比例函数的概念
1．下列说法中正确的有( )
①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若函数y＝2x＋(1－m)是正比例函数，则m的值是 ．
知识点2 正比例函数的图象
3．［德阳中考］正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
A． B．－ C．－1 D．－
4．在平面直角坐标系中，下列点M，N在同一个正比例函数的图象上的是( )
A．M(2，－3)，N(－4，6)
B．M(－2，3)，N(4，6)
C．M(－2，－3)，N(4，－6)
D．M(2，3)，N(－4，6)
5．已知三个函数的解析式分别为y1＝x，y2＝x，y3＝2x．
(1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数；
(2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数图象共同的特征．
知识点3 正比例函数的性质
6．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝(－a－1)x经过( )
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
7．［山西中考］已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
8．已知y关于x的函数y＝(2m＋6)x＋m－3，且该函数是正比例函数．
(1)m的值为 ；
(2)若点(a，y1)，(a＋1，y2)在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系： ．
9．［易错题］已知正比例函数y＝kx，当－2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 ．
10．［新考向·新定义试题］定义运算*为a*b＝如：1*(－2)＝－1×(－2)＝2，则函数y＝2*x的图象大致是( )
A B C D
11．若正比例函数y＝(a－4)x的图象经过第一、三象限，化简的结果是( )
A．a－3 B．3－a
C．(a－3)2 D．(3－a)2
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(n，3)，若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值不可能是( )
A． B．2 C．3 D．4
第12题图 第13题图
13．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
14．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是( )
A．m＜0 B．m＞0
C．m＜ D．m＞
15．已知y－2与3x－4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(a，－3)在这个函数的图象上，求a的值；
(3)若y的取值范围为－1≤y≤1，求x的取值范围．
16．［抽象能力］已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限；过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且三角形AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使三角形AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2课时 一次函数的图象
知识点1 一次函数的概念
1．下列函数中是一次函数的是( )
A．y＝＋1 B．y＝kx＋b
C．y＝3x＋2 D．y＝x2－2x＋1
知识点2 一次函数的图象与系数的关系
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则点(k，－b)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )
A．m＞0，n＜2
B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2
D．m＜0，n＞2
知识点3 一次函数的图象与正比例函数图象的关系
4．已知一次函数y＝mx＋n(m，n为常数，且m≠n，m≠0)的图象不经过第三象限，则正比例函数y＝(n－m)x的图象经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
5．把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，所得直线的函数解析式为( )
A．y＝3(x＋1) B．y＝3x＋1
C．y＝3(x－1) D．y＝3x－1
知识点4 一次函数的图象在 轴上的截距
6．一次函数y＝－2x＋3的截距是( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
7．一次函数y＝2(x－1)＋4的图象在y轴上的截距是 ．
知识点5 两点法画一次函数的图象
8．在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图象时，通常过点 和 画一条直线．
9．用两点法画函数y＝－2x＋1的图象．
10．下列关于变量x，y的关系式中，y是关于x的一次函数的是( )
A．y＝1
B．y＝kx＋b(k，b为常数)
C．y＝(a2＋1)x－3(a为常数)
D．y＝
11．下列的说法中，正确的是( )
A．一次函数y＝4(x－1)－2在y轴上的截距是－2
B．一次函数y＝x－1的图象与x轴交于点(－1，0)
C．一次函数y＝－2x＋3(－1≤x≤3)的图象是一条线段
D．一次函数y＝(－m2－1)x＋3x＋n的图象一定经过第二、四象限
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)与y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是( )
A．k1·k2＜0
B．k1＋k2＜0
C．b1－b2＜0
D．b1·b2＜0
13．［数形结合思想］如图，直线l是函数y＝x＋3的图象，若点P(a，b)满足a＜5，且b＞a＋3，则P点的坐标可能是( )
A．(4，5)
B．(4，6)
C．(3，4)
D．(－2，1)
14．已知一次函数y＝(2m－3)x＋4－m的图象在y轴上的截距大于或等于1，则函数m的取值范围是 ．
15．如图是y＝－2x＋4的图象．
(1)分别求出点A，B的坐标；
(2)若直线上有一点C(－3，n)，求三角形OAC的面积．
16．［新考向·阅读理解试题］阅读材料，解答下列问题．
材料：在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2(k2≠0)的图象为直线l2．若k1·k2＝－1，我们就称直线l1与直线l2互相垂直．
(1)求过点P(4，1)且与直线y＝－2x－1垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出直线l；
(2)设(1)中的直线l分别与y轴、x轴交于点A，B．如果直线m：y＝kx＋t(t＜0)与直线l垂直，且与x轴交于点C，求三角形ABC的面积S关于t的函数表达式．
第3课时 一次函数的性质
知识点1 根据函数性质确定其图象
1．在一次函数y＝ax－a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是( )
A B
C D
2．一次函数y＝ax＋b，b＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是( )
A B
C D
知识点2 根据函数性质判断其图象上点的坐标的关系
3．若点A(5，y1)，B(1，y2)都在直线y＝3x－1上，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
4．若点(－2，y1)，(2，y2)都在一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．不能确定
知识点3 根据函数性质确定其函数值或自变量的取值范围
5．已知一次函数y＝－x＋2，当－3≤x≤－1时，y的取值范围是( )
A．－5≤y≤－3 B．－3≤y≤5
C．－5≤y≤3 D．3≤y≤5
6．设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝(k－2)x＋2，当1≤x≤2时，y的最小值是( )
A．2k－2 B．k－1
C．k D．k＋1
7．［易错题］已知函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，那么k，b一定满足( )
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0
C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b≤0
8．一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，则点P(－m，m)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．已知一次函数y＝kx＋k＋1，y随x的增大而减小，且图象与y轴交于正半轴，则k的取值范围是( )
A．k＜－1或k＞1 B．－1＜k＜1
C．0＜k＜1 D．－1＜k＜0
10．若点A(x1，y1)和B(x2，y2)都在一次函数y＝(k－1)x＋2(k为常数)的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝3
11．若一次函数y＝kx＋2的值y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝ ．
12．已知一次函数y＝(k－1)x＋2．若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为 ．
13．［分类讨论思想］对于一次函数y＝kx－k－1(k为常数，k≠0)，当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 ．
14．已知一次函数y＝(3－m)x＋2m－9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数．
(1)求m的值；
(2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围．
15．已知关于x的函数y＝(m＋2)－1是一次函数．
(1)求m的值；
(2)在该一次函数中，当－3≤x≤1时，求y的最大值．
16．已知一次函数y＝(2m＋3)x＋m－1．
(1)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若该函数图象与直线y＝x＋1平行，求m的值．
17．［抽象能力］在平面直角坐标系中，把正比例函数y＝2x的图象向上平移5个单位，得到直线l，直线l与x轴交于点A．
(1)求直线l的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点B(－1，n)是直线l上一点，点C在x轴上，三角形ABC的面积为，请求出点C的坐标．
第4课时 待定系数法求一次函数的表达式
知识点1 已知坐标求函数表达式
1．已知一次函数y＝2kx－k的图象经过点(－1，6)，则k的值为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
2．在平面直角坐标系中，已知点(1，2)与(2，4)在直线l上，则直线l必经过( )
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(6，3) D．(6，8)
3．已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( )
A．y＝－2x＋8 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－2
4．已知一次函数的图象经过点A(－3，2)，与x轴的交点为B，若OB＝4，则这个一次函数的解析式为 ．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点为A(－3，0)，与y轴交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C(m，4)．求一次函数y＝kx＋b的表达式．
知识点2 已知图象求函数表达式
6．如图，若直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－2，0)，与y轴正半轴交于点B，且三角形OAB的面积为6，则该直线的解析式为( )
A．y＝x＋6 B．y＝3x＋6
C．y＝x＋3 D．y＝x＋3
7．［数形结合思想］如图，直线l1：y＝－x－b分别与x轴、y轴交于A(6，0)，B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1．
(1)求点B，C的坐标，并求直线l2的函数解析式；
(2)求S三角形AOB－S三角形BOC的值．
8．［易错题］已知一次函数y＝kx＋b中自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应的函数值y的取值范围是－11≤y≤9，此函数的表达式是 ．
9．［情境题·中华优秀传统文化］象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．某次对弈的残图如图所示，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，那么在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数图象的解析式为( )
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝2x－1
10．在平面直角坐标系中，已知M(1，2)，N(－3，3)两点，若将线段MN沿一定方向平移，平移后M点的对应点为M'(3，6)，N点的对应点为N'，则直线MN'的表达式为( )
A．y＝－x＋ B．y＝x＋
C．y＝2x D．y＝2x＋9
11．如图，直线l与y轴交于点(0，3)，与正比例函数y＝2x的图象交于点B，且点B的横坐标为1，则直线l对应的函数表达式是( )
A．y＝x－3 B．y＝2x＋3
C．y＝3－x D．y＝x－3
第11题图 第13题图
12．［分类讨论思想］在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于A(－3，0)，交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k＝ ．
13．如图，将13个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为 ．
14．已知一次函数的图象经过点(3，1)和点(0，－2)．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)平移该函数的图象，使它经过点(－3，5)，求出平移后的直线对应的函数表达式．
15．已知一次函数图象如图所示．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点P为该一次函数图象上一点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S三角形PAO＝6，求点P的坐标．
16．［新课标·几何直观］如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线AB与直线OA相交于点A(4，2)，动点M沿路线O→A→C运动．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求三角形OAC的面积；
(3)当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
第5课时 一次函数的简单应用——分段函数
知识点1 求实际问题中的分段函数的表达式
1．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是( )
A．y＝0.12x，x＞0
B．y＝60－0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
2．某市出租车的收费标准是：3 km以内(包括3 km)收费5元，超过3 km，每增加1 km加收1.2元，则路程x(x≥3)时，车费y(元)与路程x(km)之间的关系式为 ．
知识点2 利用分段函数解决实际问题
3．［情境题·现实生活］清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2 kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x(kg)与所付金额y(元)存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是( )
A．17 kg B．19 kg C．21 kg D．23 kg
第3题图 第4题图
4．如图，小明购买一种笔记本的付款金额y(元)与购买量x(本)之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8本笔记本比分8次购买(每次购买1本)可节省 元．
5．某农户欲购买“白银2号”种子，如果一次性购买10 kg以上的种子，则超过10 kg部分的种子价格会打折．购买种子所需的付款金额y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示．
(1)根据图象，购买种子不超过10 kg时，每千克种子的价格为 元，写出此时y关于x的函数关系式： (不写出自变量的取值范围)；
(2)当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少千克种子？
6．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，则下列说法中错误的有( )
①每分钟进水5 L；
②每分钟出水3.75 L；
③容器中水为25 L的时间是8 min或 min；
④第2 min或 min时容器内的水恰为10 L．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第6题图 第7题图
7．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10 km；②出发1.25 h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．甲乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有20 s，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为30 s，甲乙两车与甲车出发点距离y(m)与行驶时间x(s)的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s可与乙车相遇．
9．“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y(单位：m/s)与时间x(单位：s)的关系的图象如图所示，其中线段BC∥x轴．请根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)当0≤x≤10，求y关于x的函数表达式；
(2)求点C的坐标．
10．甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了 天；
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数．
第6课时 一次函数与一次方程、一次不等式
知识点1 一次函数与一次方程的关系
1．［数形结合思想］如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x＋5＝ax＋b的解是( )
A．x＝20
B．x＝25
C．x＝20或25
D．x＝－20
2．关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( )
A．(3，0) B．(7，0) C．(3，7) D．(7，3)
3．如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求三角形COP的面积；
(4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解．
知识点2 一次函数与一次不等式的关系
4．已知一次函数y＝ax＋b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式a(x－1)＋b＞0的解集为( )
A．x＜3 B．x＞3 C．x＞1 D．x＜1
5．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(2，0)，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是 ．
6．如图，直线l1：y＝－2x＋4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx＋b经过点C，且与l1交于点A(1，2)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求三角形ADE的面积；
(3)根据图象，直接写出0≤－2x＋4＜kx＋b的解集．
7．［易错题］如图，已知直线y＝ax＋b(a，b为常数且a＜0)经过点A(2，1)，当ax＋b＜x时，x的取值范围为 ．
8．已知方程3x＋kx＝10的解为x＝2，则直线y＝3x－2与直线y＝－kx＋8的交点坐标为( )
A．(2，4) B．(2，－4)
C．(－2，8) D．(－4，－2)
9．若方程x－3＝0的解也是直线y＝(4k＋1)x－15与x轴的交点的横坐标，则k的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示．下列结论中，正确的是( )
A．k＞0
B．方程kx＋b＝0的解为x≠1
C．b＜0
D．若点A(1，m)，B(3，n)在该直线图象上，则m＞n
11．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象经过(3，2)和(－3，－1)两点，则方程ax＋b＝－1的解为 ．
12．如图，直线y＝2x＋1与直线y＝mx＋n相交于点P(1，b)，且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为(4，0)．
(1)求点P坐标；
(2)求一元一次方程mx＋n＝0的解x；
(3)若直线y＝2x＋1上有一点Q，使得S三角形ABP＝S三角形ABQ，求点Q的坐标．
13．［运算能力］已知一次函数y1＝－2x＋3，y2＝2x－4．
(1)若y1＜y2，求x的取值范围；
(2)若关于x的一元一次不等式组的解集为－2＜x＜3，求(a＋1)(6b－1)的值；
(3)若y3＝2x＋m，对于任意的x＞1，都有y1＜y3，求m的取值范围．
14．关于x的一元一次方程－2ax＋3＝－2x－9的解为负数，且一次函数y＝(2a－7)x＋a＋2的图象不经过第三象限，求符合条件的整数a的值．
