12.3 一次函数与二元一次方程
第1课时 二元一次方程的图象解法
知识点1 二元一次方程与一次函数表达式的互化
1．二元一次方程3x－4y＝8化为一次函数的形式为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x－2 D．y＝x－2
2．已知是二元一次方程ax－y＋b＝0的两个解，则一次函数y＝ax＋b的表达式为 ．
知识点2 用一次函数的图象解二元一次方程
3．如图，直线y＝ax＋b过点(0，－2)和点(－3，0)，则方程ax＋b＋1＝0的解是( )
A．x＝－3
B．x＝－2
C．x＝－1.5
D．x＝－1
4．若方程ax－by＝1有一个解为则一次函数y＝x－的图象上必有点 ．
5．以方程x－2y＝4的解为坐标的所有点组成的图象是一条直线，则这条直线对应的一次函数的解析式为( )
A．y＝x－2 B．y＝x－2
C．y＝x＋2 D．y＝2x－8
6．直线l是以二元一次方程8x－4y＝5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b＝ ．
8．一次函数y＝kx＋7的图象总过定点 ；关于x，y的二元一次方程kx－y＝－7有无数个解，其中必有一解是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，把二元一次方程x＋y＝4的若干个解用点表示出来，发现它们都落在同一条直线上．一般地，任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来，它的图象就是一条直线．根据这个结论，解决下列问题：
(1)根据图象判断二元一次方程x＋y＝4的正整数解为 ；
(写出所有正整数解)
(2)若在直线上取一点M(1，3)，先向下平移a个单位，再向右平移b个单位得到点M'，发现点M'又重新落在二元一次方程x＋y＝4的图象上，试探究a，b之间满足的数量关系．
第2课时 二元一次方程组的图象解法
知识点1 利用图象交点的坐标确定方程组的解
1．在平面直角坐标系中，直线y＝x－6与y＝2x＋b相交于点P(a，－5)，则关于x，y的方程组的解为( )
A． B．
C． D．
2．若一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是 ．
知识点2 利用方程组的解确定图象交点的坐标
3．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组(a为常数)中的两个二元一次方程的图象交于点P，则点P坐标为( )
A．(1，a) B．(1，4)
C．(2，1) D．(1，2)
第3题图 第5题图
4．二元一次方程组的解是一次函数 和 的图象的交点坐标．
5．如图，两个一次函数y1＝－x＋a与y2＝bx－4(b≠0)的图象交于点P(1，－3)，则下列结论错误的是( )
A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1
B．不等式－x＋a＜－3和不等式bx－4＞－3的解集相同
C．方程组的解是
D．不等式组bx－4＜－x＋a＜0的解集是－2＜x＜1
6．［运算能力］如图，直线y＝kx(k≠0)与直线y＝x＋2在第二象限交于点A，直线y＝x＋2分别交x轴，y轴于B，C两点．若3S三角形ABO＝S三角形BOC，则方程组的解为( )
A． B．
C． D．
7．［新课标·几何直观］如图，已知直线l1：y1＝－2x－3，直线l2：y2＝x＋3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B．
(1)求点P的坐标；
(2)若y1＞y2＞0，求x的取值范围；
(3)点D(m，0)为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值．
第3课时 一次函数的实际应用
知识点1 根据实际问题列一次函数关系式
1．［跨学科·物理］在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R(单位：Ω)与温度t(单位：℃)之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表：
t(℃) 0 10 20 30 40
R(Ω) 5 5.08 5.16 5.24 5.32
则R与t之间的关系式为( )
A．R＝0.08t＋5 B．R＝0.008t＋5
C．R＝10t＋5 D．R＝0.08t－5
知识点2 最优方案的选择
2．某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/min；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/min．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x min，选择方案A比方案B优惠时，婷婷的爸爸一个月通话时间可能为( )
A．100 min B．150 min
C．200 min D．250 min
3．因原材料涨价，某厂决定对产品进行提价，现有三种方案：方案一：第一次提价10%，第二次提价30%；方案二：第一次提价30%，第二次提价10%；方案三：第一、二次提价均为20%．三种方案提价最多的是方案 ．
知识点3 利用一次函数解决实际其他问题
4．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度y(℃)与加热时间x(min)满足一次函数关系，如表记录了实验中温度y(℃)和时间x(min)变化的部分数据．则加热18 min时水的温度是( )
时间x/min … 6 10 15 …
温度y/℃ … 33 45 60 …
A．64 ℃ B．66 ℃ C．68 ℃ D．69 ℃
5．我县种植甲、乙两种火龙果共100亩．根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则我县在此项目中获得的最大利润是 万元．(利润＝销售额－种植成本)
6．西苑、竹林两个水站分别存水600 t、1 400 t，东区、西区分别用水1 200 t、800 t，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/t、5元/t；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/t、6元/t，则总运费最少需要多少元？( )
A．13 500 B．13 600
C．13 800 D．14 000
7．［情境题·中华优秀传统文化］端午节前，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( )
A．乙队比甲队提前0.25 min到达终点
B．当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m
C．0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m
D．自1.5 min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m/min
8．元旦期间，某超市推出两种优惠方案．方案一：一次性购物价值超过100元但不超过300元，原价基础上一律打九折；方案二：一次性购物超过300元，原价基础上一律打八折．王老师购物后付款252元，则他所购物品的原价是 元．
9．［情境题·环境保护］在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳172 kg，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳110 kg．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买冷杉x棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为y kg．
(1)直接写出y与x的函数解析式；
(2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买才能使这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少千克二氧化碳？
10．［新课标·中华优秀传统文化］茶为国饮，湖南是中国茶文化的发源地，茶文化的发展也带动了茶艺、茶具、茶服等相关产业的发展．在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进A，B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，则需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，则需要600元．
(1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价是第一次购进时进价的八折．已知销售一套A种茶具可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元，若茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6 240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得利润最大？最大利润是多少？12.3 一次函数与二元一次方程
第1课时 二元一次方程的图象解法
知识点1 二元一次方程与一次函数表达式的互化
1．二元一次方程3x－4y＝8化为一次函数的形式为( C )
A．y＝x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x－2 D．y＝x－2
2．已知是二元一次方程ax－y＋b＝0的两个解，则一次函数y＝ax＋b的表达式为 y＝x＋2 ．
知识点2 用一次函数的图象解二元一次方程
3．如图，直线y＝ax＋b过点(0，－2)和点(－3，0)，则方程ax＋b＋1＝0的解是( C )
A．x＝－3
B．x＝－2
C．x＝－1.5
D．x＝－1
4．若方程ax－by＝1有一个解为则一次函数y＝x－的图象上必有点 (2，1) ．
5．以方程x－2y＝4的解为坐标的所有点组成的图象是一条直线，则这条直线对应的一次函数的解析式为( B )
A．y＝x－2 B．y＝x－2
C．y＝x＋2 D．y＝2x－8
6．直线l是以二元一次方程8x－4y＝5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b＝ 2 ．
8．一次函数y＝kx＋7的图象总过定点 (0，7) ；关于x，y的二元一次方程kx－y＝－7有无数个解，其中必有一解是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，把二元一次方程x＋y＝4的若干个解用点表示出来，发现它们都落在同一条直线上．一般地，任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来，它的图象就是一条直线．根据这个结论，解决下列问题：
(1)根据图象判断二元一次方程x＋y＝4的正整数解为 ；
(写出所有正整数解)
(2)若在直线上取一点M(1，3)，先向下平移a个单位，再向右平移b个单位得到点M'，发现点M'又重新落在二元一次方程x＋y＝4的图象上，试探究a，b之间满足的数量关系．
解：点M平移后的点M'的坐标为(1＋b，3－a)．因为(1＋b，3－a)在直线x＋y＝4上，所以1＋b＋3－a＝4，解得a＝b．
第2课时 二元一次方程组的图象解法
知识点1 利用图象交点的坐标确定方程组的解
1．在平面直角坐标系中，直线y＝x－6与y＝2x＋b相交于点P(a，－5)，则关于x，y的方程组的解为( C )
A． B．
C． D．
2．若一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是 无解 ．
知识点2 利用方程组的解确定图象交点的坐标
3．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组(a为常数)中的两个二元一次方程的图象交于点P，则点P坐标为( D )
A．(1，a) B．(1，4)
C．(2，1) D．(1，2)
第3题图 第5题图
4．二元一次方程组的解是一次函数 y＝3x－5 和 y＝x 的图象的交点坐标．
5．如图，两个一次函数y1＝－x＋a与y2＝bx－4(b≠0)的图象交于点P(1，－3)，则下列结论错误的是( C )
A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1
B．不等式－x＋a＜－3和不等式bx－4＞－3的解集相同
C．方程组的解是
D．不等式组bx－4＜－x＋a＜0的解集是－2＜x＜1
6．［运算能力］如图，直线y＝kx(k≠0)与直线y＝x＋2在第二象限交于点A，直线y＝x＋2分别交x轴，y轴于B，C两点．若3S三角形ABO＝S三角形BOC，则方程组的解为( C )
A． B．
C． D．
7．［新课标·几何直观］如图，已知直线l1：y1＝－2x－3，直线l2：y2＝x＋3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B．
(1)求点P的坐标；
(2)若y1＞y2＞0，求x的取值范围；
(3)点D(m，0)为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值．
解：(1)根据题意，得解得所以点P的坐标为(－2，1)．
(2)令y2＝x＋3＝0，得x＝－3，所以直线l2与x轴的交点坐标为(－3，0)．由图象知，若y1＞y2＞0，则－3＜x＜－2．
(3)由题意知E(m，－2m－3)，F(m，m＋3)．因为EF＝3，所以|－2m－3－(m＋3)|＝3，解得m＝－1或－3．
第3课时 一次函数的实际应用
知识点1 根据实际问题列一次函数关系式
1．［跨学科·物理］在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R(单位：Ω)与温度t(单位：℃)之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表：
t(℃) 0 10 20 30 40
R(Ω) 5 5.08 5.16 5.24 5.32
则R与t之间的关系式为( B )
A．R＝0.08t＋5 B．R＝0.008t＋5
C．R＝10t＋5 D．R＝0.08t－5
知识点2 最优方案的选择
2．某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/min；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/min．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x min，选择方案A比方案B优惠时，婷婷的爸爸一个月通话时间可能为( D )
A．100 min B．150 min
C．200 min D．250 min
3．因原材料涨价，某厂决定对产品进行提价，现有三种方案：方案一：第一次提价10%，第二次提价30%；方案二：第一次提价30%，第二次提价10%；方案三：第一、二次提价均为20%．三种方案提价最多的是方案 三 ．
知识点3 利用一次函数解决实际其他问题
4．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度y(℃)与加热时间x(min)满足一次函数关系，如表记录了实验中温度y(℃)和时间x(min)变化的部分数据．则加热18 min时水的温度是( D )
时间x/min … 6 10 15 …
温度y/℃ … 33 45 60 …
A．64 ℃ B．66 ℃ C．68 ℃ D．69 ℃
5．我县种植甲、乙两种火龙果共100亩．根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则我县在此项目中获得的最大利润是 125 万元．(利润＝销售额－种植成本)
6．西苑、竹林两个水站分别存水600 t、1 400 t，东区、西区分别用水1 200 t、800 t，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/t、5元/t；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/t、6元/t，则总运费最少需要多少元？( C )
A．13 500 B．13 600
C．13 800 D．14 000
7．［情境题·中华优秀传统文化］端午节前，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( D )
A．乙队比甲队提前0.25 min到达终点
B．当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m
C．0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m
D．自1.5 min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m/min
8．元旦期间，某超市推出两种优惠方案．方案一：一次性购物价值超过100元但不超过300元，原价基础上一律打九折；方案二：一次性购物超过300元，原价基础上一律打八折．王老师购物后付款252元，则他所购物品的原价是 280或315 元．
9．［情境题·环境保护］在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳172 kg，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳110 kg．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买冷杉x棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为y kg．
(1)直接写出y与x的函数解析式；
(2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买才能使这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少千克二氧化碳？
解：(1)计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买冷杉x棵，则购买杨树(100－x)棵，依题意得y＝110x＋172×(100－x)＝－62x＋17 200．
(2)计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买冷杉x棵，则购买杨树(100－x)棵．依题意得100－x≤x，解得x≥，所以≤x≤100．由y＝－62x＋17 200，一次函数y随x的增大而减小，且x是整数，故当x＝67时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为－62×67＋17 200＝13 046(kg)，所以当购买67棵冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13 046 kg．
10．［新课标·中华优秀传统文化］茶为国饮，湖南是中国茶文化的发源地，茶文化的发展也带动了茶艺、茶具、茶服等相关产业的发展．在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进A，B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，则需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，则需要600元．
(1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价是第一次购进时进价的八折．已知销售一套A种茶具可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元，若茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6 240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设A种茶具每套进价为x元，B种茶具每套进价为y元．依题意得解得所以A种茶具每套进价为100元，B种茶具每套进价为75元．
(2)设再次购进A种茶具a套，则购进B种茶具(80－a)套．依题意得100(1＋8%)a＋75×80%(80－a)≤6 240，解得a≤30．设总利润为w元，依题意得w＝30a＋20(80－a)＝10a＋1 600．因为10＞0，w随a的增大而增大，又因为a≤30，所以当a＝30时，w最大＝30×10＋1 600＝1 900(元)，80－30＝50(套)．故再次购进A种茶具30套，B种茶具50套可使利润最大，最大利润为1 900元．
