13.1 三角形中的边角关系
第1课时 三角形中边的关系
知识点1 三角形的概念
1．三角形是( C )
A．连接任意三点组成的图形
B．三条线段首尾顺次相接所构成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形
D．以上说法均不对
2．观察下列图形，其中是三角形的是( B )
A B C D
知识点2 三角形按边分类
3．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示 等边 三角形．
知识点3 三角形三边之间的关系
4．以下列各组数为边，能组成三角形的是( B )
A．1，2，3 B．4，3，5
C．15，7，7 D．6，8，18
5．三角形中，其中两条边长分别为4 cm和 7 cm，则第三边c的长度的取值范围是 3 cm＜c＜11 cm ．
6．［易错题］已知等腰三角形的一边长为8 cm，另一边的长为9 cm，则该等腰三角形的周长为 25 cm或26 cm ．
7．将周长为12 cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是( D )
A B
C D
8．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 4 个．
9．［新课标·推理能力］用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB＝12，BC＝14，CD＝18，DA＝24，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为 32 ．
10．［新考向·新定义试题］若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a－b＞b－c(a为最长边，c为最短边)，则称它为“不均衡三角形”．例如：一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7－5＞5－4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② (填序号)；
①4 cm，2 cm，1 cm；②13 cm，18 cm，9 cm；③19 cm，20 cm，19 cm；④9 cm，8 cm，6 cm．
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x＋2，16，2x－6(x为整数)，求x的值．
解：分三种情况讨论：①当16＞2x＋2，即x＜7时，16－(2x＋2)＞2x＋2－(2x－6)，解得x＜3．因为2x－6＞0，所以x＞3，故不合题意．②当2x＋2＞16＞2x－6，即7＜x＜11时，2x＋2－16＞16－(2x－6)，解得x＞9，所以9＜x＜11．因为x为整数，所以x＝10．经检验，当x＝10时，可构成三角形．③当2x－6＞16，即x＞11时，2x＋2－(2x－6)＞2x－6－16，解得x＜15，所以11＜x＜15．因为x为整数，所以x＝12或13或14，都可以构成三角形．综上所述，x的值为10或12或13或14．
第2课时 三角形中角的关系
知识点1 三角形按角分类
1．［方程思想］在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是( D )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
第2题图 第3题图
3．如图，图中直角三角形共有 3 个．
知识点2 三角形内角和定理
4．在△ABC中，如果∠B－2∠C＝90°－∠C，那么△ABC是( C )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
5．将一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，点C，B，E在同一直线上，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为( A )
A．12° B．15° C．18° D．22°
第5题图 第6题图
6．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ 115° ．
7．如图所示，D为△ABC的BC边上一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，且∠1＋∠2＝180°，若∠3＝35°，求∠C的度数．
解：因为∠AGF＝∠ABC，所以GF∥BC，所以∠1＝∠3．因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2＋∠3＝180°，所以BF∥DE．因为DE⊥AC，所以BF⊥AC，所以∠BFC＝90°．在Rt△BCF中，∠C＝180°－90°－35°＝55°．
8．［易错题］如果一个三角形中有一个角的度数为88°，那么这个三角形是锐角三角形．以上说法 错误 (选填“正确”或“错误”)．
9．下列选项中，能判断△ABC是直角三角形的是( D )
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＋∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝40° D．∠A＝∠B＝∠C
10．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝38°，∠D＝16°，则∠ACB的度数为( C )
A．52° B．54° C．68° D．78°
第10题图 第11题图
11．［运算能力］将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则∠1，∠2，∠3三个角的数量关系是( C )
A．∠1＋∠3＝2∠2
B．∠1＋∠2＋∠3＝90°
C．∠2＋∠3＝∠1＋90°
D．∠2＋∠3－∠1＝45°
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A＋∠B＝106°，则∠FEC＝ 32 °．
13．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
(1)试说明DG∥BC的理由；
(2)如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
解：(1)因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠1＝∠BCD．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD，所以DG∥BC．
(2)因为EF⊥AB，所以∠BFE＝90°．因为∠B＝54°，所以∠1＝36°．因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠BCD＝∠1＝∠2＝36°．又因为BC∥DG，所以∠3＝∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝35°＋36°＝71°．
14．如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内一点C'上．
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度数；
(2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠C三者之间的数量关系．
解：(1)由折叠可知∠C'DE＝∠CDE，∠C'ED＝∠CED．因为∠1＝40°，所以∠C'DC＝140°，所以∠C'DE＝∠CDE＝70°．同理∠C'ED＝∠CED＝75°．在△CDE中，∠C＝180°－∠CDE－∠CED＝180°－70°－75°＝35°．
(2)∠C＝(∠1＋∠2)．
15．［新课标·推理能力］将一副三角尺的直角顶点重合，并按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
(1)①若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝110°，求∠DCE的度数；
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这一副三角尺是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数；若不存在，请说明理由．
解：(1)①因为∠DCE＝35°，∠ACD＝90°，所以∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝55°．因为∠BCE＝90°，所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝145°．
②因为∠ACB＝110°，∠ACD＝90°，所以∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝20°．因为∠BCE＝90°，所以∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝70°．
(2)∠ACB＋∠DCE＝180°．理由：因为∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，所以∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋∠BCE＝90°＋90°＝180°．
(3)存在．∠ACE的度数可能为30°或45°或120°或135°或165°．
第3课时 三角形中几条重要线段
知识点1 三角形的角平分线
1．在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图(其中C'是点C的对应点)，其中线段AD一定是△ABC的角平分线的是( C )
A B
C D
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝ 50 °．
第2题图 第4题图
知识点2 三角形的中线
3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( B )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
4．如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为28，且AB比AC长6，则△ACD的周长为 22 ．
知识点3 三角形的高线
5．如图，在△ABC中，BC边上的高是( B )
A．BE B．AF C．CD D．CF
6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)作图：在△BED中作出BD边上的高EF，BE边上的高DG；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？
解：(1)如图所示，EF，DG即为所求作．
(2)因为AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线，所以S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，所以S△BDE＝S△ABC．因为△ABC的面积为 40，BD＝5，所以S△BDE＝BD·EF＝×5·EF＝×40＝10，所以EF＝4，即△BED中BD边上的高EF为4．
7．［易错题］在△ABC中，若BC边上的高AD＝8 cm，BD＝15 cm，CD＝6 cm，则△ABC的面积为 84或36 cm2．
8．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是( B )
A．AM＞AN B．AM≥AN
C．AM＜AN D．AM≤AN
9．如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，则图中阴影部分的面积为 6 ．
10．［分类讨论思想］△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9 cm和12 cm两部分，则此三角形的腰长是 8 cm或6 cm ．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
(1)若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
(2)若AD是△ABE的中线，AB＝2 cm，CE＝3 cm，△ABD的周长比△ADC周长小5 cm，求AC的长．
解：(1)因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°．因为∠B＝70°，∠C＝30°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°．因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝40°，所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°．
(2)因为AD是△ABE的中线，所以BD＝DE．因为CE＝3 cm，所以CD－DE＝CD－BD＝3 cm．因为△ABD的周长比△ADC周长小5 cm，所以(AC＋CD＋AD)－(AB＋BD＋AD)＝5 cm，所以AC＋CD＋AD－AB－BD－AD＝5 cm，所以AC－AB＝2 cm，所以AC＝4 cm．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β(β＞α)，试用含α，β的代数式表示出∠E的度数．
解：(1)因为∠B＝35°，∠ACB＝85°，所以∠BAC＝60°．因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝30°，所以∠ADC＝65°，所以∠E＝25°．
(2)如图，因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．因为∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠B＝α，∠ACB＝β，所以∠CAB＝180°－α－β，所以∠1＝(180°－α－β)，所以∠3＝180°－∠ACD－∠2＝180°－β－(180°－α－β)＝90°＋α－β．因为PE⊥AD，所以∠DPE＝90°，所以∠E＝90°－∠3＝90°－（90°＋α－β）＝．
13．［运算能力］如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O．
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为多少？
(2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；
(3)若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．
解：(1)因为△BCD的周长为BC＋CD＋BD，△ACD的周长为AC＋CD＋AD，所以△BCD与△ACD的周长差为BC－AC＋BD－AD．因为CD是△ABC的中线，所以AD＝BD．又因为BC＝3，AC＝2，所以BC－AC＋BD－AD＝3－2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1．
(2)因为BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，所以∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°．因为CD是△ABC的高，所以∠CDB＝90°，所以∠DCB＝90°－∠ABC＝90°－62°＝28°，所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180－31°－28°＝121°．
(3)在△ABC中，∠A＝78°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝102°．因为BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，所以∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×102°＝51°，所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－51°＝129°．13.1 三角形中的边角关系
第1课时 三角形中边的关系
知识点1 三角形的概念
1．三角形是( )
A．连接任意三点组成的图形
B．三条线段首尾顺次相接所构成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形
D．以上说法均不对
2．观察下列图形，其中是三角形的是( )
A B C D
知识点2 三角形按边分类
3．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示 三角形．
知识点3 三角形三边之间的关系
4．以下列各组数为边，能组成三角形的是( )
A．1，2，3 B．4，3，5
C．15，7，7 D．6，8，18
5．三角形中，其中两条边长分别为4 cm和 7 cm，则第三边c的长度的取值范围是 ．
6．［易错题］已知等腰三角形的一边长为8 cm，另一边的长为9 cm，则该等腰三角形的周长为 ．
7．将周长为12 cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是( )
A B
C D
8．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 个．
9．［新课标·推理能力］用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB＝12，BC＝14，CD＝18，DA＝24，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为 ．
10．［新考向·新定义试题］若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a－b＞b－c(a为最长边，c为最短边)，则称它为“不均衡三角形”．例如：一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7－5＞5－4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 (填序号)；
①4 cm，2 cm，1 cm；②13 cm，18 cm，9 cm；③19 cm，20 cm，19 cm；④9 cm，8 cm，6 cm．
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x＋2，16，2x－6(x为整数)，求x的值．
第2课时 三角形中角的关系
知识点1 三角形按角分类
1．［方程思想］在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
第2题图 第3题图
3．如图，图中直角三角形共有 个．
知识点2 三角形内角和定理
4．在△ABC中，如果∠B－2∠C＝90°－∠C，那么△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
5．将一副三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，点C，B，E在同一直线上，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为( )
A．12° B．15° C．18° D．22°
第5题图 第6题图
6．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
7．如图所示，D为△ABC的BC边上一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，且∠1＋∠2＝180°，若∠3＝35°，求∠C的度数．
8．［易错题］如果一个三角形中有一个角的度数为88°，那么这个三角形是锐角三角形．以上说法 (选填“正确”或“错误”)．
9．下列选项中，能判断△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＋∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝40° D．∠A＝∠B＝∠C
10．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝38°，∠D＝16°，则∠ACB的度数为( )
A．52° B．54° C．68° D．78°
第10题图 第11题图
11．［运算能力］将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则∠1，∠2，∠3三个角的数量关系是( )
A．∠1＋∠3＝2∠2
B．∠1＋∠2＋∠3＝90°
C．∠2＋∠3＝∠1＋90°
D．∠2＋∠3－∠1＝45°
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A＋∠B＝106°，则∠FEC＝ °．
13．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
(1)试说明DG∥BC的理由；
(2)如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
14．如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内一点C'上．
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度数；
(2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠C三者之间的数量关系．
15．［新课标·推理能力］将一副三角尺的直角顶点重合，并按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
(1)①若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝110°，求∠DCE的度数；
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这一副三角尺是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数；若不存在，请说明理由．
第3课时 三角形中几条重要线段
知识点1 三角形的角平分线
1．在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图(其中C'是点C的对应点)，其中线段AD一定是△ABC的角平分线的是( )
A B
C D
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝ °．
第2题图 第4题图
知识点2 三角形的中线
3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
4．如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为28，且AB比AC长6，则△ACD的周长为 ．
知识点3 三角形的高线
5．如图，在△ABC中，BC边上的高是( )
A．BE B．AF C．CD D．CF
6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)作图：在△BED中作出BD边上的高EF，BE边上的高DG；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？
7．［易错题］在△ABC中，若BC边上的高AD＝8 cm，BD＝15 cm，CD＝6 cm，则△ABC的面积为 cm2．
8．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是( )
A．AM＞AN B．AM≥AN
C．AM＜AN D．AM≤AN
9．如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
10．［分类讨论思想］△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9 cm和12 cm两部分，则此三角形的腰长是 ．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
(1)若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
(2)若AD是△ABE的中线，AB＝2 cm，CE＝3 cm，△ABD的周长比△ADC周长小5 cm，求AC的长．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β(β＞α)，试用含α，β的代数式表示出∠E的度数．
13．［运算能力］如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O．
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为多少？
(2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；
(3)若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．
