13.2 命题与证明
第1课时 命 题
知识点1 命题的定义及组成
1．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( D )
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
知识点2 真命题、假命题、反例
2．下列命题中，是真命题的是( D )
A．＝±3
B．的平方根为
C．0.49的平方根为0.7
D．的相反数为－
3．下列命题中，假命题是( B )
A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．同旁内角互补
C．无限不循环小数是无理数
D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应
4．下列选项中m的值，可以作为命题“m2＞4，则m＞2”是假命题的反例是( C )
A．m＝3 B．m＝2
C．m＝－3 D．m＝－2
知识点3 原命题与逆命题
5．下列命题的逆命题一定成立的是( D )
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝3，则x2＝9．
A．①②③ B．①④
C．②④ D．②
6．［易错题］把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)等角的补角相等：如果 两个角相等 ，那么 这两个角的补角相等 ；
(2)异号两数相加和为0：如果 两个数的符号相反 ，那么 这两个数的和为0 ．
7．下列语句中，不是命题的是( C )
A．如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数
B．同旁内角互补
C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
8．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是( B )
A．该命题为假命题
B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题
D．该命题没有逆命题
9．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 真 (选填“真”或“假”)命题．
10．［新考向·新定义试题］对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a－b＋ab．
例如：2 5＝2－5＋2×5＝7．
(1)求3 (－1)的值；
(2)若(－4) x＝6，求x的值；
(3)试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明．
解：(1)3 (－1)＝3－(－1)＋3×(－1)＝3＋1－3＝1．
(2)(－4) x＝6，则－4－x－4x＝6，解得x＝－2．
(3)这种特别的运算“ ”不具有交换律，例如：2 5＝2－5＋2×5＝7，5 2＝5－2＋5×2＝13，所以2 5≠5 2，所以这种特别的运算“ ”不具有交换律．
第2课时 证 明
知识点1 基本事实与定理
1．下面关于“证明”的说法正确的是( C )
A．“证明”是一种命题
B．“证明”是一种定理
C．“证明”是一种推理过程
D．“证明”就是举例说明
2．下列说法中错误的是( B )
A．定理都是命题
B．命题都是定理
C．基本事实都是真命题
D．定理的逆命题可能是假命题
知识点2 逻辑推理
3．下列推理中，错误的是( D )
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
4．如图，有下列三个论断：①∠AME＝∠CNF；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C．请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的真假．
答案不唯一，如命题：如果∠AME＝∠CNF，∠B＝∠D，那么∠A＝∠C．
证明：∵∠AME＝∠CNF，∠AME＝∠CMD，∴∠CMD＝∠CNF，∴BF∥ED，∴∠BFC＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠BFC，∴AB∥CD．∴∠A＝∠C，∴该命题是真命题．
5．［易错题］对命题、定理、基本事实的关系有如下说法：
①基本事实是真命题；②定理是由定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有 2 个．
6．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，证明∠AOB＝∠COD的理论依据是( C )
A．垂直的定义
B．同角的补角相等
C．同角的余角相等
D．角平分线的定义
7．［新考向·过程性学习试题］佳伊在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系，并证明你的结论．
(1)佳伊阅读题目后，没有找到数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B，∠C的度数求∠EAD的度数，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 a 30
上表中a＝ 20 ；
(2)猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系，并证明；
(3)佳伊突发奇想，将B，C两个字母的位置交换，如图2，∠B＞∠C，AE平分∠BAC，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝80°，∠C＝20°时，求∠F的度数．
图1 图2
(2)猜想：∠EAD＝(∠C－∠B)．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－∠C＝90°－∠C．∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°－∠B－∠C，∴∠EAC＝∠BAC＝90°－∠B－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝90°－∠B－∠C－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．
(3)解：如图，过点A作AH⊥CD于点H．∵AH⊥CD，FD⊥CD，∴AH∥DF，∴∠F＝∠EAH，由(2)可知∠EAH＝(∠ABC－∠C)，∴∠F＝(∠ABC－∠C)＝×(80°－20°)＝30°．
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论
知识点1 三角形内角和定理的证明
1．请你借助下图作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整．
已知：如图△ABC，过点A作直线DE∥BC．
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
证明：∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C．∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，即三角形的内角的和等于180°．
2．“三角形内角和定理”的证明可以用折叠的方法，把三角形按下图所示的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论．
证明：∵△DEF由△AEF折叠而得，∴∠EDF＝∠EAF，同理∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C．∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴三角形内角和等于180°．
知识点2 直角三角形的两锐角互余
3．如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝32°，则∠MED的度数是( B )
A．50° B．58° C．62° D．68°
第3题图 第4题图
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝27°，则∠CDE＝ 72° ．
知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶4∶6
D．∠A＝∠B＝3∠C
6．如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由：∵ED⊥AB，∴∠1＋∠A＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形．
7．［易错题］直角三角形的三个内角之比为2∶m∶5，则m的值是 3或7 ．
8．直角三角形的两锐角分别为x，y，则y关于x的函数表达式是( C )
A．y＝90°－x
B．y＝90°－x(x＞0°)
C．y＝90°－x(0°＜x＜90°)
D．y＝90°－x(0°＜x＜180°)
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB＝90°)，沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若∠ACB'＝72°，则∠ACD的度数为( B )
A．12°
B．9°
C．10°
D．8°
10．［分类讨论思想］如图，已知点P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动且不与点O重合)，∠AON＝30°，当∠A＝ 60°或90° 时，△AOP为直角三角形．
11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠A＝40°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠EDF的度数．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＋∠C＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∵在△BED和△CFD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＋2∠2＋∠C＋2∠3＝180°＋180°＝360°，∴(∠B＋∠C)＋2(∠2＋∠3)＝360°，∴2(∠2＋∠3)＝360°－140°＝220°，∴∠2＋∠3＝110°．∵∠EDF＋∠2＋∠3＝180°，∴∠EDF＝180°－(∠2＋∠3)＝180°－110°＝70°．
12．［新考向·新定义试题］在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°，75°，25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(规定0°＜∠OAC＜90°)．
(1)∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 (选填“是”或“不是”)“灵动三角形”；
(2)若∠BAC＝70°，则△AOC 是 (选填“是”或“不是”)“灵动三角形”；
(3)当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
解：①∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°．
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
第4课时 三角形的外角
知识点1 三角形外角的定义
1．图中△ABC的外角是( C )
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
第1题图 第2题图
2．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是( D )
A．∠BCF B．∠CBE
C．∠DBC D．∠BDF
知识点2 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
3．如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F，若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为( B )
A．45° B．50° C．55° D．60°
第3题图 第4题图
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝( A )
A．60° B．80° C．70° D．50°
知识点3 三角形内、外角的关系
5．如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1 ＋∠2＋∠3的度数为( A )
A．73° B．63° C．83° D．93°
第5题图 第6题图
6．［易错题］如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是( C )
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
7．如图，有一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )
A．120° B．180° C．240° D．300°
第7题图 第8题图
8．一个零件的形状如图所示，按设计∠A等于90°，∠B，∠D分别是20°和30°．现有一该产品请你检验，若你量得∠BCD不等于 140 °时，可断定这个零件不合格．
9．［新考法·图形讨论法］如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．猜想∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．
∠A＝2∠D．证明：∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∴∠ACD＋∠ECD＝∠A＋∠ABD＋∠DBC．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠ECD，∴2∠ECD＝∠A＋2∠DBC，即∠A＝2(∠ECD－∠DBC)．又∵∠D＝∠ECD－∠DBC，∴∠A＝2∠D． 13.2 命题与证明
第1课时 命 题
知识点1 命题的定义及组成
1．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
知识点2 真命题、假命题、反例
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．＝±3
B．的平方根为
C．0.49的平方根为0.7
D．的相反数为－
3．下列命题中，假命题是( )
A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．同旁内角互补
C．无限不循环小数是无理数
D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应
4．下列选项中m的值，可以作为命题“m2＞4，则m＞2”是假命题的反例是( )
A．m＝3 B．m＝2
C．m＝－3 D．m＝－2
知识点3 原命题与逆命题
5．下列命题的逆命题一定成立的是( )
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝3，则x2＝9．
A．①②③ B．①④
C．②④ D．②
6．［易错题］把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)等角的补角相等：如果 ，那么 ；
(2)异号两数相加和为0：如果 ，那么 ．
7．下列语句中，不是命题的是( )
A．如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数
B．同旁内角互补
C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
8．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是( )
A．该命题为假命题
B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题
D．该命题没有逆命题
9．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 (选填“真”或“假”)命题．
10．［新考向·新定义试题］对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a－b＋ab．
例如：2 5＝2－5＋2×5＝7．
(1)求3 (－1)的值；
(2)若(－4) x＝6，求x的值；
(3)试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明．
第2课时 证 明
知识点1 基本事实与定理
1．下面关于“证明”的说法正确的是( )
A．“证明”是一种命题
B．“证明”是一种定理
C．“证明”是一种推理过程
D．“证明”就是举例说明
2．下列说法中错误的是( )
A．定理都是命题
B．命题都是定理
C．基本事实都是真命题
D．定理的逆命题可能是假命题
知识点2 逻辑推理
3．下列推理中，错误的是( )
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
4．如图，有下列三个论断：①∠AME＝∠CNF；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C．请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的真假．
5．［易错题］对命题、定理、基本事实的关系有如下说法：
①基本事实是真命题；②定理是由定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有 个．
6．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，证明∠AOB＝∠COD的理论依据是( )
A．垂直的定义
B．同角的补角相等
C．同角的余角相等
D．角平分线的定义
7．［新考向·过程性学习试题］佳伊在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系，并证明你的结论．
(1)佳伊阅读题目后，没有找到数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B，∠C的度数求∠EAD的度数，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 a 30
上表中a＝ ；
(2)猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系，并证明；
(3)佳伊突发奇想，将B，C两个字母的位置交换，如图2，∠B＞∠C，AE平分∠BAC，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝80°，∠C＝20°时，求∠F的度数．
图1 图2
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论
知识点1 三角形内角和定理的证明
1．请你借助下图作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整．
已知：如图△ABC，过点A作直线DE∥BC．
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
2．“三角形内角和定理”的证明可以用折叠的方法，把三角形按下图所示的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论．
知识点2 直角三角形的两锐角互余
3．如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝32°，则∠MED的度数是( )
A．50° B．58° C．62° D．68°
第3题图 第4题图
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝27°，则∠CDE＝ ．
知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶4∶6
D．∠A＝∠B＝3∠C
6．如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
7．［易错题］直角三角形的三个内角之比为2∶m∶5，则m的值是 ．
8．直角三角形的两锐角分别为x，y，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝90°－x
B．y＝90°－x(x＞0°)
C．y＝90°－x(0°＜x＜90°)
D．y＝90°－x(0°＜x＜180°)
9．如图，将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB＝90°)，沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若∠ACB'＝72°，则∠ACD的度数为( )
A．12°
B．9°
C．10°
D．8°
10．［分类讨论思想］如图，已知点P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动且不与点O重合)，∠AON＝30°，当∠A＝ 时，△AOP为直角三角形．
11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠A＝40°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠EDF的度数．
12．［新考向·新定义试题］在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°，75°，25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(规定0°＜∠OAC＜90°)．
(1)∠ABO的度数为 °，△AOB (选填“是”或“不是”)“灵动三角形”；
(2)若∠BAC＝70°，则△AOC (选填“是”或“不是”)“灵动三角形”；
(3)当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
第4课时 三角形的外角
知识点1 三角形外角的定义
1．图中△ABC的外角是( )
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
第1题图 第2题图
2．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是( )
A．∠BCF B．∠CBE
C．∠DBC D．∠BDF
知识点2 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
3．如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F，若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
第3题图 第4题图
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝( )
A．60° B．80° C．70° D．50°
知识点3 三角形内、外角的关系
5．如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1 ＋∠2＋∠3的度数为( )
A．73° B．63° C．83° D．93°
第5题图 第6题图
6．［易错题］如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是( )
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
7．如图，有一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
第7题图 第8题图
8．一个零件的形状如图所示，按设计∠A等于90°，∠B，∠D分别是20°和30°．现有一该产品请你检验，若你量得∠BCD不等于 °时，可断定这个零件不合格．
9．［新考法·图形讨论法］如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．猜想∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．
