14.1 全等三角形及其性质
知识点1 全等形的概念
1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是( B )
① ② ③ ④
A．①和② B．①和③
C．②和④ D．③和④
2．从同一张底片上冲出来的两张五寸照片 是 全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片 不是 全等图形．(均选填“是”或“不是” )
知识点2 全等三角形的对应边相等
3．如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2y－1，若这两个三角形全等，则x＋y＝( D )
A．8 B．或6 C．10 D．或6
4．如图，将△ABC平移后得到△DEF，则△ABC≌ △DEF ，若BE＝4，AE＝1，AC＝6，则DE的长是 5 ，若△ABC的周长为17，则EF＝ 6 ．
第4题图 第5题图
知识点3 全等三角形的对应角相等
5．如图，△ABC≌△BAD，AD与BC相交于点O．若∠C＝30°，∠DBA＝100°，则∠AOB＝ 80 °．
6．［易错题］如图，△AOC≌△BOD，点A与点B，点C与点D是对应顶点．下列结论错误的是( C )
A．∠A与∠B是对应角
B．∠AOC与∠BOD是对应角
C．OC与OB是对应边
D．AC与BD是对应边
7．如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是( B )
A B C D
第7题图 第8题图
8．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是( D )
A．90° B．120° C．135° D．180°
9．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为( A )
A．25° B．30° C．35° D．65°
10．［情境题·科学研究］为了庆祝神舟十七号的成功发射，学校组织了一次模型制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8 cm，AD＝3 cm，则DC＝ 5 cm．
11．［分类讨论思想］如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/s沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t s(t＞0)，△DEB与△BCA全等，则t的值为 2或6或8 s．
12．如图所示，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，求∠1的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝105°，∠D＝∠B＝30°，∴∠ACF＝180°－∠ACB＝180°－105°＝75°，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠D＝∠CAD＋∠ACF，∴∠1＋30°＝15°＋75°，解得∠1＝60°．
13．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交ED于点G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE．∵∠EAB＝130°，∴∠DAE＋∠CAD＋∠BAC＝130°．∵∠CAD＝30°，∴∠BAC＝×(130°－30°)＝50°，∴∠BAF＝∠BAC＋∠CAD＝80°，∴∠DFB＝∠BAF＋∠B＝80°＋25°＝105°．∵∠DFB＝∠D＋∠DGB，∴∠DGB＝105°－25°＝80°．
14．［方程思想］如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上(不与点B，C重合)，DE与AB交于点F．
(1)若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数；
(2)若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和；
(3)已知∠C＝∠AEC＝70°，若△ABC是锐角三角形，求∠B的取值范围．
解：(1)∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠BAD．∵∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＋∠BAD＝∠CAD－∠BAE＝80°，∴∠CAE＝∠BAD＝40°．
(2)∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE，∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE＋CE＝9，∴△ADF与△BEF的周长和为AD＋DF＋AF＋BF＋EF＋BE＝AD＋(DF＋EF)＋(AF＋BF)＋BE＝AD＋DE＋AB＋BE＝10＋9＋10＋4.5＝33.5．
(3)设∠B＝x°．∵∠C＝∠AEC＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝110°－x°，∠ACE＞∠B．∵△ABC是锐角三角形，∴∠B＜90°，∠BAC＜90°，∴
解得20°＜x°＜70°，即20°＜∠B＜70°． 14.1 全等三角形及其性质
知识点1 全等形的概念
1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是( )
① ② ③ ④
A．①和② B．①和③
C．②和④ D．③和④
2．从同一张底片上冲出来的两张五寸照片 全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片 全等图形．(均选填“是”或“不是” )
知识点2 全等三角形的对应边相等
3．如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2y－1，若这两个三角形全等，则x＋y＝( )
A．8 B．或6 C．10 D．或6
4．如图，将△ABC平移后得到△DEF，则△ABC≌ ，若BE＝4，AE＝1，AC＝6，则DE的长是 ，若△ABC的周长为17，则EF＝ ．
第4题图 第5题图
知识点3 全等三角形的对应角相等
5．如图，△ABC≌△BAD，AD与BC相交于点O．若∠C＝30°，∠DBA＝100°，则∠AOB＝ °．
6．［易错题］如图，△AOC≌△BOD，点A与点B，点C与点D是对应顶点．下列结论错误的是( )
A．∠A与∠B是对应角
B．∠AOC与∠BOD是对应角
C．OC与OB是对应边
D．AC与BD是对应边
7．如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是( )
A B C D
第7题图 第8题图
8．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是( )
A．90° B．120° C．135° D．180°
9．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．65°
10．［情境题·科学研究］为了庆祝神舟十七号的成功发射，学校组织了一次模型制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8 cm，AD＝3 cm，则DC＝ cm．
11．［分类讨论思想］如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/s沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t s(t＞0)，△DEB与△BCA全等，则t的值为 s．
12．如图所示，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，求∠1的度数．
13．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交ED于点G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数．
14．［方程思想］如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上(不与点B，C重合)，DE与AB交于点F．
(1)若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数；
(2)若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和；
(3)已知∠C＝∠AEC＝70°，若△ABC是锐角三角形，求∠B的取值范围．
