14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法 边角边
1．如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( )
A．AB＝BC B．EC＝BF
C．∠A＝∠D D．AB＝CD
第1题图 第2题图
2．如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
C．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC
知识点2 运用“边角边”解决与角度有关的问题
3．如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD＝65°，∠B＝110°，求∠BAE的度数．
知识点3 运用“边角边”解决与线段有关的问题
4．如图，已知O是AB中点，OC＝OD，∠AOD＝∠BOC，求证：AC＝BD．
5．［易错题］如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件： ，使△ABC≌△DEC．
第5题图 第6题图
6．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为( )
A．44° B．66° C．96° D．92°
7．如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AE的中点，也是BD的中点，图2表示的是小明从D点走到E点时路程s(m)与时间t(min)的关系，已知小明从D点到E点走了3 min，则A，B间的距离是( )
图1 图2
A．100 m B．150 m C．300 m D．450 m
8．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 ．
9．如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
10．如图，BD，CE都是△ABC的高，在BD上截取BF，使BF＝AC，在CE的延长线上取一点C，使CG＝AB．
(1)试探索线段AF和AG的数量关系，并说明理由；
(2)试探索AF和AG有何特殊的位置关系，试证明你的结论．
11．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
12．［新考法·探究动点位置法］如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为多少时，△ABP与△PCQ全等？
第2课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法——角边角
1．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则( )
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
第1题图 第2题图
2．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 ．(只需写出一种情况)
知识点2 运用“角边角”解决与角度有关的问题
3．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB交EF于点D．AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，∠EAB＝∠CAF，∠EAF＝80°，则∠C＝( )
A．40° B．60° C．50° D．70°
第3题图 第4题图
知识点3 运用“角边角”解决与线段有关的问题
4．已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 cm．
5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：AE＋BF＝BC．
6．［易错题］如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
7．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH＋BD＝AB．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于点M，交CN于点N．若MB＝6 cm，CN＝2 cm，则AB＝ ．
9．［情境题·现实生活］子晗同学沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语AB，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，AC与BD相交于点P，PD⊥CD，垂足为点D，PD＝PB．已知CD＝16 m，则标语AB的长度为 m．
10．已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若∠ABC＝45°，求证：
(1)△BDF≌△ADC；
(2)FG＋DC＝AD．
11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB．
(1)求证：△AED≌△CEF；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点P．
(1)求∠APC的度数；
(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
第3课时 三边分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法——边边边
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需增加的一个条件可以是( )
A．AB＝BC B．DC＝BC
C．AB＝CD D．以上都不对
第2题图 第3题图
3．如图，如果D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 ．
知识点2 三角形的稳定性
4．［情境题·现实生活］平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ．
第4题图 第5题图
知识点3 运用“边边边”解决与角度有关的问题
5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，EF＝FD，AF＝CD，AE＝CF，则∠C的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
知识点4 运用“边边边”解决与线段有关的问题
7．如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，其中△ABC的周长为24 cm，CF＝7 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 cm．
第7题图 第8题图
8．［易错题］如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还需要添加的一个条件可以是( )
A．BD＝DE B．BD＝CE
C．DE＝CE D．以上都不对
9．［新课标·中华优秀传统文化］三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是( )
A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD
B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
10．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠ECD＝150°，则∠B的度数是 ．
第10题图 第11题图
11．如图，AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF面积的比值是 ．
12．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC．求证：EC＝FC．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：△DAE≌△CFE；
(2)若AB＝BC＋AD，求证：BE⊥AF．
14．如图，已知EM是△ADE的中线，B，C是AD边上的两点，且M恰好是线段BC的中点，AE＝BF，EC＝FD，连接ED．
(1)求证：△AEC≌△BFD；
(2)若∠EDA＋∠DBF＝∠AED，AE＝6，ED＝8，EM＝5，画出△EMD中EM边上的高DH，并求DH的长度．
第4课时 其他判定两个三角形全等的条件
知识点1 三角形全等的判定方法——角角边
1．如图，O是AB的中点，要通过角角边(AAS)来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是( )
A．∠A＝∠B B．AC＝BD
C．∠C＝∠D D．CO＝DO
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 ．
知识点2 运用“角角边”解决与角度有关的问题
3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠BAD＝∠CAE．
知识点3 运用“角角边”解决与线段有关的问题
4．如图所示，BC，AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
第4题图 第6题图
5．［易错题］根据下列条件不能画出唯一的△ABC的是( )
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7
B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，∠B＝35°，∠C＝80°
D．AB＝5，AC＝4，∠C＝25°
6．［一线三垂直模型］小明同学课间不小心将等腰三角板掉到两面墙之间(如图所示)．若每块砌墙砖块的厚度a＝10 cm，则DE的长为( )
A．50 cm B．60 cm C．70 cm D．80 cm
7．如图，已知CE⊥CD，AD⊥AC，∠CBE＝90°，DC＝EC，若AC＝14，AD＝6，则AB的长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
第7题图 第8题图
8．［分类讨论思想］如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7 cm，BC＝3 cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 s时，CF＝AB．
9．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别是F，G，H．已知EF＝6，BG＝3，DH＝4，则图中实线所围成的图形(阴影部分)的面积S＝ ．
10．如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作及BF⊥AC于F．
(1)若∠ABF＝60°，则∠ADE＝ ；
(2)写出线段BF，EF，DE三者间的数量关系： ．
11．如图，直线y＝x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，直线y＝－x＋b经过点B，交x轴于点C．
(1)求b的值和OA，OC的长；
(2)在BC延长线上取点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥x轴交AB的延长线于点E，记△ABC的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值．
12．［新考向·实践探究试题］八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼AB的高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼AB的高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 (1)在教学楼外，选定一点C；(2)测量CA与地面夹角∠ACB的度数；(3)测量BC的长度；(4)放置一根与BC长度相同的标杆DE，DE垂直于地面(B，C，D在同一直线上)；(5)测量CE与地面夹角∠ECD的度数；(6)测量CD的长度
测量数据 ∠ACB＝68.2°，∠ECD＝21.8°， BC＝DE＝2.5 m，CD＝12 m
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼AB的高度．
第5课时 两个直角三角形全等的判定
知识点1 三角形全等的判定方法 斜边、直角边
1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．斜边和直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．锐角和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是( )
A．∠CAB＝∠DBA B．AB＝BD
C．BC＝AD D．∠ABC＝∠BAD
第2题图 第3题图
知识点2 运用“斜边、直角边”解决与角度有关的问题
3．如图，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DCB＝40°，则∠ACB的度数为( )
A．40° B．80° C．100° D．60°
4．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
第4题图 第5题图
知识点3 运用“斜边、直角边”解决与线段有关的问题
5．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是( )
A．7 B．5 C．3 D．2
6．如图，AB＝AC，AD＝CE，∠D＝∠E＝90°，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝ cm．
第6题图 第7题图
7．［易错题］如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
8．如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，连接EF与AD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A．OE＝OF B．AE＝AF
C．OD＝OF D．∠EAD＝∠FAD
第8题图 第9题图
9．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有( )
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为( )
A．7 B．6 C．4 D．2
第10题图 第11题图
11．如图，在长方形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD，DF，则图中全等的直角三角形共有 对．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC．
(1)求证：DE＝BC；
(2)若BF＝2，CF＝1，求DF的长．
13．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．
(1)求证：AF＝DE；
(2)若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
14．［新课标·推理能力］如图1，C，F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
(1)求证：EF＝BC；
(2)当C，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
图1 图2
第6课时 全等三角形的性质与判定的综合应用
知识点1 运用三角形全等解决角度问题
1．如图，点D在线段BC上，若∠ACE＝180°－∠ABC－2x°，且BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，则下列角中，大小为x°的角是( )
A．∠EFC B．∠ABC C．∠FDC D．∠DFC
第1题图 第2题图
2．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，BE＝AC，∠BAC＝70°，则∠DBE大小为 °．
知识点2 运用三角形全等解决线段问题
3．如图，△ABC的两条高AD和CE交于点F．已知AB＝7，EF＝EB＝3，则CF的长为( )
A．1 B．2 C． D．
第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝ ．
知识点3 全等三角形的实际应用
5．［情境题·现实生活］小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( )
A．1 m B．1.6 m C．1.8 m D．1.4 m
6．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6 m，DE＝8 m，AD＝4 m，则BF等于( )
A．18 m B．16 m C．12 m D．10 m
第6题图 第7题图
7．如图，大树AB与大树CD相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED，已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，小华行走到点E的时间是( )
A．13 s B．8 s C．6 s D．5 s
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是(2，0)，(4，2)，若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的点P的坐标是( )
A．(4，－2)
B．(4，－2)或(－2，－2)
C．(－4，－2)
D．(4，－2)或(－4，－2)
9．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：
(1)DF∥CE；
(2)DE＝CF．
10．［跨学科·物理］小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好互相垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8 cm，OA＝17 cm．
(1)求证：∠COE＝∠B；
(2)求AE的长．
11．［新考向·实践探究试题］问题提出：
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫偏等积三角形，如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，点P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题探究：
(2)如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长度；
问题解决：
(3)如图3，四边形ABED是一片绿色草坪，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°(0°＜∠BCE＜90°)，则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．
图1 图2 图314.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法——边角边
1．如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( D )
A．AB＝BC B．EC＝BF
C．∠A＝∠D D．AB＝CD
第1题图 第2题图
2．如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是( C )
A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
C．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC
知识点2 运用“边角边”解决与角度有关的问题
3．如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD＝65°，∠B＝110°，求∠BAE的度数．
解：(1)添加一个角方面的条件为∠BAC＝∠EDA，使得△ABC≌△DEA．理由：在△ABC和△DEA中，
∴△ABC≌△DEA(SAS)．
(2)在(1)的条件下，∵△ABC≌△DEA，∴∠ACB＝∠DAE．∵∠CAD＝65°，∠B＝110°，∴∠ACB＋∠BAC＝180°－∠B＝70°，∴∠DAE＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝70°，∴∠BAE＝∠DAE＋∠BAC＋∠CAD＝70°＋65°＝135°．
知识点3 运用“边角边”解决与线段有关的问题
4．如图，已知O是AB中点，OC＝OD，∠AOD＝∠BOC，求证：AC＝BD．
证明：∵O是AB的中点，∴OA＝OB．∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＋∠DOC＝∠BOC＋∠DOC，即∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC＝BD．
5．［易错题］如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件： CB＝CE ，使△ABC≌△DEC．
第5题图 第6题图
6．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为( C )
A．44° B．66° C．96° D．92°
7．如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AE的中点，也是BD的中点，图2表示的是小明从D点走到E点时路程s(m)与时间t(min)的关系，已知小明从D点到E点走了3 min，则A，B间的距离是( D )
图1 图2
A．100 m B．150 m C．300 m D．450 m
8．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 82° ．
9．如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
(1)证明：在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
(2)解：由(1)得△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠AEC＝∠ACE．∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°，∴∠ACE＝60°．
10．如图，BD，CE都是△ABC的高，在BD上截取BF，使BF＝AC，在CE的延长线上取一点C，使CG＝AB．
(1)试探索线段AF和AG的数量关系，并说明理由；
(2)试探索AF和AG有何特殊的位置关系，试证明你的结论．
(1)解：AF＝AG．理由：∵∠ABF＋∠BAC＝∠ACE＋∠BAC＝90°，∴∠ABF＝∠ACE．在△ABF和△GCA 中，
∴△ABF≌△GCA(SAS)，∴AF＝AG．
(2)AF⊥AG．证明：由(1)得△ABF≌△GCA，∴∠BAF＝∠G．∵CG⊥AB，∴∠G＋∠GAE＝90°，∴∠GAE＋∠BAF＝90°，即∠GAF＝90°，∴AF⊥AG．
11．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD＋∠ACD＝∠CAD＋∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA．在△AEB和△FAC中，∴△AEB≌△FAC(SAS)，∴AE＝FA．
(2)解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF．∵∠E＋∠EAG＝90°，∴∠CAF＋∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．
12．［新考法·探究动点位置法］如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为多少时，△ABP与△PCQ全等？
解：设点P的运动时间为t s．①易知∠B＝∠C，当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．∵AB＝8 cm，∴PC＝8 cm，∴CQ＝BP＝12－8＝4(cm)，∴2t＝4，∴t＝2．则v×2＝4，∴v＝2．②易知∠B＝∠C，当AB＝QC，BP＝CP时，△ABP≌△QCP．∵BP＝CP，∴2t＝6，∴t＝3．则3v＝8，∴v＝．综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PCQ全等．
第2课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法——角边角
1．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则( D )
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
第1题图 第2题图
2．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 ∠A＝∠D(答案不唯一) ．(只需写出一种情况)
知识点2 运用“角边角”解决与角度有关的问题
3．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB交EF于点D．AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，∠EAB＝∠CAF，∠EAF＝80°，则∠C＝( D )
A．40° B．60° C．50° D．70°
第3题图 第4题图
知识点3 运用“角边角”解决与线段有关的问题
4．已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 2 cm．
5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：AE＋BF＝BC．
(1)解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝72°＋36°＝108°．
(2)证明：由(1)得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，∴AD＝CD．∵∠EDF＝108°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF．∵CF＋BF＝BC，∴AE＋BF＝BC．
6．［易错题］如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
证明：∵AF∥CE，∴∠AFD＝∠CEB．∵BF＝DE，∴EF＋BF＝DE＋EF，即BE＝DF．在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，∴AF＝CE．
7．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH＋BD＝AB．其中正确的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于点M，交CN于点N．若MB＝6 cm，CN＝2 cm，则AB＝ 8 cm ．
9．［情境题·现实生活］子晗同学沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语AB，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，AC与BD相交于点P，PD⊥CD，垂足为点D，PD＝PB．已知CD＝16 m，则标语AB的长度为 16 m．
10．已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若∠ABC＝45°，求证：
(1)△BDF≌△ADC；
(2)FG＋DC＝AD．
证明：(1)∵AD，BE是△ABC的高，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠ABC，∴AD＝BD．∵∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°，∠DAC＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC．在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC(ASA)．
(2)∵△BDF≌△ADC，∴DF＝DC．
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，
∴FG＋DC＝FA＋DF＝AD．
11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB．
(1)求证：△AED≌△CEF；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数．
(1)证明：∵E为AC中点，∴AE＝CE．∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF．
在△AED 和△CEF中，
∴△AED≌△CEF(ASA)．
(2)解：∵BE 平分∠ABC，∠ABE＝25°，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°．
∵CF∥AB，∴∠ABC＋∠BCF＝180°，∠A＝∠ACF，∴∠BCF＝180°－∠ABC＝130°．
∵CA平分∠BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝65°，∴∠A＝65°．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点P．
(1)求∠APC的度数；
(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
解：(1)∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠BAC＋∠BCA＝120°，∠PAC＋∠PCA＝(∠BAC＋∠BCA)＝60°，∴∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA)＝120°．
(2)如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．
在△APE和△APF中，
∴△APE≌△APF(SAS)，∴∠APE＝∠APF．∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF．
在△CPF和△CPD中，
∴△CPF≌△CPD(ASA)，∴CF＝CD，
∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．
第3课时 三边分别相等的两个三角形
知识点1 三角形全等的判定方法——边边边
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( C )
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需增加的一个条件可以是( C )
A．AB＝BC B．DC＝BC
C．AB＝CD D．以上都不对
第2题图 第3题图
3．如图，如果D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 AB＝AC ．
知识点2 三角形的稳定性
4．［情境题·现实生活］平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 稳定性 ．
第4题图 第5题图
知识点3 运用“边边边”解决与角度有关的问题
5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，EF＝FD，AF＝CD，AE＝CF，则∠C的度数是( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
(1)证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，由(1)可知：△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠FDE＝55°，∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°．
知识点4 运用“边边边”解决与线段有关的问题
7．如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，其中△ABC的周长为24 cm，CF＝7 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 41 cm．
第7题图 第8题图
8．［易错题］如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还需要添加的一个条件可以是( B )
A．BD＝DE B．BD＝CE
C．DE＝CE D．以上都不对
9．［新课标·中华优秀传统文化］三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是( B )
A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD
B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
10．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠ECD＝150°，则∠B的度数是 40° ．
第10题图 第11题图
11．如图，AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF面积的比值是 1 ．
12．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC．求证：EC＝FC．
证明：连接AC，在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠EAC＝∠FAC．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AF＝AD．∵AB＝AD，∴AE＝AF．在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC(SAS)，∴EC＝FC．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：△DAE≌△CFE；
(2)若AB＝BC＋AD，求证：BE⊥AF．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF．∵E是CD的中点，∴DE＝EC．∵在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
(2)由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF．∵AB＝BC＋AD，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF．在△ABE与△FBE中，∴△ABE≌△FBE(SSS)，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AF．
14．如图，已知EM是△ADE的中线，B，C是AD边上的两点，且M恰好是线段BC的中点，AE＝BF，EC＝FD，连接ED．
(1)求证：△AEC≌△BFD；
(2)若∠EDA＋∠DBF＝∠AED，AE＝6，ED＝8，EM＝5，画出△EMD中EM边上的高DH，并求DH的长度．
(1)证明：∵EM是△ADE的中线，∴AM＝DM．∵M是线段BC的中点，∴BM＝CM，∴AM－BM＝DM－CM，∴AB＝DC，∴AD－AB＝AD－CD，∴DB＝AC．在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD(SSS)．
(2)解：画图略．∵△AEC≌△BFD，∴∠EAC＝∠DBF．∵∠EDA＋∠DBF＝∠AED，∴∠EDA＋∠EAD＝∠AED．∵∠EDA＋∠EAD＋∠AED＝180°，∴∠EDA＋∠EAD＝∠AED＝90°，∴△AED是直角三角形．∵EM是△ADE的中线，∴S△AED＝2S△EMD．∵DH是△EMD中EM边上的高，∴AE·DE＝2××EM·DH，∴6×8＝2×5×DH，∴DH＝，∴DH的长度为．
第4课时 其他判定两个三角形全等的条件
知识点1 三角形全等的判定方法——角角边
1．如图，O是AB的中点，要通过角角边(AAS)来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是( C )
A．∠A＝∠B B．AC＝BD
C．∠C＝∠D D．CO＝DO
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 AC＝ED或∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F(填一个即可) ．
知识点2 运用“角角边”解决与角度有关的问题
3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠BAD＝∠CAE．
证明：∵AD＝AE，AB＝AC，∴∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C．∵∠ADB＋∠ADE＝∠AEC＋∠AED＝180°，∴∠ADB＝∠AEC．在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(AAS)，∴∠BAD＝∠CAE．
知识点3 运用“角角边”解决与线段有关的问题
4．如图所示，BC，AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
第4题图 第6题图
5．［易错题］根据下列条件不能画出唯一的△ABC的是( D )
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7
B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，∠B＝35°，∠C＝80°
D．AB＝5，AC＝4，∠C＝25°
6．［一线三垂直模型］小明同学课间不小心将等腰三角板掉到两面墙之间(如图所示)．若每块砌墙砖块的厚度a＝10 cm，则DE的长为( C )
A．50 cm B．60 cm C．70 cm D．80 cm
7．如图，已知CE⊥CD，AD⊥AC，∠CBE＝90°，DC＝EC，若AC＝14，AD＝6，则AB的长为( A )
A．8 B．7 C．6 D．5
第7题图 第8题图
8．［分类讨论思想］如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7 cm，BC＝3 cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 2或5 s时，CF＝AB．
9．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别是F，G，H．已知EF＝6，BG＝3，DH＝4，则图中实线所围成的图形(阴影部分)的面积S＝ 50 ．
10．如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作及BF⊥AC于F．
(1)若∠ABF＝60°，则∠ADE＝ 30° ；
(2)写出线段BF，EF，DE三者间的数量关系： BF＋EF＝DE ．
11．如图，直线y＝x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，直线y＝－x＋b经过点B，交x轴于点C．
(1)求b的值和OA，OC的长；
(2)在BC延长线上取点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥x轴交AB的延长线于点E，记△ABC的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值．
解：(1)把y＝0代入y＝x＋4，得x＝－4，∴OA＝4．把x＝0代入y＝x＋4，得y＝4，∴点B坐标为(0，4)．把点B(0，4)代入y＝－x＋b，得b＝4，∴y＝－x＋4．把y＝0代入y＝－x＋4，得x＝3，即OC＝3．
(2)设DE交x轴于点F，如图所示．∵DE⊥x轴，∴∠CFD＝∠BOC＝90°．∵∠BCO＝∠DCF，DC＝BC，∴△BOC≌△DFC(AAS)，∴CF＝OC＝3，DF＝OB＝4，∴OF＝OC＋CF＝6．在y＝x＋4中，当x＝6时，y＝6＋4＝10，∴EF＝10，∴DE＝EF＋DF＝14，∴S2＝·DE·OF＝×14×6＝42．∵AC＝OA＋OC＝7，BO＝4，∴S1＝·AC·BO＝×7×4＝14，∴．
12．［新考向·实践探究试题］八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼AB的高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼AB的高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 (1)在教学楼外，选定一点C；(2)测量CA与地面夹角∠ACB的度数；(3)测量BC的长度；(4)放置一根与BC长度相同的标杆DE，DE垂直于地面(B，C，D在同一直线上)；(5)测量CE与地面夹角∠ECD的度数；(6)测量CD的长度
测量数据 ∠ACB＝68.2°，∠ECD＝21.8°， BC＝DE＝2.5 m，CD＝12 m
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼AB的高度．
解：由题意得AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－68.2°＝21.8°＝∠ECD．在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴AB＝CD．∵CD＝12 m，∴AB＝12 m．∴教学楼AB的高度为12 m．
第5课时 两个直角三角形全等的判定
知识点1 三角形全等的判定方法——斜边、直角边
1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( B )
A．斜边和直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．锐角和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是( C )
A．∠CAB＝∠DBA B．AB＝BD
C．BC＝AD D．∠ABC＝∠BAD
第2题图 第3题图
知识点2 运用“斜边、直角边”解决与角度有关的问题
3．如图，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DCB＝40°，则∠ACB的度数为( B )
A．40° B．80° C．100° D．60°
4．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ 55° ．
第4题图 第5题图
知识点3 运用“斜边、直角边”解决与线段有关的问题
5．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是( B )
A．7 B．5 C．3 D．2
6．如图，AB＝AC，AD＝CE，∠D＝∠E＝90°，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝ 7 cm．
第6题图 第7题图
7．［易错题］如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
8．如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，连接EF与AD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( C )
A．OE＝OF B．AE＝AF
C．OD＝OF D．∠EAD＝∠FAD
第8题图 第9题图
9．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有( B )
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为( B )
A．7 B．6 C．4 D．2
第10题图 第11题图
11．如图，在长方形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD，DF，则图中全等的直角三角形共有 4 对．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC．
(1)求证：DE＝BC；
(2)若BF＝2，CF＝1，求DF的长．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，∴△ADE和△ABC都是直角三角形．在Rt△ADE和Rt△ABC中，∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL)，∴DE＝BC．
(2)解：连接AF，如图．
∵Rt△ADE≌Rt△ABC，∴DE＝BC．∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3．在Rt△AEF和Rt△ACF中，∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，∴EF＝CF＝1，∴DF＝DE＋EF＝BC＋CF＝3＋1＝4．
13．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．
(1)求证：AF＝DE；
(2)若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
证明：(1)∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴AF＝DE．
(2)∵OP⊥EF，∴∠OPE＝∠OPF＝90°．∵Rt△ABF≌Rt△DCE(已证)，∴∠AFB＝∠DEC．在Rt△OPE和Rt△OPF中，∴△OPE≌△OPF(AAS)，∴∠EOP＝∠FOP，∴OP平分∠EOF．
14．［新课标·推理能力］如图1，C，F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
(1)求证：EF＝BC；
(2)当C，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
图1 图2
(1)证明：∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°．∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，∴AC＝DF．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴EF＝BC．
(2)解：上述结论能成立．理由：∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°．∵AF＝CD，∴AF－FC＝CD－FC，∴AC＝DF．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴EF＝BC．
第6课时 全等三角形的性质与判定的综合应用
知识点1 运用三角形全等解决角度问题
1．如图，点D在线段BC上，若∠ACE＝180°－∠ABC－2x°，且BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，则下列角中，大小为x°的角是( C )
A．∠EFC B．∠ABC C．∠FDC D．∠DFC
第1题图 第2题图
2．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，BE＝AC，∠BAC＝70°，则∠DBE大小为 25 °．
知识点2 运用三角形全等解决线段问题
3．如图，△ABC的两条高AD和CE交于点F．已知AB＝7，EF＝EB＝3，则CF的长为( A )
A．1 B．2 C． D．
第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝ 12 ．
知识点3 全等三角形的实际应用
5．［情境题·现实生活］小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( D )
A．1 m B．1.6 m C．1.8 m D．1.4 m
6．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6 m，DE＝8 m，AD＝4 m，则BF等于( A )
A．18 m B．16 m C．12 m D．10 m
第6题图 第7题图
7．如图，大树AB与大树CD相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED，已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，小华行走到点E的时间是( B )
A．13 s B．8 s C．6 s D．5 s
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是(2，0)，(4，2)，若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的点P的坐标是( C )
A．(4，－2)
B．(4，－2)或(－2，－2)
C．(－4，－2)
D．(4，－2)或(－4，－2)
9．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：
(1)DF∥CE；
(2)DE＝CF．
证明：(1)∵AD＝BC，∴AC＝BD．又∵AE＝BF，CE＝DF，∴△ACE≌△BDF(SSS)，∴∠FDC＝∠ECD，∴DF∥CE．
(2)∵△ACE≌△BDF，∴∠A＝∠B．又∵AD＝BC，AE＝BF，∴△ADE≌△BCF(SAS)，∴DE＝CF．
10．［跨学科·物理］小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好互相垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8 cm，OA＝17 cm．
(1)求证：∠COE＝∠B；
(2)求AE的长．
(1)证明：∵OB⊥OC，∴∠BOD＋∠COE＝90°．∵BD⊥OA，∴∠ODB＝90°，∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠COE＝∠B．
(2)解：∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°，由题意得OC＝OB＝OA＝17 cm，由(1)得∠COE＝∠B．在△COE和△OBD中，∴△COE≌△OBD(AAS)，∴OE＝BD＝8 cm，∴AE＝OA－OE＝17－8＝9(cm)．
11．［新考向·实践探究试题］问题提出：
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫偏等积三角形，如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，点P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题探究：
(2)如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长度；
问题解决：
(3)如图3，四边形ABED是一片绿色草坪，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°(0°＜∠BCE＜90°)，则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．
图1 图2 图3
解：(2)∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD在BD边上的高与△ACD在CD边上的高相等，∴BD＝CD．∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD．在△ECD和△ABD中，∴△ECD≌△ABD(AAS)，∴ED＝AD，EC＝AB＝2．∵AC－EC＜AE＜AC＋EC，AC＝6，AE＝2AD，∴6－2＜2AD＜6＋2，∴2＜AD＜4．∵线段AD的长度为正整数，∴AD＝3．
(3)△ACD与△BCE是偏等积三角形．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°．∵0°＜∠BCE＜90°，∴∠ACD＞90°，∴∠ACD≠∠BCE．∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD与△BCE不全等．如图，过点B作BF⊥CE于点F，过点A作AG⊥DC交DC的延长线于点G，则∠G＝∠BFC＝90°，易知∠ACG＝∠BCF．在△ACG和△BCF中，∴△ACG≌△BCF(AAS)，∴AG＝BF，∴CD·AG＝CE·BF，∴△ACD与△BCE的面积相等，∴△ACD与△BCE是偏等积三角形．
