15.2 线段的垂直平分线
知识点1 线段的垂直平分线的性质定理
1．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点P，若∠PAC＝x，则∠1的度数是( )
A．90°－x B．x
C．90°－x D．60°－x
第1题图 第2题图
2．如图，△ABC的周长为44 cm，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为34 cm，则CE的长为 cm．
知识点2 线段的垂直平分线的判定定理
3．如图，已知OC＝OD，下列说法正确的是( )
A．OP＝DP
B．CA＝DA
C．OP⊥CD
D．点O在CD的垂直平分线上
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
知识点3 线段的垂直平分线的作法
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是( )
A B C D
6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，作直线l垂直平分线段FG，下列说法正确的是( )
A．直线l是线段EH的垂直平分线
B．直线l是线段EQ的垂直平分线
C．直线l是线段FH的垂直平分线
D．EH是线段l的垂直平分线
7．［易错题］如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC，AC交于点F，G，且BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是( )
A．7 B．10 C．13 D．16
8．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为( )
A．16 B．15 C．14 D．13
9．如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE，若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为 ．
10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14．
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数．
12．［创新意识］OF平分∠MON，点A在射线OM上，点P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
图1 图215.2 线段的垂直平分线
知识点1 线段的垂直平分线的性质定理
1．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点P，若∠PAC＝x，则∠1的度数是( A )
A．90°－x B．x
C．90°－x D．60°－x
第1题图 第2题图
2．如图，△ABC的周长为44 cm，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为34 cm，则CE的长为 5 cm．
知识点2 线段的垂直平分线的判定定理
3．如图，已知OC＝OD，下列说法正确的是( D )
A．OP＝DP
B．CA＝DA
C．OP⊥CD
D．点O在CD的垂直平分线上
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°．在Rt△BDE和Rt△BCE中，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC．∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．
知识点3 线段的垂直平分线的作法
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是( A )
A B C D
6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，作直线l垂直平分线段FG，下列说法正确的是( A )
A．直线l是线段EH的垂直平分线
B．直线l是线段EQ的垂直平分线
C．直线l是线段FH的垂直平分线
D．EH是线段l的垂直平分线
7．［易错题］如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC，AC交于点F，G，且BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是( D )
A．7 B．10 C．13 D．16
8．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为( C )
A．16 B．15 C．14 D．13
9．如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE，若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为 65° ．
10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
解：①连接MN；②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求．
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14．
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数．
解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF．∵△ADF的周长为14，∴AD＋DF＋AF＝14，∴BD＋DF＋CF＝14，即BC＝14．
(2)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴△DBE和△DAE关于直线DE对称，△FGC和△FGA关于直线FG对称，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF．∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝110°－70°＝40°．
12．［创新意识］OF平分∠MON，点A在射线OM上，点P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
图1 图2
(1)解：AB＝PB．理由：如图，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ．又BC＝BC，∴Rt△OBC≌Rt△QBC(HL)，∴∠BOQ＝∠BQO．∵OF平分∠MON，∴∠AOB＝∠BOQ，∴∠AOB＝∠BQO．又∵OA＝PQ，BO＝BQ，∴△AOB≌△PQB(SAS)，∴AB＝PB．
(2)存在．证明：如图，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ．又BC＝BC，∴Rt△OBC≌Rt△QBC(HL)，∴∠BOQ＝∠BQO．∵OF平分∠MON，∴∠AOF＝∠NOF．又∠BOQ＝∠FON，∴∠AOF＝∠FON＝∠BQO，∴∠AOB＝∠BQP．∵OA＝PQ，OB＝QB，∴△AOB≌△PQB(SAS)，∴AB＝PB．
