15.3 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
知识点1 画角的平分线
1．如图，用尺规作已知角的平分线的理论依据是( C )
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2．在△ABC中，AB＝AC，利用尺规作图的方法作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的平分线AD，MN，AD相交于点P．(保留作图痕迹，不写作法)
略
知识点2 经过一点作已知直线的垂线
3．如图，已知直线l及直线外一点P，按照下列要求作图：
(1)过点P作PQ⊥l，垂足为点Q；
(2)在直线l上取一点H(不与点Q重合)，连接PH；
(3)用刻度尺测量PH与PQ的大小，发现PQ ＜ (选填“＞”“＜”或“＝”)PH．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
4．如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连接CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论：①CP∥OB；②∠AOP＝∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论是( C )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，下列说法中不正确的是( D )
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的中垂线上
D．S△ACD∶S△ABD＝1∶3
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 18° ．
7．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1，2n)，则m与n的关系为 m＋2n＝1 ．
8．(1)尺规作图：作出∠A的角平分线AD；
(2)尺规作图：作出AC边上的中线BE．(只要保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
解：(1)如图1所示，AD即为所求．
(2)如图2所示，BE即为所求．
图1 图2
9．尺规作图：已知线段a，画一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，写出作法)．
解：已知：线段a．
求作：等腰三角形ABC，其中BC＝a，BC边上的高AD＝a．
作法：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线AD，D为垂足；(3)在直线AD上截取线段DA＝a；(4)连接AB，AC，则△ABC即为所求作的三角形．
10．用不同的工具和方法画∠AOB的平分线．(保留作图痕迹)
(1)在图1中只用无刻度直尺和圆规画∠AOB的平分线；
(2)在图2中你能只用刻度尺画∠AOB的平分线吗？请说明画法并说明画法的正确性．
图1 图2
解：(1)如图1，射线OP即为所求．
图1 图2
(2)如图2，分别在OA，OB上取OM＝ON，OE＝OF，连接MF，NE，MF与NE相交于点P，连接OP并延长，射线OP即为所求．
说明：在△OEN和△OFM中，
∴△OEN≌△OFM(SAS)，∴∠OEP＝∠OFP．∵OE＝OF，OM＝ON，∴EM＝FN．在△EPM和△FPN中，∴△EPM≌△FPN(AAS)，∴PM＝PN．在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS)，∴∠POM＝∠PON，∴OP平分∠AOB．
11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB＋CD．
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
(1)解：如图，线段DE，AE即为所求．
(2)证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，由(1)知∠HDE＝∠CDE．又∵DE＝DE，∴△HDE≌△CDE(SAS)，∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC．在△AHE和△ABE中，∠AHE＝∠ABE＝90°，而AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，∴AH＝AB．又AE＝AE，∴Rt△AEH≌Rt△AEB(HL)，∴∠AEH＝∠AEB，∴∠DEH＋∠AEH＝∠DEC＋∠AEB＝90°，即∠AED＝90°，故AE⊥DE．
第2课时 角平分线的性质及判定
知识点1 角平分线的性质
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( D )
A．2 B．3 C．4 D．6
第1题图 第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( A )
A．7.5 B．8
C．15 D．无法确定
知识点2 角平分线的判定
3．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在( A )
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
4．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE与CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°．在△BDF与△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC．
5．如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论错误的是( C )
A．∠AED＝90°
B．∠ADE＝∠CDE
C．DE＝BE
D．AD＝AB＋CD
6．如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点H．若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为( B )
A．40° B．50° C．55° D．60°
第6题图 第7题图
7．如图，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE交BE于点M，PN⊥BF交BF于点N，则下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP．其中正确结论的个数为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在( D )
A．AC，BC两边中线的交点处
B．AC，BC两边高线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：EG＝EF；
(2)连接AE，求证：∠AEG＝∠AEF．
证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H．∵BE平分∠ABC，EG⊥BA交BA的延长线于点G，EH⊥
BD，∴EG＝EH．∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，∴EF＝EH，∴EG＝EF．
(2)∵EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC，∴∠AGE＝∠AFE＝90°．在Rt△AEG和Rt△AEF中，∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)，∴∠AEG＝∠AEF．
10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝5 cm，点O到BC的距离为4 cm，求△OFC的面积．
解：过点O作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H．∵BE＝OE，∴∠EBO＝∠EOB．∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∴∠OBC＝∠EOB，∴EF∥BC，∴∠FOC＝∠OCB．
∵CO平分∠ACB，∴∠FCO＝∠OCB，∴∠FOC＝∠FCO，∴FC＝OF＝5 cm．∵CO平分∠ACB，OG⊥BC，OH⊥AC，∴OH＝OG＝4 cm，∴S△OFC＝×FC×OH＝×5×4＝10(cm2)．
11．［新课标·推理能力］在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD．
(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD＝ 1∶1 ；
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值(用含m，n的代数式表示)；
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，试求S△ABC的值．
图1 图2 图3
解：(2)如图2，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE＝DF．∵AB＝m，AC＝n，∴S△ABD∶S△ACD＝（AB·DE）∶（AC·DF）＝m∶n．
图1 图2
(3)∵AD＝DE，∴由(1)知S△ABD∶S△EBD＝1∶1．∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6．∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由(2)知S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝4∶2＝2∶1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝3＋6＝9．15.3 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
知识点1 画角的平分线
1．如图，用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2．在△ABC中，AB＝AC，利用尺规作图的方法作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的平分线AD，MN，AD相交于点P．(保留作图痕迹，不写作法)
知识点2 经过一点作已知直线的垂线
3．如图，已知直线l及直线外一点P，按照下列要求作图：
(1)过点P作PQ⊥l，垂足为点Q；
(2)在直线l上取一点H(不与点Q重合)，连接PH；
(3)用刻度尺测量PH与PQ的大小，发现PQ (选填“＞”“＜”或“＝”)PH．
4．如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连接CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论：①CP∥OB；②∠AOP＝∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，下列说法中不正确的是( )
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的中垂线上
D．S△ACD∶S△ABD＝1∶3
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1，2n)，则m与n的关系为 ．
8．(1)尺规作图：作出∠A的角平分线AD；
(2)尺规作图：作出AC边上的中线BE．(只要保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
9．尺规作图：已知线段a，画一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，写出作法)．
10．用不同的工具和方法画∠AOB的平分线．(保留作图痕迹)
(1)在图1中只用无刻度直尺和圆规画∠AOB的平分线；
(2)在图2中你能只用刻度尺画∠AOB的平分线吗？请说明画法并说明画法的正确性．
图1 图2
11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB＋CD．
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
第2课时 角平分线的性质及判定
知识点1 角平分线的性质
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
第1题图 第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．7.5 B．8
C．15 D．无法确定
知识点2 角平分线的判定
3．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在( )
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
4．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE与CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
5．如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论错误的是( )
A．∠AED＝90°
B．∠ADE＝∠CDE
C．DE＝BE
D．AD＝AB＋CD
6．如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点H．若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为( )
A．40° B．50° C．55° D．60°
第6题图 第7题图
7．如图，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE交BE于点M，PN⊥BF交BF于点N，则下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在( )
A．AC，BC两边中线的交点处
B．AC，BC两边高线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：EG＝EF；
(2)连接AE，求证：∠AEG＝∠AEF．
10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝5 cm，点O到BC的距离为4 cm，求△OFC的面积．
11．［新课标·推理能力］在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD．
(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD＝ ；
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值(用含m，n的代数式表示)；
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，试求S△ABC的值．
图1 图2 图3
