15.4 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的两底角相等
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠C＝( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °．
3．［分类讨论思想］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°，求∠DAC的度数．
知识点2 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝70°，则∠BAD的度数为( )
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ °．
第6题图 第7题图
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．
8．［易错题］已知等腰三角形ABC的一个外角的度数为100°，则∠A的度数不可能是( )
A．20° B．50° C．60° D．80°
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB＋BC＝16 cm，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，则△BCF的周长和∠EBF的度数分别等于( )
A．16 cm，15° B．8 cm，15°
C．16 cm，10° D．16 cm，25°
10．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于( )
A．54° B．60° C．72° D．76°
第10题图 第11题图
11．如图，E点在等腰三角形ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为( )
A．25° B．20° C．15° D．10°
12．［情境题·数学文化］“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝72°，则∠AOB＝ °．
13．［新考向·新定义试题］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为4，则腰AB的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC的面积为32，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接CF，FG，求CF＋FG的最小值．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，F为AD延长线上一点，且AE＝FE，求证：EF∥AC．
16．［新课标·推理能力］
回顾：用数学的思维思考．
(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线，求证：BD＝CE；
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
(从①②两题中选择一题加以证明)
猜想：用数学的眼光观察．
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点(不与点A，C重合)．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母)，使得BD＝CE，并证明．
图1 图2
第2课时 等边三角形的性质
知识点 等边三角形的三个内角相等且都等于60°
1．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，则∠BAD的度数为 ．
第1题图 变式题图
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为( )
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
第2题图 第3题图
3．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，则∠ADB的度数是 ．
4．如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．求证：
(1)CE＝AC＋DC；
(2)∠ECD＝60°．
5．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝( )
A．120° B．110° C．100° D．140°
第5题图 第6题图
6．如图，△ABE和△AFC是等边三角形，AE⊥AF，连接BF，CE，交于点D．有以下结论：①∠BAC＝150°；②连接BC，有BC＝BF；③连接AD，有DA平分∠BDC．其中正确的结论个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是( )
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
第7题图 第8题图
8．如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝ ．
9．［分类讨论思想］如图，已知∠AOB＝α(0°＜α＜60°)，射线OA上有一点M，以OM为边在OA下方作等边三角形OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ ．
10．已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'，EB'分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，求∠EGC的度数．
11．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
(1)求证：CD＝BE；
(2)若AB＝12，试求BF的长．
12．［新课标·推理能力］已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数；
(3)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 °；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系为 ．(直接写出答案，不需要说明理由)
图1 图2
第3课时 等腰(边)三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1．在△ABC中，其中两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝50°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80°
D．∠A＝40°，∠B＝80°
2．三角形三边分别为a，b，c，且a2－bc＝a(b－c)，则这个三角形(按边分类)一定是 三角形．
知识点2 等边三角形的判定
3．下列命题不正确的是( )
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
4．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6 cm，那么这个三角形的周长为 cm．
5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ．
6．如图所示，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
7．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48 m，则AB为 m．
10．［分类讨论思想］如图，等边三角形ABC的边长为12 cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N的运动时间t＝ s时，△AMN为等腰三角形．
11．如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA．求证：△DEF是等边三角形．
12．已知A(－10，0)，以OA为边在第二象限作等边三角形AOB．
(1)求点B的横坐标；
(2)如图，点M，N分别为OA，OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边三角形MNE，连接OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
13．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
14．［新课标·推理能力］如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．
(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，则AB的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是( )
A．BD＝AB B．BD＝AB
C．BD＝AB D．BD＝AB
第2题图 第3题图
知识点2 含30°角的直角三角形性质的实际应用
3．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m
4．［跨学科·物理］如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且∠α＝60°，OB＝10，则BD＝ ．
第4题图 第6题图
5．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，下列结论错误的是( )
A．∠ADE＝30°
B．AD＝2
C．△ABC的周长为10
D．△EFC的周长为9
6．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 ．
7．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．15.4 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的两底角相等
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠C＝( B )
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 100 °．
3．［分类讨论思想］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 75°或15° ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°，求∠DAC的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°．∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°．∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°．
知识点2 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝70°，则∠BAD的度数为( A )
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 12 °．
第6题图 第7题图
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 4.8 ．
8．［易错题］已知等腰三角形ABC的一个外角的度数为100°，则∠A的度数不可能是( C )
A．20° B．50° C．60° D．80°
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB＋BC＝16 cm，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，则△BCF的周长和∠EBF的度数分别等于( A )
A．16 cm，15° B．8 cm，15°
C．16 cm，10° D．16 cm，25°
10．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于( C )
A．54° B．60° C．72° D．76°
第10题图 第11题图
11．如图，E点在等腰三角形ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为( D )
A．25° B．20° C．15° D．10°
12．［情境题·数学文化］“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝72°，则∠AOB＝ 24 °．
13．［新考向·新定义试题］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为4，则腰AB的长为 8 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC的面积为32，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接CF，FG，求CF＋FG的最小值．
解：如图，连接AG，AF，∵DE是AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∴CF＋FG＝AF＋FG．当A，F，G三点共线时，AF＋FG的值最小，∴CF＋FG的最小值为AG的长．∵AB＝AC，点G为BC的中点，∴AG⊥BC．∵BC＝8，△ABC的面积为32，∴×8×AG＝32，∴AG＝8，∴CF＋FG的最小值为8．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，F为AD延长线上一点，且AE＝FE，求证：EF∥AC．
(1)解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°．又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°．
(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BD，由等腰三角形“三线合一”可知，∠BAF＝∠CAF．∵AE＝EF，∴∠BAF＝∠F，∴∠CAF＝∠F，∴EF∥AC．
16．［新课标·推理能力］
回顾：用数学的思维思考．
(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线，求证：BD＝CE；
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
(从①②两题中选择一题加以证明)
猜想：用数学的眼光观察．
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点(不与点A，C重合)．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母)，使得BD＝CE，并证明．
图1 图2
(1)证明：①∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC．同理可得∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(ASA)，∴BD＝CE．
②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵D是AC的中点，∴CD＝AC．同理可得BE＝AB，∴BE＝CD．在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(SAS)，∴BD＝CE．
(2)添加条件：BE＝CD(答案不唯一)．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ABC＋∠EBC＝∠ACB＋∠BCD＝180°，∴∠CBE＝∠BCD．在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(SAS)，∴BD＝CE．
第2课时 等边三角形的性质
知识点 等边三角形的三个内角相等且都等于60°
1．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，则∠BAD的度数为 30° ．
第1题图 变式题图
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为( C )
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
第2题图 第3题图
3．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，则∠ADB的度数是 15° ．
4．如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．求证：
(1)CE＝AC＋DC；
(2)∠ECD＝60°．
证明：(1)∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝EC．∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD，∴CE＝BD＝AC＋CD．
(2)由(1)知△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°，∴∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°．
5．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝( A )
A．120° B．110° C．100° D．140°
第5题图 第6题图
6．如图，△ABE和△AFC是等边三角形，AE⊥AF，连接BF，CE，交于点D．有以下结论：①∠BAC＝150°；②连接BC，有BC＝BF；③连接AD，有DA平分∠BDC．其中正确的结论个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是( D )
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
第7题图 第8题图
8．如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝ 120° ．
9．［分类讨论思想］如图，已知∠AOB＝α(0°＜α＜60°)，射线OA上有一点M，以OM为边在OA下方作等边三角形OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 30°或120°－α ．
10．已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'，EB'分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，求∠EGC的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵∠ADF＝80°，∴∠AFD＝180°－∠ADF－∠A＝40°，∴∠B'FG＝40°．∵△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，∴∠B'＝∠B＝60°．∵∠B'GF＋∠B'＋∠B'FG＝180°，∴∠B'GF＝180°－60°－40°＝80°，∴∠EGC＝∠B'GF＝80°．
11．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
(1)求证：CD＝BE；
(2)若AB＝12，试求BF的长．
(1)证明：如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E．∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD＝DM．在△DMF和△EBF中，
∴△DMF≌△EBF(ASA)，∴DM＝BE，∴CD＝BE．
(2)解：∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，∴∠BFE＝∠DFC＝30°，∴∠BEF＝30°，∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，∴BE＝BF，DM＝FM．又∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF，∴CM＝MF＝BF．又∵AB＝BC＝12，∴CM＝MF＝BF＝4．
12．［新课标·推理能力］已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数；
(3)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 90 °；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系为 AE＝BE＋2CM ．(直接写出答案，不需要说明理由)
图1 图2
(1)证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE．
(2)解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°．
第3课时 等腰(边)三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1．在△ABC中，其中两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( C )
A．∠A＝40°，∠B＝50°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80°
D．∠A＝40°，∠B＝80°
2．三角形三边分别为a，b，c，且a2－bc＝a(b－c)，则这个三角形(按边分类)一定是 等腰 三角形．
知识点2 等边三角形的判定
3．下列命题不正确的是( B )
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
4．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6 cm，那么这个三角形的周长为 18 cm．
5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ①②③④ ．
6．如图所示，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
解：∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE．∵∠CDE＝120°，∴∠CDF＝60°．∵DF∥BA，∴∠ABC＝∠CDF＝60°．∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．
7．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有( B )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48 m，则AB为 48 m．
10．［分类讨论思想］如图，等边三角形ABC的边长为12 cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N的运动时间t＝ 4或16 s时，△AMN为等腰三角形．
11．如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°．∵AB＝BC＝CA，AE＝BF＝CD，∴AB＋BF＝BC＋CD＝CA＋AE．即AF＝BD＝CE．又∵AE＝BF＝CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE，∴EF＝FD＝DE．即△DEF是等边三角形．
12．已知A(－10，0)，以OA为边在第二象限作等边三角形AOB．
(1)求点B的横坐标；
(2)如图，点M，N分别为OA，OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边三角形MNE，连接OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
解：(1)如图1，过B作BD⊥OA于点D．∵△AOB为等边三角形，点A(－10，0)，∴OA＝OB＝AB＝10，∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°．∵BD⊥OA，∴AD＝OD＝OA＝×10＝5，∴点B的横坐标为－5．
图1 图2
(2)如图2，过点M作MF∥AB交OA于点F．∵MF∥AB，∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，∴△MOF为等边三角形，∴∠FMO＝60°，MF＝MO．∵△MNE是等边三角形，∴∠NME＝60°，MN＝ME，∴∠FMN＋∠NMO＝∠NMO＋∠OME＝60°，∴∠FMN＝∠OME．在△MFN和△MOE中，∴△MFN≌△MOE(SAS)，∴∠MFN＝∠MOE＝60°．∵∠EMO＝45°，∴∠MEO＝180°－∠MOE－∠EMO＝180°－60°－45°＝75°．
13．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG(ASA)，∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4，∴BC＝12，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32．
14．［新课标·推理能力］如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．
(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：(1)△ADO是直角三角形．理由：∵△OCD和△ABC是等边三角形，∴OC＝CD，BC＝AC，∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD．在△BOC与△ADC中，∴△BOC≌△ADC(SAS)，∴∠BOC＝∠ADC．而∠BOC＝α，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．
(2)①若AO＝AD，则∠AOD＝∠ADO，即190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②若OA＝OD，则∠OAD＝∠ADO，即α－60°＝50°，∴α＝110°；③若OD＝AD，则∠DOA＝∠DAO，即190°－α＝50°，∴α＝140°．综上可得，当α为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，则AB的长为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是( C )
A．BD＝AB B．BD＝AB
C．BD＝AB D．BD＝AB
第2题图 第3题图
知识点2 含30°角的直角三角形性质的实际应用
3．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( B )
A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m
4．［跨学科·物理］如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且∠α＝60°，OB＝10，则BD＝ 5 ．
第4题图 第6题图
5．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，下列结论错误的是( C )
A．∠ADE＝30°
B．AD＝2
C．△ABC的周长为10
D．△EFC的周长为9
6．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 10 ．
7．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
解：(1)根据题意得，∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(n mile)，∴∠C＝30°－15°＝15°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝30(n mile)，∴B处到灯塔C的距离为30 n mile．
(2)过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D．∵∠CBD＝30°，BC＝30(n mile)，∴CD＝BC＝15(n mile)．∵15＜16，∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
