第11章 平面直角坐标系 本章总结提升
平面直角
坐标系
热点一 平面直角坐标系与点的坐标
1．在某个电影院里，如果用(2，15)表示2排15号，那么5排9号可以表示为( )
A．(2，15) B．(2，5)
C．(5，9) D．(9，5)
2．若点P在x轴上方，y轴的左侧，到每条坐标轴的距离都是6，则点P的坐标为( )
A．(6，6) B．(－6，6)
C．(－6，－6) D．(6，－6)
3．如图，用方向和距离描述学校相对于小明家的位置正确的是( )
A．学校在小明家的南偏西25°方向上的1 200 m处
B．学校在小明家的北偏东25°方向上的1 200 m处
C．学校在小明家的北偏东65°方向上的1 200 m处
D．学校在小明家的南偏西65°方向上的1 200 m处
4．若点M(－2a＋18，32－2a)在x轴上，则的值为( )
A．3 B．±3 C．4 D．±4
5．下列说法不正确的是( )
A．若x＋y＝0，则点P(x，y)一定在第二、四象限的角平分线上
B．已知点P(2，3)，Q(－5，3)，则PQ∥x轴
C．若P(x，y)满足xy＝0，则点P在x轴上
D．点A(－a2－1，|b|＋1)一定在第二象限
6．点P(2＋m，3－m)在横轴上，则m＝ ．
7．［新课标·推理能力］已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是(2，3)．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是(－3，－2)．”若以乙为坐标原点(三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同)，甲、丙的坐标分别是 ．
8．［跨学科·语文］李贺的《雁门太守行》是传诵千古的著名诗篇．将这首诗放入如图所示的平面直角坐标系内，其中“甲”字对应的坐标为(1，2)，请回答下列问题．
(1)请依次写出(－4，－2)，(－3，1)，(4，－1)对应的文字 ；
(2)若将平面直角坐标系向右平移3个单位，再向上平移1个单位，诗句不动，则平面直角坐标系平移后“鼓”字对应的新坐标为 ．
9．［新考向·新定义试题］在平面直角坐标系中，对于P，Q两点，给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离的较大值等于点Q到x轴、y轴的距离的较大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点P(－2，5)和点Q(－5，－1)就是“等距点”．
(1)已知点B的坐标为(－4，2)，点C的坐标为(m－1，m)，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；
(2)若点D(3，4＋k)与点E(2k－5，6)是“等距点”，求k的值．
10．已知点M(2m－3，m＋6)，解答下列问题：
(1)若点M在y轴上，求出点M的坐标；
(2)若点N的坐标为(3，3)，直线MN∥y轴，求出点M的坐标；
(3)若点M在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求m2 028＋2 027的值．
11．［新考向·阅读理解试题］问题情境：
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|．例如：图中点M(－1，1)与点N(1，－2)之间的折线距离d(M，N)＝|－1－1|＋|1－(－2)|＝2＋3＝5．
解决下列问题：
(1)已知E(2，0)，若F(1，2)，求d(E，F)；
(2)已知E(2，0)，H(1，t)，若d(E，H)＝3，求t的值；
(3)已知P(3，3)，点Q在y轴上，且三角形OPQ的面积为6，求d(P，Q)．
热点二 图形在坐标系中的平移及平移作图
12．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M(－5，2)，N(1，－4)，将线段MN向上移动3个单位，向左移动2个单位后，点M，N的对应坐标为( )
A．(－5，1)，(0，－5)
B．(－4，2)，(1，－3)
C．(－7，5)，(－1，－1)
D．(－5，0)，(1，－5)
13．在平面直角坐标系中，平移三角形ABC至三角形A1B1C1的位置．若顶点A(－2，4)的对应点是A1(1，3)，则点B(－3，2)的对应点B1的坐标是( )
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(－5，5) D．(0，1)
14．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A'(4，－2)处，则此平移可以是( )
A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
第14题图 第15题图
15．如图，三角形ABC中任意一点P(m＋2，m)向左平移3个单位长度后，点P的对应点恰好在y轴上，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点B的坐标是(0，m)，则点B1的坐标是( )
A．(0，1) B．(3，1)
C．(－3，1) D．(－4，1)
16．［新考向·代数推理］在平面直角坐标系中，将A(n2，1)沿着x轴的正方向平移(3＋n2)个单位后得到B点．现有四个点：M(－2n2，1)，N(3n2，1)，P(n2，n2＋4)，Q(n2＋1，1)，其中一定在线段AB上的是( )
A．点M B．点Q C．点P D．点N
17．如图，已知直角三角形ABC的边BC在x轴上，∠ACB＝90°，且点A(1，2)，B(－2，0)．若将三角形ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为 ．
第17题图 第18题图
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，2)．将线段OA向右平移4个单位，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
19．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将三角形ABC先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，画出平移后的三角形A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
(2)求三角形A1B1C1的面积．
20．在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，C(0，c)，且a，b，c满足＋|c－2|＝0．
图1 图2
(1)直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)如图1，将线段AB平移得到线段DC，其中A点对应点为D，B点对应点为C点，点P(2k－1，3)是线段CD上一点，求k的值；
(3)如图2，在(2)的条件下，点M是线段AD右侧一点，连接MA，MC，∠BCM与∠AMC的角平分线交于点N，试探究∠MNC与∠MAD之间存在的数量关系．
热点三 平面直角坐标系中的规律变化
21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)……根据这个规律，第2 027个点的坐标是( )
A．(64，10) B．(63，0)
C．(63，7) D．(64，8)
22．如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点O重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1，经过二次翻滚，点A的对应点记为A2……以此类推，经过2 027次翻滚后点A的对应点A2 027的坐标为( )
A．(3 035，1) B．(3 035，0)
C．(3 039，0) D．(3 039，1)
23．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1(1，－3)，第二次运动到点P2(2，－1)，第三次运动到点P3(3，－3)……按这样的运动规律，第2 027次运动后，动点P2 027的坐标是 ．
24．在平面直角坐标系中，点A1(1，1)，A2(3，4)，A3(5，9)，A4(7，16)……用你发现的规律确定A10的坐标为 ．
25．小聪第1次向东走1 m的坐标记为(1，0)，第2次向北走2 m的坐标记为(1，2)，第3次向西走3 m的坐标记为(－2，2)，第4次向南走4 m的坐标记为(－2，－2)，第5次向东走5 m的坐标记为(3，－2)，第6次向北走6 m的坐标记为(3，4)，第7次向西走7 m的坐标记为(－4，4)，第8次向南走8 m的坐标记为(－4，－4)，第9次向东走9 m的坐标记为(5，－4)……按照这样的规律，第2 028次走后的坐标记为什么？第11章 平面直角坐标系 本章总结提升
平面直角
坐标系
热点一 平面直角坐标系与点的坐标
1．在某个电影院里，如果用(2，15)表示2排15号，那么5排9号可以表示为( C )
A．(2，15) B．(2，5)
C．(5，9) D．(9，5)
2．若点P在x轴上方，y轴的左侧，到每条坐标轴的距离都是6，则点P的坐标为( B )
A．(6，6) B．(－6，6)
C．(－6，－6) D．(6，－6)
3．如图，用方向和距离描述学校相对于小明家的位置正确的是( C )
A．学校在小明家的南偏西25°方向上的1 200 m处
B．学校在小明家的北偏东25°方向上的1 200 m处
C．学校在小明家的北偏东65°方向上的1 200 m处
D．学校在小明家的南偏西65°方向上的1 200 m处
4．若点M(－2a＋18，32－2a)在x轴上，则的值为( C )
A．3 B．±3 C．4 D．±4
5．下列说法不正确的是( C )
A．若x＋y＝0，则点P(x，y)一定在第二、四象限的角平分线上
B．已知点P(2，3)，Q(－5，3)，则PQ∥x轴
C．若P(x，y)满足xy＝0，则点P在x轴上
D．点A(－a2－1，|b|＋1)一定在第二象限
6．点P(2＋m，3－m)在横轴上，则m＝ 3 ．
7．［新课标·推理能力］已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是(2，3)．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是(－3，－2)．”若以乙为坐标原点(三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同)，甲、丙的坐标分别是 (－2，－3)，(3，2) ．
8．［跨学科·语文］李贺的《雁门太守行》是传诵千古的著名诗篇．将这首诗放入如图所示的平面直角坐标系内，其中“甲”字对应的坐标为(1，2)，请回答下列问题．
(1)请依次写出(－4，－2)，(－3，1)，(4，－1)对应的文字 金，秋，寒 ；
(2)若将平面直角坐标系向右平移3个单位，再向上平移1个单位，诗句不动，则平面直角坐标系平移后“鼓”字对应的新坐标为 (0，－2) ．
9．［新考向·新定义试题］在平面直角坐标系中，对于P，Q两点，给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离的较大值等于点Q到x轴、y轴的距离的较大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点P(－2，5)和点Q(－5，－1)就是“等距点”．
(1)已知点B的坐标为(－4，2)，点C的坐标为(m－1，m)，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；
(2)若点D(3，4＋k)与点E(2k－5，6)是“等距点”，求k的值．
解：(1)由题意，可分两种情况：①|m－1|＝|－4|，解得m＝－3或m＝5(不合题意，舍去)，此时m－1＝－4，所以点C的坐标为(－4，－3)；②|m|＝|－4|，解得m＝－4(不合题意，舍去)或m＝4，此时m－1＝3，所以点C的坐标为(3，4)．综上所述，点C的坐标为(－4，－3)或(3，4)．
(2)由题意，可分两种情况；①当|2k－5|≥6时，|4＋k|＝|2k－5|，所以4＋k＝2k－5或4＋k＝－(2k－5)，解得k＝9或k＝(不合题意，舍去)；②当|2k－5|＜6时，|4＋k|＝6，所以4＋k＝6或4＋k＝－6，解得k＝2或k＝－10(不合题意，舍去)．综上所述，k的值为2或9．
10．已知点M(2m－3，m＋6)，解答下列问题：
(1)若点M在y轴上，求出点M的坐标；
(2)若点N的坐标为(3，3)，直线MN∥y轴，求出点M的坐标；
(3)若点M在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求m2 028＋2 027的值．
解：(1)因为点M(2m－3，m＋6)在y轴上，所以2m－3＝0，解得m＝，所以m＋6＝＋6＝，所以点M的坐标为（0，）．
(2)因为点N的坐标为(3，3)，直线MN∥y轴，所以2m－3＝3，解得m＝3，所以m＋6＝3＋6＝9，所以点M的坐标为(3，9)．
(3)因为点M在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，所以(2m－3)＋(m＋6)＝0，解得m＝－1，所以m2 028＋2 027＝(－1)2 028＋2 027＝1＋2 027＝2 028．
11．［新考向·阅读理解试题］问题情境：
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|．例如：图中点M(－1，1)与点N(1，－2)之间的折线距离d(M，N)＝|－1－1|＋|1－(－2)|＝2＋3＝5．
解决下列问题：
(1)已知E(2，0)，若F(1，2)，求d(E，F)；
(2)已知E(2，0)，H(1，t)，若d(E，H)＝3，求t的值；
(3)已知P(3，3)，点Q在y轴上，且三角形OPQ的面积为6，求d(P，Q)．
解：(1)d(E，F)＝|2－1|＋|0－2|＝3．
(2)因为E(2，0)，H(1，t)，d(E，H)＝3，所以|2－1|＋|0－t|＝3，解得t＝±2．
(3)由点Q在y轴上，可设点Q的坐标为(0，y)，因为三角形OPQ的面积为6，所以×|y|×3＝6，解得y＝±4．当点Q的坐标为(0，4)时，d(P，Q)＝|3－0|＋|3－4|＝4；当点Q的坐标为(0，－4)时，d(P，Q)＝|3－0|＋|3－(－4)|＝10．综上所述，d(P，Q)＝4或10．
热点二 图形在坐标系中的平移及平移作图
12．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M(－5，2)，N(1，－4)，将线段MN向上移动3个单位，向左移动2个单位后，点M，N的对应坐标为( C )
A．(－5，1)，(0，－5)
B．(－4，2)，(1，－3)
C．(－7，5)，(－1，－1)
D．(－5，0)，(1，－5)
13．在平面直角坐标系中，平移三角形ABC至三角形A1B1C1的位置．若顶点A(－2，4)的对应点是A1(1，3)，则点B(－3，2)的对应点B1的坐标是( D )
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(－5，5) D．(0，1)
14．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A'(4，－2)处，则此平移可以是( C )
A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
第14题图 第15题图
15．如图，三角形ABC中任意一点P(m＋2，m)向左平移3个单位长度后，点P的对应点恰好在y轴上，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点B的坐标是(0，m)，则点B1的坐标是( C )
A．(0，1) B．(3，1)
C．(－3，1) D．(－4，1)
16．［新考向·代数推理］在平面直角坐标系中，将A(n2，1)沿着x轴的正方向平移(3＋n2)个单位后得到B点．现有四个点：M(－2n2，1)，N(3n2，1)，P(n2，n2＋4)，Q(n2＋1，1)，其中一定在线段AB上的是( B )
A．点M B．点Q C．点P D．点N
17．如图，已知直角三角形ABC的边BC在x轴上，∠ACB＝90°，且点A(1，2)，B(－2，0)．若将三角形ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为 (4，2) ．
第17题图 第18题图
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，2)．将线段OA向右平移4个单位，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 (5，2) ．
19．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将三角形ABC先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，画出平移后的三角形A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
(2)求三角形A1B1C1的面积．
解：(1)三角形A1B1C1如图所示，A1(0，0)，B1(－1，－1)，C1(1，－2)．
(2)＝2×2－×1×1－2××2×1＝．
20．在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，C(0，c)，且a，b，c满足＋|c－2|＝0．
图1 图2
(1)直接写出a＝ 6 ，b＝ －3 ，c＝ 2 ；
(2)如图1，将线段AB平移得到线段DC，其中A点对应点为D，B点对应点为C点，点P(2k－1，3)是线段CD上一点，求k的值；
(3)如图2，在(2)的条件下，点M是线段AD右侧一点，连接MA，MC，∠BCM与∠AMC的角平分线交于点N，试探究∠MNC与∠MAD之间存在的数量关系．
解：(2)依题意，A(6，0)，B(0，－3)，C(0，2)，D(6，5)，过D作 DH⊥BC于H，连接PH，所以 DH＝6，CH＝3，由面积公式有S三角形CDH＝S三角形CPH＋S三角形DPH＝×3×6＝9，即CH·xp＋DH·(5－yp)＝×3(2k－1)＋×6×2＝9，解得k＝．
(3)因为∠BCM与∠AMC 的角平分线交于点N，所以可设∠CMN＝∠AMN＝x，∠BCN＝∠MCN＝y，分别过点M，N作 MF∥BC，NE∥BC，则MF∥NE∥BC∥AD，所以∠AMF＝∠MAD＝∠1，∠2＝∠ENM＝∠NMF＝∠1＋x，∠3＝∠ENC＝∠BCN＝y，则∠MNC＝∠2＋∠3＝∠MAD＋x＋y，所以x＋y＝∠MNC－∠MAD．又因为∠1＋2x＋2y＝180°，即∠MAD＋2(x＋y)＝180°，所以∠MAD＋2(∠MNC－∠MAD)＝180°，所以2∠MNC－∠MAD＝180°．
热点三 平面直角坐标系中的规律变化
21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)……根据这个规律，第2 027个点的坐标是( A )
A．(64，10) B．(63，0)
C．(63，7) D．(64，8)
22．如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点O重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1，经过二次翻滚，点A的对应点记为A2……以此类推，经过2 027次翻滚后点A的对应点A2 027的坐标为( C )
A．(3 035，1) B．(3 035，0)
C．(3 039，0) D．(3 039，1)
23．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1(1，－3)，第二次运动到点P2(2，－1)，第三次运动到点P3(3，－3)……按这样的运动规律，第2 027次运动后，动点P2 027的坐标是 (2 027，－1) ．
24．在平面直角坐标系中，点A1(1，1)，A2(3，4)，A3(5，9)，A4(7，16)……用你发现的规律确定A10的坐标为 (19，100) ．
25．小聪第1次向东走1 m的坐标记为(1，0)，第2次向北走2 m的坐标记为(1，2)，第3次向西走3 m的坐标记为(－2，2)，第4次向南走4 m的坐标记为(－2，－2)，第5次向东走5 m的坐标记为(3，－2)，第6次向北走6 m的坐标记为(3，4)，第7次向西走7 m的坐标记为(－4，4)，第8次向南走8 m的坐标记为(－4，－4)，第9次向东走9 m的坐标记为(5，－4)……按照这样的规律，第2 028次走后的坐标记为什么？
解：因为第4次走后的坐标为(－2，－2)，第8次走后的坐标为(－4，－4)，2 028÷4＝507，所以第2 028次走后的坐标为(－2×507，－2×507)，即为(－1 014，－1 014)．
