第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 本章总结提升
热点一 三角形的三边关系
1．张老师布置了一道作图题：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这三段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5 cm、5 cm、2 cm；小赵：3 cm、3 cm、6 cm；小王：3 cm、4 cm、5 cm；小孙：4 cm、4 cm、4 cm．其中分法不正确的是( B )
A．小李 B．小赵 C．小王 D．小孙
2．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 4 ．
3．［情境题·现实生活］小刚准备用一段长32 m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m m，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3 m．
(1)请用含m的式子表示第三条边长；
(2)第一条边长能否为10 m？为什么？
解：(1)∵第一条边长为m m，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3 m，∴第二条边长为(2m－3)m，∴32－m－(2m－3)＝(35－3m)m，∴第三条边长为(35－3m)m．
(2)不能．∵当m＝10时，三边长分别为10，17，5，由于10＋5＜17，∴不能构成三角形，即第一条边长不能为10 m．
热点二 三角形的角平分线、中线和高
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( C )
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
(1)若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长．
解：(1)∵∠1＝∠2＝35°，∴∠3＝∠1＋∠2＝70°，∴∠3＝∠4＝70°，∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝40°．
(2)∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长大3，∴AB＋AD＋BD－(AC＋AD＋CD)＝3，∴AB＋AD＋BD－AC－AD－CD＝3，∴AB－AC＝3．∵AB＝9，∴AC＝6．
热点三 三角形的内角和外角性质
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，若BC∥EF，则∠BMD的大小为( C )
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
7．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD＋∠ACD＝( C )
A．90° B．60° C．50° D．40°
第7题图 第8题图
8．［分类讨论思想］如图，已知∠MON＝72°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON的动点(A，B，C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D，当AB⊥OM，且△ADB有两个相等的角时，∠OAC的度数为 18°或27°或36° ．
9．［新课标·推理能力］
【综合与探究】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)．
【探究与发现】若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
图1 图2 图3
(1)①若∠BAO＝70°，则∠D＝ 45° ；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
(2)拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数；
(3)在图1的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动(如图3)，请直接写出∠D的度数(用含α的代数式表示)．
解：(1)②不变化．理由：∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，∴∠BAD＝∠BAO，∠CBA＝∠NBA．∵∠D＋∠BAD＝∠CBA，∴∠D＝∠CBA－∠BAD＝∠NBA－∠BAO＝(∠NBA－∠BAO) ＝∠MON．∵∠MON＝90°，∴∠D＝45°，∴∠D的度数不发生变化．
(2)由(1)②知∠D＝∠CBA－∠BAD．∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝∠ABN－∠BAO＝(∠ABN－∠BAO)＝∠MON．∵∠MON＝90°，∴∠D＝30°．
(3)∠D＝α
热点四 命题与证明
10．用三个不等式a＞b，ab＞0，中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．【证明】如图，已知∠A＝∠C，AB∥CD．求证：BC∥AD．请补全证明过程．
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠ABE＝∠C( 两直线平行，同位角相等 )．
∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠ABE＝ ∠A (等量代换)，
∴BC∥AD( 内错角相等，两直线平行． )．
【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．
【拓展】已知有三个条件：①∠A＝∠C；②AB∥CD；③BC∥AD．从三个条件中，选出两个作为题设，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？
【延伸】真命题．证明：∵BC∥AD，∴∠ABE＝∠A．∵∠A＝∠C，∴∠ABE＝∠C，∴AB∥CD．
【拓展】解：根据题意可知①②作为题设，③作为结论，为真命题；①③作为题设，②作为结论，为真命题；②③作为题设，①作为结论，为真命题．综上所述，能组成3个真命题．第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 本章总结提升
热点一 三角形的三边关系
1．张老师布置了一道作图题：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这三段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5 cm、5 cm、2 cm；小赵：3 cm、3 cm、6 cm；小王：3 cm、4 cm、5 cm；小孙：4 cm、4 cm、4 cm．其中分法不正确的是( )
A．小李 B．小赵 C．小王 D．小孙
2．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
3．［情境题·现实生活］小刚准备用一段长32 m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m m，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3 m．
(1)请用含m的式子表示第三条边长；
(2)第一条边长能否为10 m？为什么？
热点二 三角形的角平分线、中线和高
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
(1)若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长．
热点三 三角形的内角和外角性质
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，若BC∥EF，则∠BMD的大小为( )
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
7．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD＋∠ACD＝( )
A．90° B．60° C．50° D．40°
第7题图 第8题图
8．［分类讨论思想］如图，已知∠MON＝72°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON的动点(A，B，C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D，当AB⊥OM，且△ADB有两个相等的角时，∠OAC的度数为 ．
9．［新课标·推理能力］
【综合与探究】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)．
【探究与发现】若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
图1 图2 图3
(1)①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
(2)拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数；
(3)在图1的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动(如图3)，请直接写出∠D的度数(用含α的代数式表示)．
热点四 命题与证明
10．用三个不等式a＞b，ab＞0，中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．【证明】如图，已知∠A＝∠C，AB∥CD．求证：BC∥AD．请补全证明过程．
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠ABE＝∠C( )．
∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠ABE＝ (等量代换)，
∴BC∥AD( )．
【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．
【拓展】已知有三个条件：①∠A＝∠C；②AB∥CD；③BC∥AD．从三个条件中，选出两个作为题设，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？
