第12章 函数与一次函数 本章总结提升
一次函数
热点一 函数的概念
1．某小区收取电费的标准是0.56元/(千瓦时)，当用电量为x(单位：千瓦时)时，收取的电费为y(单位：元)．在这个问题中，下列说法正确的是( C )
A．y是自变量，x是因变量
B．x是自变量，0.56是因变量
C．x是自变量，y是因变量，0.56是常量
D．0.56是自变量，y是因变量
2．两个变量之间存在的关系式是y2＝x＋1(其中x是非负整数)，y是不是x的函数？如果变为用含y的代数式表示x的形式，x是不是y的函数？请说明原因．
解：在y2＝x＋1中，当x的值是0时，y的值为±1，此时y的值有两个，并不是唯一确定的，因此y不是x的函数．y2＝x＋1变形为x＝y2－1后，对于y的每一个值，另一个变量x都有唯一确定的值与其对应，因此x是y的函数．
热点二 函数的图象
3．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OEFG为一折线)，那么这个容器的形状可能是下列图中的( B )
A B C D
4．已知y是x的函数，当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．下列函数图象中，满足上述条件的是( A )
A B C D
热点三 正比例函数的图象和性质
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，1)，B(1，1)．若直线y＝mx与线段AB有交点，则m的值可以是( B )
A．－ B．－ C． D．
6．若正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－3)，则y随x的增大而 减小 (选填“增大”或“减小”)．
7．已知y与x成正比例，当x＝－1时，y＝4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)请判断点A(2，－6)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)如果P(m，y1)，Q(m＋1，y2)是这个函数图象上的两点，请比较y1与y2的大小．
解：(1)令y＝kx，将x＝－1，y＝4代入得，k＝－4，所以y与x之间的函数解析式为y＝－4x．
(2)点A不在这个函数的图象上．理由：将x＝2代入y＝－4x得，y＝－8≠－6，所以点A不在这个函数的图象上．
(3)因为正比例函数的解析式为y＝－4x，则k＝－4＜0，所以y随x的增大而减小．因为m＜m＋1，所以y1＞y2．
热点四 一次函数的图象和性质
8．［新课标·推理能力］小王同学类比探究一次函数性质的方法，探究并得出函数y＝|x|－2的四条性质，其中错误的是( B )
A．当x＝0时，y取到最小值－2
B．如果y＝|x|－2的图象与直线y＝k有两个交点，那么k＞0
C．当－2＜x＜2时，y＜0
D．y＝|x|－2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4
9．若一次函数y＝(4－3n)x－1的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则n的取值范围是( D )
A．n＜ B．n＞ C．n＜ D．n＞
10．已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k＜0)的图象经过点(－1，2)．
(1)若k＋2b＝1，求一次函数的表达式；
(2)当－2≤x≤3时，该一次函数的最大值为6，求k的值；
(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且S＝k－2b，求S的取值范围．
解：(1)因为一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k＜0)的图象经过点(－1，2)，将点(－1，2)代入一次函数解析式得2＝－k＋b，由题知k＋2b＝1，联立得解得所以一次函数的表达式为y＝－x＋1．
(2)因为k＜0，所以一次函数y随x的增大而减小．因为当－2≤x≤3时，且该一次函数的最大值为6，所以当x＝－2时，y＝－2k＋b＝6．因为一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k＜0)的图象经过点(－1，2)，将点(－1，2)代入一次函数解析式得2＝－k＋b，联立得解得所以k的值为－4．
(3)根据题意，2＝－k＋b，即k＝b－2，所以S＝b－2－2b＝－b－2．因为一次函数的图象经过第一象限，且k＜0，所以b＞0，所以－b－2＜－2，所以S＜－2．
热点五 一次函数与一元一次方程的关系
11．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点P(－3，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解是( C )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－3 D．无法确定
第11题图 第12题图
12．如图，已知直线y＝kx＋b的图象经过点A(0，－4)，B(3，2)，且与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式为 y＝2x－4 ；
(2)观察图象，直接写出方程kx＋b＝0的解为 x＝2 ．
热点六 一次函数与一元一次不等式(组)的关系
13．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋2的图象与x轴交于点A(m，0)，当x≤3时，不等式kx＋2＞2x－1恒成立，则m的取值范围是( B )
A．m＜－1 B．－2＜m≤－1
C．－2≤m＜－1 D．m＞－2
14．如图，直线y＝x＋b和直线y＝kx＋2与x轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则的解集为 －2＜x＜3 ．
热点七 一次函数与二元一次方程(组)的关系
15．已知方程2x－1＝－3x＋4的解是x＝1，则直线y＝2x－1和y＝－3x＋4的交点坐标为( B )
A．(1，0) B．(1，1)
C．(－1，－3) D．(－1，1)
16．如图，一次函数y＝kx＋4的图象经过点A(－2，0)，交y轴于点B，直线CD交x轴于点C，交y轴于点D，与直线y＝kx＋4交于点E．
(1)若OC＝OD＝2OA，请求出k的值并确定直线CD的解析式；
(2)在(1)的条件下，请求出四边形AODE的面积．
解：(1)把A(－2，0)代入y＝kx＋4中得，－2k＋4＝0，所以k＝2．因为A(－2，0)，所以OA＝2．因为OC＝OD＝2OA，所以OC＝OD＝4，所以C(－4，0)，D(0，－4)．设直线CD的解析式为y＝kx＋b，把C(－4，0)，D(0，－4)分别代入y＝kx＋b中得， 解得所以直线CD的解析式为y＝－x－4．
(2)因为直线AB和CD相交于点E，所以直线AB，CD的解析式所组成的方程组的解就是它们图象的交点坐标，所以列方程组为解得所以E（－，－）．因为B(0，4)，D(0，－4)，A(－2，0)，所以BD＝8，OB＝4，OA＝2，所以＝S三角形BDE－S三角形AOB＝×8××2×4＝．
热点八 一次函数的实际应用
17．如图所示是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系图象．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100 min以上，那么选择 甲 种业务合算．
18．［跨学科·物理］某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240 ℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y(℃)与加热时间x(min)之间的函数图象如图所示．
(1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若食物在130 ℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由．
解：(1)设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(0，20)，(10，240)分别代入得解得所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为y＝22x＋20(0≤x≤10)．
(2)设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为y＝mx＋n．将(15，20)，(10，240)分别代入得解得所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为y＝－44x＋680(10≤x≤15)．当0≤x≤10时，令y＝130，得22x＋20＝130，解得x＝5；当10≤x≤15时，令y＝130，得130＝－44x＋680，解得x＝12.5．因为12.5－5＝7.5＞6，所以该模式下烤制的食物能健康食用．第12章 函数与一次函数 本章总结提升
一次函数
热点一 函数的概念
1．某小区收取电费的标准是0.56元/(千瓦时)，当用电量为x(单位：千瓦时)时，收取的电费为y(单位：元)．在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．y是自变量，x是因变量
B．x是自变量，0.56是因变量
C．x是自变量，y是因变量，0.56是常量
D．0.56是自变量，y是因变量
2．两个变量之间存在的关系式是y2＝x＋1(其中x是非负整数)，y是不是x的函数？如果变为用含y的代数式表示x的形式，x是不是y的函数？请说明原因．
热点二 函数的图象
3．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OEFG为一折线)，那么这个容器的形状可能是下列图中的( )
A B C D
4．已知y是x的函数，当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．下列函数图象中，满足上述条件的是( )
A B C D
热点三 正比例函数的图象和性质
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，1)，B(1，1)．若直线y＝mx与线段AB有交点，则m的值可以是( )
A．－ B．－ C． D．
6．若正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－3)，则y随x的增大而 (选填“增大”或“减小”)．
7．已知y与x成正比例，当x＝－1时，y＝4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)请判断点A(2，－6)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)如果P(m，y1)，Q(m＋1，y2)是这个函数图象上的两点，请比较y1与y2的大小．
热点四 一次函数的图象和性质
8．［新课标·推理能力］小王同学类比探究一次函数性质的方法，探究并得出函数y＝|x|－2的四条性质，其中错误的是( )
A．当x＝0时，y取到最小值－2
B．如果y＝|x|－2的图象与直线y＝k有两个交点，那么k＞0
C．当－2＜x＜2时，y＜0
D．y＝|x|－2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4
9．若一次函数y＝(4－3n)x－1的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则n的取值范围是( )
A．n＜ B．n＞ C．n＜ D．n＞
10．已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k＜0)的图象经过点(－1，2)．
(1)若k＋2b＝1，求一次函数的表达式；
(2)当－2≤x≤3时，该一次函数的最大值为6，求k的值；
(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且S＝k－2b，求S的取值范围．
热点五 一次函数与一元一次方程的关系
11．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点P(－3，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解是( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－3 D．无法确定
第11题图 第12题图
12．如图，已知直线y＝kx＋b的图象经过点A(0，－4)，B(3，2)，且与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式为 ；
(2)观察图象，直接写出方程kx＋b＝0的解为 ．
热点六 一次函数与一元一次不等式(组)的关系
13．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋2的图象与x轴交于点A(m，0)，当x≤3时，不等式kx＋2＞2x－1恒成立，则m的取值范围是( )
A．m＜－1 B．－2＜m≤－1
C．－2≤m＜－1 D．m＞－2
14．如图，直线y＝x＋b和直线y＝kx＋2与x轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则的解集为 ．
热点七 一次函数与二元一次方程(组)的关系
15．已知方程2x－1＝－3x＋4的解是x＝1，则直线y＝2x－1和y＝－3x＋4的交点坐标为( )
A．(1，0) B．(1，1)
C．(－1，－3) D．(－1，1)
16．如图，一次函数y＝kx＋4的图象经过点A(－2，0)，交y轴于点B，直线CD交x轴于点C，交y轴于点D，与直线y＝kx＋4交于点E．
(1)若OC＝OD＝2OA，请求出k的值并确定直线CD的解析式；
(2)在(1)的条件下，请求出四边形AODE的面积．
热点八 一次函数的实际应用
17．如图所示是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系图象．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100 min以上，那么选择 种业务合算．
18．［跨学科·物理］某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240 ℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y(℃)与加热时间x(min)之间的函数图象如图所示．
(1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若食物在130 ℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由．
