第13章三角形中的边角关系 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．用下列长度的三根铁条首尾顺次连接，能做成三角形框架的是( )
A．23 cm、10 cm、8 cm B．15 cm、23 cm、8 cm
C．18 cm、10 cm、23 cm D．18 cm、10 cm、8 cm
2．下列命题是真命题的是( )
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C．质数都是奇数
D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等
3．一天，小明和爸爸看见了一个如图所示的人字架．爸爸说：“我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
第3题图 第4题图 第6题图
4．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠FBC＝∠D＝90°，∠F＝30°，∠E＝45°，则∠CBE的度数为( )
A．90° B．100° C．105° D．110°
5．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( )
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分的面积为( )
A．1 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
7．如图，△ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点H，过H点作HG⊥AC于点G，则∠AHE和∠CHG的大小关系为( )
A．∠AHE＝∠CHG B．∠AHE＜∠CHG
C．∠AHE＞∠CHG D．不一定
第7题图 第9题图 第10题图
8．如果一个三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4，则此三角形为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
9．如图，在△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为( )
A．27° B．59° C．69° D．79°
10．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD．下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°＋∠ABD；③∠CAB＝∠CBA；④∠ACE＋∠ABC＝90°．其中正确的为( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．命题“如果两个角都是平角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 ．
第12题图 第13题图 第14题图
13．已知四边形ABCD中，AD∥BC，OA⊥AD于A，OC⊥CD于C，AC平分∠DAB，∠ABC＝∠ACB，∠BCO∶∠ACD＝3∶5，则∠AOC的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点．
(1)若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5，过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝ ；
(2)若∠1＝∠2＋5°，∠3＝∠4，∠BAC＝85°，则∠2＝ ．
三、(每小题6分，共12分)
15．在△ABC中，∠B＋∠C＝2∠A，∠A∶∠B＝4∶5，求三角形中各角的度数．
16．已知△ABC的三边长是a，b，c．
(1)若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值；
(2)化简|a＋b－c|＋|c－a－b|．
四、(每小题7分，共14分)
17．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
(1)如果a＋b＝0，那么a＝0，b＝0；
(2)如果一个数的平方是9，那么这个数是3．
18．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．
(1)若2∠1＋∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；
(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
五、(每小题8分，共16分)
19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
(2)作△BED中BD边上的高，垂足为F；
(3)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？
20．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE．
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD＝6，△ABC的面积为24，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
六、(本题满分10分)
21．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(2，4)，D(0，2)．
(1)求△ABC的面积；
(2)设P为坐标轴上一点，若S△APC＝S△ABC，求P点的坐标．
七、(本题满分10分)
22．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
(1)求证：∠F＋∠FEC＝2∠A；
(2)过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F＋∠FEC的数量关系，并说明理由．
八、(本题满分12分)
23．以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC＝40°，则∠AOC＝ ；
(2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由；
(3)若∠CON＝50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC＝∠AOM，则∠BON＝ ．(可用备用图)
图1 图2 备用图第13章三角形中的边角关系 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．用下列长度的三根铁条首尾顺次连接，能做成三角形框架的是( C )
A．23 cm、10 cm、8 cm B．15 cm、23 cm、8 cm
C．18 cm、10 cm、23 cm D．18 cm、10 cm、8 cm
2．下列命题是真命题的是( B )
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C．质数都是奇数
D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等
3．一天，小明和爸爸看见了一个如图所示的人字架．爸爸说：“我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案是( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
第3题图 第4题图 第6题图
4．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠FBC＝∠D＝90°，∠F＝30°，∠E＝45°，则∠CBE的度数为( C )
A．90° B．100° C．105° D．110°
5．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( C )
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分的面积为( B )
A．1 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
7．如图，△ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点H，过H点作HG⊥AC于点G，则∠AHE和∠CHG的大小关系为( A )
A．∠AHE＝∠CHG B．∠AHE＜∠CHG
C．∠AHE＞∠CHG D．不一定
第7题图 第9题图 第10题图
8．如果一个三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4，则此三角形为( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
9．如图，在△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为( D )
A．27° B．59° C．69° D．79°
10．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD．下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°＋∠ABD；③∠CAB＝∠CBA；④∠ACE＋∠ABC＝90°．其中正确的为( C )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．命题“如果两个角都是平角，那么这两个角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角都是平角 ．
12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 9°，51°，129° ．
第12题图 第13题图 第14题图
13．已知四边形ABCD中，AD∥BC，OA⊥AD于A，OC⊥CD于C，AC平分∠DAB，∠ABC＝∠ACB，∠BCO∶∠ACD＝3∶5，则∠AOC的度数为 135° ．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点．
(1)若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5，过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝ ；
(2)若∠1＝∠2＋5°，∠3＝∠4，∠BAC＝85°，则∠2＝ 30° ．
三、(每小题6分，共12分)
15．在△ABC中，∠B＋∠C＝2∠A，∠A∶∠B＝4∶5，求三角形中各角的度数．
解：设∠A＝4x，∠B＝5x，则∠C＝180°－4x－5x＝180°－9x．∵∠B＋∠C＝2∠A，∴5x＋180°－9x＝2×4x，解得x＝15°，∴∠A＝4×15°＝60°，∠B＝5×15°＝75°，∠C＝180°－60°－75°＝45°，综上所述，三角形中各角的度数为∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°．
16．已知△ABC的三边长是a，b，c．
(1)若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值；
(2)化简|a＋b－c|＋|c－a－b|．
解：(1)∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8，∴2＜c＜14．∵三角形的周长是小于22的偶数，∴2＜c＜8，∴c＝4或6．
(2)|a＋b－c|＋|c－a－b|＝a＋b－c－c＋a＋b＝2a＋2b－2c．
四、(每小题7分，共14分)
17．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
(1)如果a＋b＝0，那么a＝0，b＝0；
(2)如果一个数的平方是9，那么这个数是3．
解：(1)逆命题：如果a＝0，b＝0，那么a＋b＝0；是真命题．
(2)逆命题：如果一个数是3，那么这个数的平方是9；是真命题．
18．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．
(1)若2∠1＋∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；
(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
(1)证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°．∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC＝∠EAB，∴∠C＋∠EAB＝90°，即2∠C＋∠EAB＝180°．∵2∠1＋∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC．
(2)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°．∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD＋∠AED＝∠C＋∠CBE，即18°＋78°＝72°＋∠CBE，∴∠CBE＝24°．
五、(每小题8分，共16分)
19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
(2)作△BED中BD边上的高，垂足为F；
(3)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？
解：(1)∵∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝15°＋40°＝55°．
(2)图略．
(3)∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，∴S△BDE＝S△ABC＝S△ABC．∵△ABC的面积为40，∴S△BDE＝×40＝10．∵BD＝5，∴×5×EF＝10，解得EF＝4，即△BDE中BD边上的高为4．
20．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE．
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD＝6，△ABC的面积为24，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，∴BC·AD＝24，∴BC＝＝8．∵AE为边BC上的中线，∴CE＝BC＝4．
(2)∵∠C＝66°，∠B＝36°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－66°－36°＝78°，∴AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝39°．∵∠ADC＝90°，∠C＝66°，∴∠CAD＝90°－66°＝24°，∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝39°－24°＝15°．
六、(本题满分10分)
21．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(2，4)，D(0，2)．
(1)求△ABC的面积；
(2)设P为坐标轴上一点，若S△APC＝S△ABC，求P点的坐标．
解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)，C(2，4)，∴AB＝2＋4＝6，∴S△ABC＝×(4＋2)×4＝12．
(2)当P在x轴上时，设P点坐标为(m，0)，|m＋2|×4＝×12，解得m1＝1或m2＝－5．当P在y轴上时，设P点坐标为(0，n)．∵D(0，2)，∴PD＝|n－2|，∴|n－2|×(2＋2)＝×12，解得n1＝－1或n2＝5，所以P点坐标为(－5，0)或(1，0)或(0，－1)或(0，5)．
七、(本题满分10分)
22．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
(1)求证：∠F＋∠FEC＝2∠A；
(2)过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F＋∠FEC的数量关系，并说明理由．
(1)证明：在△EFC中，∠C＝180°－∠F－∠FEC．在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠ABC．∴180°－∠F－∠FEC＝180°－∠A－∠ABC，即∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC．又∵∠A＝∠ABC，∴∠F＋∠FEC＝2∠A．
(2)解：∠MBC＝∠F＋∠FEC．理由：∵BM∥AC，∴∠FMB＝∠FEC．又∵∠MBC＝∠F＋∠FMB，∴∠MBC＝∠F＋∠FEC．
八、(本题满分12分)
23．以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 50° ；
(2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由；
解：OA平分∠COM．理由：∵OB平分∠CON，∴∠BON＝∠BOC．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋BOC＝90°，∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠AOC＝∠AOM，∴OA平分∠COM．
(3)若∠CON＝50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC＝∠AOM，则∠BON＝ 30°或60° ．(可用备用图)
图1 图2 备用图
