第14章 全等三角形 本章总结提升
全等三角形
热点一 全等三角形的概念及其性质
1．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是( )
A．35° B．40° C．45° D．50°
第1题图 第2题图
2．如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为(－3，1)，B，C两点的纵坐标均为－4，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为 个单位．
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
(1)求证：∠CAE＝∠BAD；
(2)若∠BAD＝35°，求∠BED的度数．
热点二 全等三角形的判定
4．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 (填序号)．
5．如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，AB＝AC，求BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由．
6．［新课标·推理能力］如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到如图2的位置(BD＜CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转到如图3的位置(BD＞CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不需证明；
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言描述BD与DE，CE的关系．
图1 图2 图3
热点三 全等三角形性质与判定的综合应用
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝4，则四边形ABCD的面积是 ．
第7题图 第8题图
8．如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：
(1)点P的坐标为 ；
(2)OA＋BO＝ ．
9．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，求∠ACB的度数．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝x．
(1)用两种方法计算△ABC的面积；
(2)探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．
11．如图所示，BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
(1)探究PA与AQ之间的关系；
(2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
热点四 全等三角形的实际应用
12．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12 m，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30 m，则每层楼的高度大约是 m．
13．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t s后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．第14章 全等三角形 本章总结提升
全等三角形
热点一 全等三角形的概念及其性质
1．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是( B )
A．35° B．40° C．45° D．50°
第1题图 第2题图
2．如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为(－3，1)，B，C两点的纵坐标均为－4，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为 5 个单位．
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
(1)求证：∠CAE＝∠BAD；
(2)若∠BAD＝35°，求∠BED的度数．
(1)证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD．
(2)解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B．∵∠AFD＝∠EFB，∠D＋∠BAD＋∠AFD＝180°，∠B＋∠EFB＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠BAD．∵∠BAD＝35°，∴∠BED＝35°．
热点二 全等三角形的判定
4．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 ①②③ (填序号)．
5．如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，AB＝AC，求BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由．
解：DE＝BD＋CE．理由：∵∠BAE＝∠D＋∠ABD＝∠BAC＋∠CAE，且∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∵DE＝AD＋AE，∴DE＝CE＋BD．
6．［新课标·推理能力］如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到如图2的位置(BD＜CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转到如图3的位置(BD＞CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不需证明；
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言描述BD与DE，CE的关系．
图1 图2 图3
(1)证明：∵BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE．∵AE＝AD＋DE，∴BD＝DE＋CE．
(2)BD＝DE－CE．证明：∵BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE．
(3)解：BD＝DE－CE．
(4)解：归纳(1)(2)(3)可知，结论描述为：当B，C在直线AE同侧时，BD＝DE－CE．当B，C在直线AE异侧时，若BD＞CE，则BD＝DE＋CE；若BD＜CD，则BD＝CE－DE．
热点三 全等三角形性质与判定的综合应用
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝4，则四边形ABCD的面积是 24 ．
第7题图 第8题图
8．如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：
(1)点P的坐标为 (1，1) ；
(2)OA＋BO＝ 2 ．
9．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，求∠ACB的度数．
解：在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD－∠ACE＝∠BCE－∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，∴∠ACB＝(∠BCD－∠ACE)＝×(155°－55°)＝50°．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝x．
(1)用两种方法计算△ABC的面积；
(2)探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．
解：(1)过点D作DF⊥BC于点F．∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ECD＝∠FCD．∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠CFD．又∵CD＝CD，∴△ECD≌△FCD，∴DF＝DE＝x，S△ABC＝S△ADC＋S△BCD＝bx＋ax＝(a＋b)x．又∵AC⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝ab．
(2)由(1)知，ab＝(a＋b)x，∴x＝．
11．如图所示，BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
(1)探究PA与AQ之间的关系；
(2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
(1)解：∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1＋∠CAB＝90°，∠2＋∠CAB＝90°，∴∠1＝∠2．在△QAC和△APB中，∴△QAC≌△APB(SAS)，∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，而∠DAP＋∠P＝90°，∴∠DAP＋∠QAC＝90°．即∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP．即AP＝AQ，AP⊥AQ．
(2)上述结论成立．证明：如图所示，
∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1＋∠CAE＝90°，∠2＋∠DAB＝90°．∵∠CAE＝∠DAB，∴∠1＝∠2．在△QAC和△APB中，∴△QAC≌△APB(SAS)，∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P．∵∠PDA＝90°，∴∠P＋∠PAD＝90°，∴∠QAC＋∠PAD＝90°，∴∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP，即AP＝AQ，AP⊥AQ．
热点四 全等三角形的实际应用
12．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12 m，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30 m，则每层楼的高度大约是 3 m．
13．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t s后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
(1)证明：∵小蚂蚁同时从A，C出发，速度相同，∴t s后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE．在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SAS)．
(2)解：无变化．理由：∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC＝∠ACD．∵∠BFC＝180°－∠EBC－∠BCD，∴∠BFC＝180°－∠ACD－∠BCD＝180°－∠ACB．∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°－60°＝120°，∴∠BFC的大小无变化．
