第15章轴对称图形与等腰三角形测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是( )
A B C D
2．点M(1，2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(2，－1)
3．若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为( )
A．11 cm B．7.5 cm C．11 cm或7.5 cm D．以上都不对
4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形
5．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝2，则AB的长为( )
A．10 B．2 C．4 D．6
7．如图，△ABC的面积为12 cm2，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，连接PB，则△PBC的面积为 ( )
A．7 cm2 B．6 cm2 C．5.5 cm2 D．5 cm2
8．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地，则A，C两地相距 ( )
A．30 n mile B．40 n mile C．50 n mile D．60 n mile
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM＋∠EMN的大小是( )
A．45° B．90° C．75° D．135°
10．如图所示，若点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点．上述结论中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．在平面直角坐标系中，已知点A关于x轴对称的点B的坐标是(3－5m，2－m)，点B是第二象限的整点(横、纵坐标都是整数的点，称之为整点)，则点A关于y轴对称的点C的坐标是 ．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，在BC边上取一点P，沿AP折叠，使点B与AC延长线上的点D重合，∠CPD＝40°，则∠PAC＝ °．
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝ ．
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，3)，(3，1)，点P是y轴上一点，如图所示．
(1)若PA＋PB的值最小，则点P的坐标为 ；
(2)若S△PAB＝2S△AOB，则点P的坐标为 ．
三、(每小题6分，共12分)
15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
四、(每小题7分，共14分)
17．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)在y轴上画出点P，使PA＋PB最小．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
五、(每小题8分，共16分)
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
(1)若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；
(2)若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．
20．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC－AB＝2BE．
六、(本题满分10分)
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在线段CB的延长线上取一点P，以AP为直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：AC＝PE；
(3)连接DB，并延长交AC的延长线于点F，探究线段CF与AC的数量关系，并说明理由．
七、(本题满分10分)
22．如图1，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C匀速运动，连接AQ，CP交于点M．
(1)求证：AQ＝CP；
(2)在点P，Q运动过程中，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出它的度数；
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交点为M，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 图1 图2
八、(本题满分12分)
23．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF：
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G，H分别是线段AC，CD上的动点，当GH＋AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系．第15章轴对称图形与等腰三角形测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是( B )
A B C D
2．点M(1，2)关于x轴对称的点的坐标为( C )
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(2，－1)
3．若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为( C )
A．11 cm B．7.5 cm C．11 cm或7.5 cm D．以上都不对
4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( D )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形
5．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为( A )
A．50° B．55° C．60° D．65°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝2，则AB的长为( C )
A．10 B．2 C．4 D．6
7．如图，△ABC的面积为12 cm2，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，连接PB，则△PBC的面积为 ( B )
A．7 cm2 B．6 cm2 C．5.5 cm2 D．5 cm2
8．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地，则A，C两地相距 ( B )
A．30 n mile B．40 n mile C．50 n mile D．60 n mile
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM＋∠EMN的大小是( B )
A．45° B．90° C．75° D．135°
10．如图所示，若点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点．上述结论中，正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．在平面直角坐标系中，已知点A关于x轴对称的点B的坐标是(3－5m，2－m)，点B是第二象限的整点(横、纵坐标都是整数的点，称之为整点)，则点A关于y轴对称的点C的坐标是 (2，－1) ．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，在BC边上取一点P，沿AP折叠，使点B与AC延长线上的点D重合，∠CPD＝40°，则∠PAC＝ 20 °．
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝ 2 ．
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，3)，(3，1)，点P是y轴上一点，如图所示．
(1)若PA＋PB的值最小，则点P的坐标为 (0，2) ；
(2)若S△PAB＝2S△AOB，则点P的坐标为 (0，6)或(0，－2) ．
三、(每小题6分，共12分)
15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
解：(1)如图，点D，射线AE即为所求．
(2)∵DF垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°．∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°，∴∠CAD＝110°－30°＝80°．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝2．又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，∴7＝×4×2＋×AC×2，∴AC＝3．
四、(每小题7分，共14分)
17．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)在y轴上画出点P，使PA＋PB最小．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(2，1)，B1(4，5)，C1(5，2)．
(2)点P如图所示．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠DBE＝∠ECF．在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝×(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝70°．
五、(每小题8分，共16分)
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
(1)若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；
(2)若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．
解：(1)设∠C＝x．∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝x．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝x，∴∠BAC＝2x．∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，而∠B＝30°，∴30°＋x＋2x＝180°，解得x＝50°，即∠EAC＝50°．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠C＝50°，∴∠DAC＝40°，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝10°．
(2)过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图所示．∵CD＝3DE，S△ADE＝2，AD⊥BC，∴S△AEC＝4S△ADE＝8，∴EH·AC＝8，∴EH＝＝4．∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AC，∴EG＝EH＝4，即点E到AB的距离为4．
20．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC－AB＝2BE．
证明：延长BE交AC于点M．∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°．在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1．同理，∠4＝90°－∠2．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM．∵BE⊥AE，∴BM＝2BE．∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C．∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝AC－AM＝CM＝BM＝2BE．
六、(本题满分10分)
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在线段CB的延长线上取一点P，以AP为直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：AC＝PE；
(3)连接DB，并延长交AC的延长线于点F，探究线段CF与AC的数量关系，并说明理由．
(1)解：补全图形如图所示．
(2)证明：∵DE⊥CB，∠ACP＝90°，∴∠DEP＝∠ACP＝90°，∴∠3＋∠2＝90°．又∵∠APD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵AP＝DP，∴△ACP≌△PED(AAS)，∴AC＝PE．
(3)解：CF＝AC．理由：∵△ACP≌△PED，∴AC＝PE，PC＝DE．又∵AC＝BC，∴BC＝PE，∴PC＝BE，∴BE＝DE，即△DBE为等腰直角三角形，∴∠FBC＝∠EBD＝45°．又∵∠FCB＝90°，∴△BCF为等腰直角三角形，∴BC＝CF，∴AC＝CF．
七、(本题满分10分)
22．如图1，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C匀速运动，连接AQ，CP交于点M．
(1)求证：AQ＝CP；
(2)在点P，Q运动过程中，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出它的度数；
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交点为M，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 图1 图2
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°．∵点P，Q分别从顶点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C匀速运动，∴AP＝BQ．在△ABQ和△CAP中，∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴AQ＝CP．
(2)解：∠QMC的大小不变，为60°．由(1)可知△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP．∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠MAC＋∠ACM＝∠MAC＋∠BAQ＝∠BAC＝60°．
(3)解：∠QMC的大小不变．由题意得BP＝CQ，∴AP＝BQ．在△ABQ和△CAP中，∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴∠BAQ＝∠ACP．∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠PAM＋∠APC＝∠ACP＋∠APC＝180°－60°＝120°．
八、(本题满分12分)
23．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF：
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G，H分别是线段AC，CD上的动点，当GH＋AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系．
(1)证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AB＝AD，∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，∴A在BD的垂直平分线上，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∴C在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD．
(2)①证明：设∠F＝α．
∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠F＝α．∵∠BAC是△ABF的外角，∴∠BAC＝∠F＋∠AFB＝2α．由(1)AC⊥BD，CB＝CD，∴∠BCE＝∠DCE．∵BF∥CD，∴∠F＝∠DCE，∴∠F＝∠BCE＝α．∵∠ABC＝90°，∴∠BCE＋∠BAC＝90°，即α＋2α＝90°，则α＝30°，∴∠DCB＝2∠BCE＝60°．∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．
②解：GH＋AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．理由：延长AD至A'，使DA'＝AD．
∵CD⊥AD，∴A与A'关于CD成轴对称，过A'作A'G⊥AC于G交CD于H，连接AH，∴AH＝A'H，∴AH＋GH＝A'H＋GH＝A'G，此时GH＋AH为最小．由①知∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°．∵A'G⊥AC即GH⊥CG，∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°，∴CH＝2GH，∴GH＋AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．
