第15章 轴对称图形与等腰三角形 本章总结提升
热点一 轴对称及轴对称图形
1．下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是( )
A B C D
2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，即点G，此时∠CDB＝82°，则原三角形∠B的度数为 ．
3．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA＋PC最小．
热点二 线段的垂直平分线的性质与判定
4．
如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为( )
A．5 B．8 C．9 D．10
第4题图 第5题图
5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是 ．
热点三 等腰三角形的性质与判定
6．［分类讨论思想］
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为 ．
7．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
热点四 等边三角形的性质与判定
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点(异于点B，C)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．求证：
(1)△ABD是等边三角形；
(2)BE＝AF．
热点五 含30°角的直角三角形
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠BCA＝90°，CD⊥AB于D，在下列结论中，正确的有( )
①CD＝CB；②AC＝AB；
③AD＝AC；④AD＝BD．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
热点六 角平分线的性质与判定
12．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
(1)求∠EDA的度数；
(2)若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．第15章 轴对称图形与等腰三角形 本章总结提升
热点一 轴对称及轴对称图形
1．下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是( B )
A B C D
2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，即点G，此时∠CDB＝82°，则原三角形∠B的度数为 63° ．
3．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA＋PC最小．
解：(1)如图所示，直线l即为所求．
(2)如图所示，点P即为所求．
热点二 线段的垂直平分线的性质与判定
4．
如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为( A )
A．5 B．8 C．9 D．10
第4题图 第5题图
5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是 10 ．
热点三 等腰三角形的性质与判定
6．［分类讨论思想］
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为 108°或72° ．
7．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
(1)证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF．∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC＋∠B＝140°．∵CG平分∠ACE，∴∠ACG＝∠ACE＝70°．∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°－∠BCG＝180°－40°－70°＝70°．
热点四 等边三角形的性质与判定
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点(异于点B，C)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．求证：
(1)△ABD是等边三角形；
(2)BE＝AF．
证明：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°．∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形．
(2)∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD．∵∠EDF＝60°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，∴∠BDE＝∠ADF．在△BDE与△ADF中，∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF．
热点五 含30°角的直角三角形
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠BCA＝90°，CD⊥AB于D，在下列结论中，正确的有( A )
①CD＝CB；②AC＝AB；
③AD＝AC；④AD＝BD．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝(4－2t)cm，BQ＝t cm．
(1)当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，即4－2t＝t，∴t＝．当t＝时，△PBQ为等边三角形．
(2)若△PBQ为直角三角形：①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4－2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2(4－2t)，∴t＝．即当t＝或1时，△PBQ为直角三角形．
热点六 角平分线的性质与判定
12．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
(1)求∠EDA的度数；
(2)若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
解：(1)∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°．∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠EDA＝180°－∠BAD－∠DEA＝180°－30°－90°＝60°．
(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3．∵AB＝10，AC＝8，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝×10×3＋×8×3＝27．
