第二十一章 一元二次方程 一元二次方程根与系数关系 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 一元二次方程根与系数关系 常见
专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、不解方程求两根之和与两根之积
若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1 x2等于（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
3．求下列方程两根的和与两根的积：
（1）x2+6x﹣6＝0； （2）3x2﹣2x+1＝0；
x2+x＝1； （4）5x2＝6x．
4.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
5.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根．
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）当a＝1时，求实数k的取值范围．
6.已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0．
（1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
三、已知两根求一元二次方程
7.写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ．
8.请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ．
9.解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　）
A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0
C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0
四、利用根与系数的关系求代数式的值
10若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6
11.已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ．
12.已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
五、已知代数式的值求参数
13. 已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为 　 　 ．
14. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　 　 ．
15.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且15，求m的值．
17． 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值．
答案
A
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，即可求出α+β的值．
【详解】∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，
∴α+β＝7．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
B
【分析】利用根与系数的关系，即可求出x1 x2的值．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1 x2．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
3.（1）x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣6；
（2）x1+x2，x1x2；
（3）x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1；
（4）x1+x2，x1x2＝0．
【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解．
【详解】（1）设x1，x2是方程x2+6x﹣6＝0的两根，
则x1+x26，x1x26；
（2）设x1，x2是方程3x2﹣2x+1＝0的两根，
则x1+x2，x1x2；
（3）x2+x＝1变形为x2+x﹣1＝0，
设x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
则x1+x21，x1x21；
（4）5x2＝6x变形为5x2﹣6x＝0的两根，
设x1，x2是方程5x2﹣6x＝0的两根，
则x1+x2，x1x20．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
4.D
【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可．
【详解】设方程的另一个为根为t，
根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，
解得t＝1，
即方程的另一个根为1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
5.（1）x2＝﹣4；
（2）k≤﹣1．
【分析】（1）利用根与系数的关系可得另外一根；
（2）把a＝1代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答．
【详解】（1）设方程的另一个根为x2，
则，
∴x2＝﹣4；
（2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0，
由题意可得：4﹣4（k+2）≥0，
解得k≤﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键．
6.（1）0；
（2）见解答．
【分析】（1）先把x＝﹣3代入求出m＝3，则方程变形为x2+3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到﹣3+t＝﹣3，然后解关于t的方程即可；
（2）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】（1）解：把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3，
方程变形为x2+3x＝0，
设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0，
即方程的另一根为0；
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3）
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
7.见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．
【详解】∵﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6，
∴方程为：x2﹣x﹣6＝0，
故答案为：x2﹣x﹣6＝0．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8.见试题解答内容
【分析】由于方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1，根据根与系数的关系计算出3+1＝4，3×1＝3，然后写出以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0．
【详解】∵一个根为3，方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1，
∴3+1＝4，3×1＝3，
∴以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0．
故答案为：x2﹣4x+3＝0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
9.A
【分析】根据根与系数的关系，甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，于是一次项系数为﹣（8+2）＝﹣10，同样，乙看错了一次项的系数，得出两根为﹣9或﹣1，于是得到常数项为﹣9×（﹣1）＝9，然后写出满足条件的方程即可．
【详解】由于甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，则一次项系数为﹣（8+2）＝﹣10，
而乙看错了方程的一次项的系数，得出两根为﹣9或﹣1，则常数项为﹣9×（﹣1）＝9，
所以原一元二次方程为x2﹣10x+9＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
10.C
【分析】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可．
【详解】∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，
∴mn＝﹣1，m+n＝6
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键要明确将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法．
11.﹣7．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解．
【详解】∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴，x1+x2＝3，
∴
＝﹣1﹣2×3
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3．
12.解：根据根与系数的关系得，．
（1）原式；
（2）原式．
13.见试题解答内容
【分析】先根据根的判别式的意义得到m，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，接着利用（x1+1）（x2+1）＝3得到x1x2+（x1+x2）+1＝3，所以m2+2m﹣1+1＝3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值．
【详解】根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0，
解得m，
∵方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝3，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝3，
即m2+2m﹣1+1＝3，
整理得m2+2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣3，m2＝1，
∵m，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
14.±2．
【分析】两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解．
【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k+6，x1x2＝3k，
∵x1﹣x2＝2，
∴40，
∴，
∴（k+6）2﹣12k＝40，
解得k＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），解题关键是牢记两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解．
15.（1）；
（2）m．
【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝1﹣2m、，将（2x1+x2）（x1+2x2）＝3变形为，然后代入即可得出关于m的一元二次方程，解方程求得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2≥0，
即﹣4m+1≥0，
解得：m，
∴m的取值范围为m；
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1 x2＝m2，
∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，
∴，
∴，
∴2（1﹣2m）2+m2＝3，
整理得：9m2﹣8m﹣1＝0，
解得：m1，m2＝1，
又∵，
∴m．
16.（1）m；
（2）2．
【分析】（1）根据根与系数的关系得到Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1，再由15得到（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15，解得m1＝﹣4，m2＝2，然后利用（1）中m的取值范围确定m的值．
【解答】解；（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，
解得m，
所以m的取值范围为m；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1，
∵15，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15，
∴（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15，
整理得m2+2m﹣8＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝2，
∵m，
∴m的值为2．
17.（1）k≤2；
（2）0、1、2．
（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣x1x2＜4，
∴2﹣（k﹣1）＜4，
解得k＞﹣1，
而k≤2，
∴﹣1＜k≤2，
∴k的整数值为0、1、2．
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