第二十一章 一元二次方程 用根与系数关系解决问题 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 用根与系数关系解决问题 常见题型
专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
1.关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个正实数根
C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1
2.定义（a，b，c）为方程ax2+bx+c＝0的特征数．若特征数为（1，2k﹣2，k2﹣k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或1
3.关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，则k满足的条件是（　　）
A．k＜1 B．﹣1≤k＜1 C．k＜0 D．﹣1≤k＜0
4.已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5.若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为　 　 ．
6.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，若a+b+c＝0，则 　 　 ．
7.设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ．
8.定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3|m|＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
10.关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值．
11.关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
12.已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和．
（2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
13.已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
14.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．
（1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）若△ABC是等腰三角形，则k的值为 　 　 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k值；
（3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 　 　 ；
（2）判断方程x2﹣x﹣2＝0是不是倍根方程？并说明理由；
（3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是倍根方程，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
17． 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2﹣x﹣6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值．
18．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2．因为2是﹣1的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是整根方程．
（1）求证：方程x2+3x﹣18＝0是整根方程；
（2）若存在正整数m，使关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+4m+4＝0是整根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有实数根，求m的值．
答案
1.C
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和．
【详解】∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故A错误，该选项不符合题意；
设x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k+1，x1 x2＝﹣6，
故C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意；
∴两根的符号相反，
故B错误，该选项不符合题意；
故选：C．
2.C
【分析】根据方程的两实数根的平方和为12，得Δ≥0，x1+x2＝﹣（2k﹣2），，然后根据列方程求解即可．
【详解】根据题意可知，该方程为x2+（2k﹣2）x+k2﹣k＝0，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2﹣k）
＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4k
＝﹣4k+4≥0，
∴k≤1，
设两实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣（2k﹣2），，
∵
∴（2k﹣2）2﹣2（k2﹣k）＝12，
整理得：k2﹣3k﹣4＝0，
解得：k1＝4，k2＝﹣1，
∵k≤1，
∴k＝﹣1，
故选：C．
3.D
【分析】由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及Δ＞0即可解决问题．
【详解】由题知，
因为关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，
所以且，
解得k＜0．
又因为k+1≥0，
所以k≥﹣1，
综上所述，k满足的条件是：﹣1≤k＜0．
故选：D．
【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
4.C
【分析】根据菱形的性质可知AB＝BC，利用根的判别式Δ＝0可求出m值．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（）＝0，
解得m1＝m2＝1．
故选：C．
5.5．
【分析】将α2﹣4α﹣β化为α2﹣3α﹣（α+β）分别求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案．
【详解】∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根，
∴α2﹣3α﹣8＝0，
∴α2﹣3α＝8，
∵α+β＝3，
∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
6.或﹣3．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】由题知，
因为a+b+c＝0，
所以x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．
又因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，
则当x1＝1时，，
则1，
所以．
当x2＝1时，x1＝2，
则1+2，
所以，
综上所述：的值为或﹣3．
故答案为：或﹣3．
7.．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，
所以x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1．
又因为x1＝x2（2x1﹣1），
则x1+x2＝2x1x2，
所以3k＝2（﹣k﹣1），
解得k．
故答案为：．
8.2或5．
【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解．
【详解】x2﹣（n+4）x+3n+3＝0，
（x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0，
x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0，
解得：x1＝3，x1＝n+1，
∵y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×n＞0，
解得n，
∵n是正整数，
∴n＝1，2，3，4，5，6，
∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，
∴3能被n+1整除或n+1能被3整除，
∴n＝2或5．
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
9.（1）证明见解析过程；
（2）m＝±1．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出α+β＝2，再结合 α+2β＝5即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3|m|）＝4+12|m|，
又∵|m|≥0，
∴4+12|m|≥4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题知，
∵方程的两个实数根分别为α，β，
∴α+β＝2．
又∵α+2β＝5，
∴β＝3，
将β＝3代入方程得，
9﹣6﹣3|m|＝0，
解得m＝±1．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键．
10.（1）m≥1；
（2）．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，然后解不等式即可；
（2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3，再利用m＞1得到x1+x2＞0，x1x2＞0，从而得到x1＞0，x2＞0，则去绝对值和利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2，所以4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【详解】（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，
解得m≥1，
即m的取值范围为m≥1；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3，
∵m≥1，
∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1x2＝m2+3＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∵（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，
∴（x1﹣x2）2＝x1+x2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2，
即4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），
解得m，
∵m≥1，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了绝对值和根的判别式．
11.（1）k；
（2）k＝2．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式得到k的范围；
（2）据题根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，由此推知x1＜0，x2＜0，结合已知条件得到：﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，代入解方程即可．
【解答】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，
解得k；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝|x1x2|﹣1，
∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，
∴2k+1＝k2+2﹣1，
整理得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，
∵k，
∴k＝2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式．
12.（1）50；
（2）a＜b，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）先把a＝3，b＝﹣2代入x2﹣2ax﹣a+2b＝0，得出x2﹣6x﹣7＝0，解方程得出x1＝7，x2＝﹣1，然后求出结果即可；
（2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得出，求出，即可得出答案；
（3）根据根的判别式得出Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，整理得出，根据对于任何实数a，此方程都有实数根，得出对于任何实数a，恒成立，即可得出答案．
【详解】（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得：
4a2﹣4a2﹣a+2b＝0，
整理得：，
∴，
∴，
即a＜b；
（3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，
整理得：，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，恒成立，
∴．
13.（1）见解析；
（2）k＝4．
【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论；
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，利用根与系数的关系可以得到a+b，ab的值，利用勾股定理化简代入求k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
则a+b＝k+3＞0，ab＝3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2＝25，（a+b）2﹣2ab＝25，
∴（k+3）2﹣2×3k＝25，
解得：k＝±4，
∵k＞0，
∴k＝﹣4应舍去，
∴k＝4．
14.（1）证明过程见解答；
（2）△ABC为直角三角形；
（3）3或4．
【分析】（1）表示出根的判别式，求出值大于0，可得出方程总有两个不相等的实数根；
（2）把k＝2代入方程求出解，得到三角形三边，利用勾股定理的逆定理判断即可；
（3）由△ABC为等腰三角形，得到x＝5为方程的解，把x＝5代入方程计算即可求出k的值．
【详解】（1）∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）
＝4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8
＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，方程化为：x2﹣7x+12＝0，
解得：x＝3或x＝4，
∵32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个不相等实数根，
且△ABC为等腰三角形，
∴x＝5是方程的解，即25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0，
整理得：k2﹣7k+12＝0，
解得：k＝3或k＝4．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15.见试题解答内容
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系进行解答；
（3）利用分解因式法可求出x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论
【详解】（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2k+3，x1 x2＝k2+3k+2，
∴由（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，得
x1 x2﹣（x1+x2）+1＝5，即k2+3k+2﹣2k﹣3+1＝5，
整理，得
k2+k﹣5＝0，
解得k；
（3）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2．
①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，
∴斜边BC＝5时，有AB2+AC2＝BC2，即（k+1）2+（k+2）2＝25，
解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）．
∴当k＝2时，△ABC是直角三角形
②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC，
故有两种情况：
（Ⅰ）当AC＝BC＝5时，k+2＝5，
∴k＝3，AB＝3+1＝4，
∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，
∴此时△ABC的周长为4+5+5＝14；
（Ⅱ）当AB＝BC＝5时，k+1＝5，
∴k＝4，AC＝k+2＝6，
∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，
∴此时△ABC的周长为6+5+5＝16．
综上可知：当k＝3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k＝4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16．
16.（1）2；
（2）不是，理由见解析；
（3）0．
【分析】（1）由一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，得到，即可得到结论；
（2）求出方程的解即可判断出结论；
（3）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，．由方程两根是2倍关系，得到x2＝1或4，代入解方程即可得到结论．
【详解】（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，
又x1+x2＝3，x1x2＝c，
∴，
∴x1＝1，c＝2，
故答案为：2；
（2）方程x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”，理由如下：
x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝2，
∴，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”；
（3）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，．
∵方程两根是2倍关系，
∴x2＝1或4，
当x2＝1时，，即m＝n，代入代数式得4m2﹣5mn+n2＝0，
当x2＝4时，，即n＝4m，代入代数式得4m2﹣5mn+n2＝0，
综上，4m2﹣5mn+n2＝0．
17.（1）不是“邻根方程”；
（2）m＝0或﹣2；
（3）t的最大值为4．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；
（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；
（3）利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由 t＝8a﹣b2可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值．
【详解】（1）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，
∵3≠﹣2+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2．
（3）ax2+bx+1＝0，∴x，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝8a﹣b2，
∴a2+4a＝8a﹣t，
∴t＝4a﹣a2＝﹣（a﹣2）2+4，
∵a＞0，
∴当a＝2时，t的最大值为4．
18.（1）见解析；
（2）1．
（1）∵x2+3x﹣18＝0，
（x﹣3）（x+6）＝0，
x1＝3，x2＝﹣6，
∵﹣6是3的﹣2倍，
∴x2+3x﹣18＝0是整根方程；
（2）x2﹣（m+5）x+4m+4＝0，
x2﹣（m+5）x+4（m+1）＝0
（x﹣4）（x﹣m﹣1）＝0
x1＝4，x2＝m+1，
∵x2﹣4x+2m＝0总有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＝16﹣8m≥0，
解得m≤2，
∵正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+4m+4＝0是整根方程，m＝2时，x2﹣7x+12＝0的根为x1＝3，x2＝4，不是整根方程，
m＝1时，x2﹣6x+8＝0的根为x1＝2，x2＝4，是整根方程，
∴m＝1．
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