第二十一章 一元二次方程 用公式法解决问题 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 用公式法解决问题 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　
A． B．且 C．且 D．
2.若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
3.已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根．
（2）若方程的根为整数，求的值．
4.已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
5.若关于的方程有实数根．求的取值范围．
6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
7.若关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）已知等腰三角形的一边长是1，另两边长是该方程的两根，求的周长．
8.已知关于的一元二次方程，其中，，分别是的三边的长度．
（1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
（2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
9.已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
10.已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，这个方程总有实数根．
11.关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
12.已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长．
（1）若该△是等边三角形，求该方程的根；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由．
13.关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
14.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求的值．
15.已知关于的方程．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
答案
1.
【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【详解】由题意可得：△，且，
解得，且，
故选：．
2，
【分析】分和且△两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】当时，方程为，解得，方程有实数根；
当时，关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得．
综上，时，关于的方程有实数根．
故选：．
3.（1）见解答；
（2）或或．
【分析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②，此时方程为一元二次方程，可利用根的判别式，结合非负数的性质进行证明．
（2）求出方程的两个根，再讨论即可．
【详解】（1）当时，方程为，此时方程有根．
当时，原方程为一元二次方程．
△，
此时方程有两个实数根．
综上所述，无论为任何实数，方程总有实数根；
（2）△，
，
，．
方程的根为整数，
是整数，
或或．
4.当且△时，方程有两个实数根，解得且，
即的取值范围为且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5.见试题解答内容
【分析】要分类讨论：若，而，原方程变为一元一次方程，有解；当，且△，即△，方程有实数根，得到且，最后综合得到的取值范围．
【详解】当，即，并且，所以原方程变为一元一次方程，有解，满足条件；
当，且△，即△，方程有实数根，
解两个不等式得且；
综上所述，的取值范围为．
6.（1）且；（2），．
【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围；
（2）求出的值，解方程即可解答．
【详解】（1）由题意得△且，
所以且；
（2），且，为正整数，
，
方程为，
△
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
7（1）．
（2）5．
【分析】（1）根据根的判别式△，即可求出的取值范围；
（2）分1为腰与1为底两种情况，求出方程的解，即可求出周长．
【详解】（1）方程有两个实数根，
△，
，
的取值范围．
（2）若1是腰，则为已知方程的解，
将代入方程得：，即方程为，
解得：或，
此时三角形三边为1，1，3，不合题意，舍去；
若1是底时，另两边长是该方程的两根，
即，方程为，
解得：，
此时三角形三边长为1，2，2，
周长为．
8.（1），；
（2）原方程有两个不相等的实数解，理由见解析．
【分析】（1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解；
（2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】（1）是等边三角形，
，
，
即，
解得：，；
（2）原方程有两个不相等的实数解
理由：是以为斜边的直角三角形，
，，
，
△
原方程有两个不相等的实数解
9.（1）见解答；
（2）10．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当或时，把代入方程可解得的值，则代入方程可解答．
【解答】（1）证明：△
，
，
，即△，
无论取何值，此方程总有实数根；
（2）解：①当时，△，
解得，
方程化为，解得，
，
此种情况不成立；
②当或时，把代入方程得，
解得：，
方程化为，解得，，
即三边为4，4，2，能够成三角形，
则周长，
所以这个等腰三角形的周长是10．
10.见解析．
【分析】计算根的判别式的值得到△，利用非负数的意义得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
【解答】证明：△
，
不论为何值时，方程总有实数根．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
11.见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【详解】，，，方程有两个不相等的实数根，
△，
．
又二次项系数不为0，
即且．
【点睛】本题考查了根的判别式：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△方程有两个不相等的实数根；
②△方程有两个相等的实数根；
③△方程没有实数根．
（2）一元二次方程的二次项系数不为0
12.（1），；
（2）直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可；
（2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）当△是等边三角形时，，
原方程可化为：，即，
，
，
，；
（2）是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
△，
，
，即，
△是直角三角形．
13.（1）根据题意得△，
解得；
（2）是符合条件的最大整数，
当时的最大整数值是2，
则关于的方程是，
解得：，，
一元二次方程与方程有一个相同的根，
当时，，
解得；
而，所以舍去，
当时，，
解得，
的值为．
14.（1），
整理得：，
，，，
△；
该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2），
，，
，
为对角线，
，
解得：．
15.（1）证明：，
△，
方程一定有两个实数根；
（2）解：，
，，
方程的两个实数根都是整数，
正整数或3．
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